4.1 整式 同步分层练习 -2026-2027学年人教版数学七年级上册

人教版七年级数学上册 第四章 整式的加减 4.1 整式 同步分层练习 （满分：100 分 时间：60 分钟） 班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________ 一、基础巩固（共 40 分） （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 每小题只有一个正确答案，请将正确答案的字母填在题后括号内。 1. 下列式子中，是单项式的是（　　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 2. 单项式 的系数和次数分别是（　　） A. ，　 B. ，　 C. ，　 D. ， 3. 多项式 的常数项是（　　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 4. 在下列各式中，书写规范的代数式是（　　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 5. 在代数式 ，，，， 中，整式的个数是（　　） A. 个　 B. 个　 C. 个　 D. 个 6. 下列关于单项式 的说法中，正确的是（　　） A. 系数是 ，次数是 　 B. 系数是 ，次数是 　 C. 系数是 ，次数是 　 D. 系数是 ，次数是 7. 下列说法正确的是（　　） A. 单项式一定含有字母　 B. 单独的一个数或一个字母也是单项式　 C. 多项式的次数是各项次数的和　 D. 分母中含有字母的式子也是整式 8. 下列各式中，是二次三项式的是（　　） A. 　 B. 　 C. 　 D. （二）填空题（每小题 4 分，共 16 分） 9. 单项式 的次数是________，系数是________。 10. 多项式 是________次________项式，常数项是________。 11. 请写出一个同时满足下列条件的单项式：①只含有字母 、；②次数是 ；③系数是 。你写的单项式是________________。 12. 把多项式 按字母 的升幂排列：________________________。 二、综合运用（共 36 分） 13.（10 分）把下列各式按要求分类：，，，，，。 （1）属于单项式的有：________________________； （2）属于多项式的有：________________________； （3）属于整式的有：________________________； （4）分别写出单项式 与 的系数和次数。 14.（12 分）如图 1，用一块边长为 的正方形硬纸板，在它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，再沿图中的虚线折起来，做成一个无盖的长方体盒子。 （1）这个盒子的底面边长是多少？（用含 、 的式子表示） （2）这个盒子的高是多少？ （3）用含 、 的式子表示这个盒子的底面积； （4）当 ， 时，求这个盒子的底面积。 15.（14 分）如图 2，是按一定规律用火柴棒搭成的“三角形图案”。 （1）观察图形，填写下表： 三角形个数 火柴棒根数 （2）照这样的规律搭下去，搭 个三角形一共需要多少根火柴棒？（用含 的式子表示） （3）当 时，一共需要多少根火柴棒？ 三、拓展题（共 24 分） 16.（8 分）已知多项式 是关于 、 的四次四项式。 （1）求 的值； （2）若该多项式的次数与单项式 的次数相同，求 的值。 17.（8 分）用 16 块面积都是 的正方形地砖铺成一块正方形地面，如图 3，正中间 4 块是蓝色地砖，其余 12 块都是白色地砖。 （1）用关于 的式子表示白色地砖的总面积； （2）当 平方米时，白色地砖的总面积是多少平方米？ 18.（8 分）定义：若一个多项式的各项系数之和为 6 的整数倍，则称这个多项式为“雅致多项式”，并称这个多项式的各项系数之和为它的“雅致和”。例如：多项式 的各项系数之和为 ，所以它是“雅致多项式”，它的“雅致和”为 。 （1）下列多项式是“雅致多项式”的是________（填序号）：① ；② ；③ 。 （2）若关于 的多项式 的“雅致和”为 ，且 、 均为正整数，求 的最大值； （3）多项式 是“雅致多项式”吗？请说明理由；若把它的各项系数都换成它们的相反数，得到多项式 ，此时 还是“雅致多项式”吗？ 参考答案与解析 一、基础巩固 （一）选择题 1.【答案】C 【解析】数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。A 中 是两个单项式的和，是多项式；B 中 的分母含有字母，不是整式；D 中 是多项式；只有 C 中 是数与字母的积，是单项式。故选 C。 2.【答案】A 【解析】单项式的系数是数字因数，即 ；次数是所有字母的指数之和，。故选 A。 3.【答案】D 【解析】多项式中不含字母的项叫做常数项， 不含字母，是常数项。故选 D。 4.【答案】D 【解析】代数式的书写要求：①数字与字母相乘时，乘号省略且数字写在字母前面，所以 应写成 ，A 不规范；②带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数，所以 应写成 ，B 不规范；③除法运算应写成分数形式，所以 应写成 ，C 不规范；D 中 符合书写规范。故选 D。 5.【答案】C 【解析】整式包括单项式和多项式，分母中不能含字母。（单项式）、（多项式）、（单项式）、（多项式）都是整式，共 个； 的分母含字母，不是整式。故选 C。 6.【答案】B 【解析】单项式 的数字因数是 ，即系数为 ；所有字母的指数之和为 ，即次数为 。故选 B。 7.【答案】B 【解析】A 错误，单独的一个数（如 ）也是单项式，可以不含字母；B 正确，符合单项式的定义；C 错误，多项式的次数是次数最高的项的次数，不是各项次数相加；D 错误，分母中含有字母的式子不是整式。故选 B。 8.【答案】B 【解析】A 中 是二次二项式；B 中 最高次项的次数为 ，共有 项，是二次三项式；C 中 是三次三项式；D 中 是一次三项式。故选 B。 （二）填空题 9.【答案】； 【解析】字母 的指数是 ， 的指数是 ，次数为 ；数字因数是 ，即系数为 。 10.【答案】二；三； 【解析】最高次项是 ，次数为 ；多项式共有 、、 三项，是二次三项式；常数项是 。 11.【答案】示例：（答案不唯一，如 ） 【解析】只要系数为 ，且字母只有 、、 与 的指数和为 即可。 12.【答案】 【解析】按 的指数从小到大排列：常数项 （ 的指数为 ）、（指数为 ）、（指数为 ）、（指数为 ）。 二、综合运用 13.【答案】 （1）单项式：，，； （2）多项式：，； （3）整式：，，，，； （4） 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 。 【解析】 的分母含字母，不是整式，因而既不是单项式也不是多项式；单项式是数与字母的积（单独一个数或一个字母也是单项式）；多项式是几个单项式的和。 14.【答案】 （1）折成长方体盒子后，左右、前后各剪去了 2 个小正方形的边长 ，所以底面边长为 ； （2）折起后，小正方形的边长 就是盒子的高，即高为 ； （3）底面是边长为 的正方形，底面积为 ； （4）当 ， 时，，所以底面积为 。 答：这个盒子的底面积是 。 【解析】本题结合几何图形考查用整式表示数量关系。判断底面边长时，要注意每个方向各剪去了 个小正方形的边长；折起后小正方形的边长即为盒子的高。 15.【答案】 （1）填表如下：三角形个数 依次为 、、、，对应火柴棒根数依次为 、、、。 （2）观察规律：，，，，每多搭 1 个三角形只增加 2 根火柴棒（相邻两个三角形共用一条边），所以搭 个三角形共需要 根火柴棒。 （3）当 时，（根）。 答：搭 个三角形一共需要 根火柴棒。 【解析】本题是图形规律探究题，通过观察前几个图形中火柴棒根数的变化，归纳出一般规律，体现由特殊到一般的数学思想。 三、拓展题 16.【答案】 （1）该多项式各项的次数依次为： 的次数是 ； 的次数是 ； 的次数是 ； 是常数项，次数为 。 因为该多项式是四次四项式，所以最高次项的次数为 ，即 ，解得 。 （2）单项式 的次数为 。 由题意，该多项式的次数为 ，所以 ，解得 。 【解析】多项式的次数由次数最高的项决定；单项式的次数是所有字母的指数之和。 17.【答案】 （1）16 块地砖中蓝色地砖 4 块，白色地砖有 （块），所以白色地砖的总面积为 ； （2）当 时，（平方米）。 答：白色地砖的总面积是 平方米。 【解析】先求出白色地砖的块数，再用块数乘每块地砖的面积即可。 18.【答案】 （1）②③ 【解析】① 各项系数之和为 ， 不是 的整数倍，不符合；② 各项系数之和为 ， 是 的 倍，符合；③ 各项系数之和为 ，，是 的整数倍，符合。故填②③。 （2）多项式 的各项系数为 、、、，系数之和为 。 由题意 ，得 。因为 、 均为正整数，所以 可以为 、、、、、，对应 的值分别为 、、、、、，所以 的最大值为 。 （3）多项式 的各项系数之和为 ，因为 ， 是 的整数倍，所以它是“雅致多项式”。 把各项系数都换成相反数后得到 ，其各项系数之和为 ，仍是 的整数倍，所以 还是“雅致多项式”。 【解析】理解新定义的关键是“各项系数之和”要连同系数前面的符号一起相加，并注意 是任何非零整数的整数倍。 学科网（北京）股份有限公司 $