精品解析：福建省福安市第一中学冠杭校区2026-2027学年第一学期阶段性质量监测九年级数学科试卷

福安一中冠杭校区2026—2027学年第一学期阶段性质量监测 九年级数学科试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项正确） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. −1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：对于一元二次方程，与一般形式对比，可得，，； 根据一般形式，二次项系数是a，所以该方程的二次项系数是2． 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，2y=3x，不合题意； B．由可得，2y=3x，不合题意； C．由可得，3y=2x，符合题意； D．由可得，3x=2y，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积． 3. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故A不符合题意； B．由可以判定平行四边形为矩形，故B符合题意； C．由可以判定平行四边形为菱形，故C不符合题意； D．由可以判定平行四边形为菱形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 4. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个正三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形． 【详解】解：、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； 、两个正三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意； 、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意； 、两个等腰三角形，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查相似形的定义，解题的关键是熟悉各种图形的性质和相似图形的判断． 5. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角相等 D. 对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的性质，解题的关键是掌握菱形和矩形的性质． 利用菱形和矩形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，该选项符合题意； B.矩形和菱形的对角线都互相平分，该选项不符合题意； C.菱形和矩形都具有对角相等的性质，该选项不符合题意； D. 菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，该选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 7. 已知线段，，，则线段a、b、c的第四比例项d的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若四条线段按顺序a、b、c、d满足比例关系，则d叫做a、b、c的第四比例项；代入已知条件列等式，求出d的值． 【详解】解：根据定义可得比例关系， 代入，，，得， 解得． 8. 根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是 C. 方程有一根为 D. 方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 9. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可． 【详解】解：是的黄金分割点， ， ，， ，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键． 10. 如图，在矩形中，为中点，G为上动点且，连接，则的最小值为（ ） A. B. 12 C. D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，对称的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识；连接，作点E关于直线的对称点H，连接；由矩形的性质及，得四边形是矩形，则；由对称的性质得，则，当点G在线段上时，取得最小值，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，作点E关于直线的对称点H，连接； ∵四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴； ∴四边形是矩形， ∴； 由对称的性质得，， ∴点H在的延长线上； ∵点E为的中点，， ∴， ∴； ∵， ∴当点G在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得； 即的最小值为15． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，两条公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：、互相垂直，则， 为斜边 的中点， ． 12. 如图，，，则EF的值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：6． 13. 若是一元二次方程的解，则m的值__________________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：将代入得，， 解得． 14. 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据示例中赵爽弦图的构造方法，将方程变形为，可知矩形的长为，宽为，进而表示出大正方形的边长，利用大正方形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：由方程 移项得，即． 根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为． 大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即． 因为大正方形的面积为， 所以． 因为为正整数， 所以， 所以． 解得． 15. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可证为等边三角形，可求的长，即可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分． 16. 如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②； ③；④．其中正确的有_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】连接，由四边形是正方形与点E、F、H分别是、、的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，即可证得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，根据等腰三角形的性质，即可得．则问题得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E、F、H分别是、、的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在中，H是边的中点， ∴，故④正确； 如图，连接， 同理可得：， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，故②正确； ∴， 同理：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴．故③正确． 综上所述：正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程无法直接因式分解，可采用一元二次方程公式法求解； （2）方程，先变形，移项后提取公因式，使用因式分解法求解，不能直接两边同除含未知数的因式，避免丢失根． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18. 如图，在菱形中，于点，于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ，， ，， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，根据菱形的性质可得，，再由，，得到，由此即可证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，在中，D，E分别是，上的点，．求证：． 【答案】证明：∵（平角），， ∴． 又∵（公共角）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【解析】 【分析】两角分别相等的两个三角形相似． 【详解】略． 20. 如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）BC的长为4米 （2）不能围成面积为75平方米的花圃．理由如下：                                      当时，                                 整理得，                                     ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为75平方米的花圃． 【解析】 【分析】（1）设的长度为x米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可． 【小问1详解】 解：设的长度为x米，则的长度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． ∵， ∴舍去． 答：的长为4米． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 21. 【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．已知实数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若，且，m为正整数，，求证：c一定是偶数． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ， ∴为非负数． （2）证明：∵为正整数， ∴也为正整数，则， ， ， ∴． ∵m 为正整数，为偶数， ∴c 一定是偶数． 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式对进行变形，代入已知条件并提取公因式，化简并判断非负性即可； （2）先求出，，再利用二次根式的性质进行化简即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 22. 一纸侨批，半生守望．作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至6月初，《给阿嬷的情书》票房已超16亿元． （1）已知5月12日至5月14日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为2100万，第三天日票房为3024万，那么这三天的日票房平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的桥点．某旅行社推出“A、B两种文创伴手礼套餐”，若购买3份A套餐和2份B套餐共需320元，购买2份A套餐和3份B套餐共需300元，求A、B两种套餐每份的价格分别是多少？ 【答案】（1）这三天的日票房平均增长率为 （2）A套餐每份72元，B套餐每份52元 【解析】 【分析】（1）设这三天的日票房平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解； （2）设A套餐每份a元，B套餐每份b元，根据题意列出二元一次方程组求解． 【小问1详解】 解：设这三天的日票房平均增长率为x． 由题意得， 解得，（舍去）， 答：这三天的日票房平均增长率为． 【小问2详解】 解：设A套餐每份a元，B套餐每份b元． 由题意得 解得． 答：A套餐每份72元，B套餐每份52元． 23. 下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 如图1：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D； ②连接，作射线； ③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E； ④连接，交于点F，点F即为的三等分点（即）． 任务： （1）求证：四边形是菱形； （2）请你证明点F为的三等分点； （3）尺规作图：如图2，请利用尺规再设计一种方法，作线段的三等分点．（保留作图痕迹） 【答案】（1）证明：由作图可得， ∴四边形是菱形； （2）由（1）得， ． 由作图可知：， ∴， ． ∴， ， ， ∴， ，即， （3） 【解析】 【分析】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形和四边形的相关知识并能灵活运用是解题的关键； （1）根据作法得出再根据菱形的判定方法即可得出结论； （2）先证明，再通过证明即可得到结论； （3）根据题意运用尺规作图即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，任意作一条射线，截取，连接， 分别作，即可得出线段的三等分点、， ∴点N点G是所求作的． 24. 已知关于x的方程有两个实数根，其中． （1）若，求的值； （2）一次函数的图像上有两点，若，求m的值； （3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3）该直角三角形的面积为30或24 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“”，根与系数关系“”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用； （1）将代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到，将转化即可求解； （2）根据点在函数图像上，得出，再根据根与系数关系得到，根据即可求解； （3）根据直角三角形两直角边为整数，得出，令(为正整数)，得出，又，然后分三种情况取值即可解答； 【小问1详解】 当时，方程为， ， ， 即； 【小问2详解】 将代入可得， 又， 故， ， 即，， ， ， ， ； 【小问3详解】 ∵直角三角形两直角边为整数， 为平方数， 不妨令(为正整数)， ， ， ， 当①∴， 解得（不合题意舍去）； 当②， 解得， ∴方程， ，则斜边为13， 即； 当③， 解得， ∴方程， ，则斜边为10， 即， 综上所述：该直角三角形的面积为30或24． 25. 在中，，，，如图1，将绕点A顺时针旋转某个角度得到，其中D是点B的对应点，E是点C的对应点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当点D在线段上时，求线段的长； （3）连接，，在旋转过程中，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， 即，， ∴； （2） （3）是定值，定值为50 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，进而得出，，即可求证； （2）法一：过点A作于F，根据勾股定理求出， 用等面积法得出，则，再根据勾股定理得出，再根据三线合一得出， 最后根据，即可求解； 法二：过点A作于F，通过证明，得出，则； 最后根据三线合一，即可得出； （3）设和相交于点G，和相交于点H，通过证明，得出 即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：法一：如图，过点A作于F， ∵，，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴，即 ∴； 法二：如图，过点A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即 ∴； ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，设和相交于点G，和相交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴是定值，定值为50． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，等腰三角形三线合一，旋转前后对应边和对应角相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福安一中冠杭校区2026—2027学年第一学期阶段性质量监测 九年级数学科试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项正确） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. −1 B. 0 C. 2 D. 3 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个正三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个等腰三角形 5. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角相等 D. 对角线相等 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 7. 已知线段，，，则线段a、b、c的第四比例项d的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是 C. 方程有一根为 D. 方程有两个不相等的实数根 9. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，为中点，G为上动点且，连接，则的最小值为（ ） A. B. 12 C. D. 15 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，两条公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 12. 如图，，，则EF的值为____． 13. 若是一元二次方程的解，则m的值__________________． 14. 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 15. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为_________． 16. 如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②； ③；④．其中正确的有_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，于点，于点．求证：． 19. 如图，在中，D，E分别是，上的点，．求证：． 20. 如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求的长；如果不能，请说明理由． 21. 【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．已知实数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若，且，m为正整数，，求证：c一定是偶数． 22. 一纸侨批，半生守望．作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至6月初，《给阿嬷的情书》票房已超16亿元． （1）已知5月12日至5月14日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为2100万，第三天日票房为3024万，那么这三天的日票房平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的桥点．某旅行社推出“A、B两种文创伴手礼套餐”，若购买3份A套餐和2份B套餐共需320元，购买2份A套餐和3份B套餐共需300元，求A、B两种套餐每份的价格分别是多少？ 23. 下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 如图1：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D； ②连接，作射线； ③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E； ④连接，交于点F，点F即为的三等分点（即）． 任务： （1）求证：四边形是菱形； （2）请你证明点F为的三等分点； （3）尺规作图：如图2，请利用尺规再设计一种方法，作线段的三等分点．（保留作图痕迹） 24. 已知关于x的方程有两个实数根，其中． （1）若，求的值； （2）一次函数的图像上有两点，若，求m的值； （3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 25. 在中，，，，如图1，将绕点A顺时针旋转某个角度得到，其中D是点B的对应点，E是点C的对应点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当点D在线段上时，求线段的长； （3）连接，，在旋转过程中，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $