四川省成都市树德中学（光华校区）2026-2027学年高二上学期10月阶段'性测试数学试题

树德中学高2025级高二10月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.直线x-V3y+1=0的倾斜角为() A.0° B.30° C.45° D.60 2.已知向量a=(-1,1,1),b=(2,x,1),且a1b,那么b=() A.2 B.V10 C.v6 D.5 3.直线3x-4y-1=0与6x-8y+9=0间的距离是（) A.1 B.岩 C.2 D.号 4.如图，在四面体OABC中，M为棱BC的中点，点N,P分别满足O=2NM, NA=3NP,则OP=() A.0A+0B+20C B.0A+20B+0C N c.0A+0B+0C D.0A+08+0C M B 5.直线经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点，且 与直线x+2y+1=0垂直，则l的方程是() A.2x+y-5=0 B.2x+y+7=0 C.2x-y-7=0 D.2x-y+5=0 6.在四面体P-ABC中，PA1平面ABC,AB=BC=2,∠ABC=120°.若四面体P一ABC的体积 为，则AC与平面PBC所成角的正弦值为《) A. 3 B.Vs c.6 D.v 7 7.己知AB=(2,3,2V3),AC在AB上的投影向量为AB,且BC=5,则cos<AB,AC>=() A. 5 B.25 C. D. 2026-10高一数学 8.光线沿着直线ax-y+2=0射到直线y=-x+1上，经反射后沿着直线3x+y-b=0射出， 则有() A,a=-字b=2 B.a=3,b=2 C.a=3,b=-2 D.Q=-b=-2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中，正确的有() A.方程k=y2与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线 x+1 B.过点(5,0)，且倾斜角为90的直线方程为x-5=0 C.过点P(1,2)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0 D.过点P(xo,yo)的直线方程都可表示为A(x-xo)+By-yo)=0(4,B∈R) 10.对于空间中一组向量d(i=1,2,3),若存在不全为零的实数k:(i=1,2,3) 使得k1d1十k2d2+k3d3=0,则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关则() C A.若a1,d2,d线性相关，则a1,d2,d3可作为空间的一组基底 B.若d=(-1,1,1),=(-2,2,2),c=(3,1,-4),则a,b,线性相关 C.若a=(-1,1,1),=(1,2,3),c=(2,3,4),则a,b,线性无关 D.若a1,d2,d3线性无关，则a1-d2,2a1-3d2,a3-d线性无关 11,如图，直角梯形ABCD,AB/CD,AB1BC,BC=CD=AB=4,E为AB中点，以DE为折 痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，则() A.平面PBEI平面PDE B.当PC=4v3时，PE1EB C.存在点P使得直线PB与直线EC所成角为西 D.二面角C-PE-B的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直，则实数a的值为 第1页共2页 13.对于任意x∈R,不等式√x2-2x+10+Vx2-8x+17≥m恒成立，则m最大值为 14.如图，二面角a-1-B的棱上有两点A,B,点C,D分别在半平面a,B内. 若∠CAB=,AC1AD,二面角a-1-B的余弦值为-，则直线AD与1夹 角的余弦值为 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16,17题各15分，第18,19题各17分，共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知空间向量，满足a=(1,2,-2),=6. (①)若与的夹角为60°，求3d- (2)若/石，求向量的坐标. 16.（15分)如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=AD=3,AA'=2,∠BAD=90°， ∠BAA'=∠DAA'=60°. D (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD,并求BD'的长； B (2)求证：BD⊥AC'; D B 17.（15分)己知△ABC的顶点A(1,1),AC边上的高BD所在直线方程为x-3y-1=0,AC边上的 中线BE所在直线方程为x+4y+6=0. (1)直线经过点(0，-2)，点B到的距离为2，求直线的一般方程； (2)求△ABC的面积. 2026-10高一数学 18.(17分)如图所示，七面体ABCDEFG中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形， (I)求证：FC//平面ADGE; (2)若GF=CD=BC=V2AE,LEAD=45°，平面ADGE1平面 E ABCD. D (①)求直线GF与平面CDF所成角的正弦值； (i)线段EG上是否存在一点M,使得平面CDF与平面CDM夹角的余弦 值为7，若存在，求“的值，若不存在，说明理由 EG 19.(17分)在空间直角坐标系0xyz中，已知向量元=(a,b,c),点P(xo,yo,Zo).若直线以i为方 向向量且经过点P,则直线的标准方程可表示为==2(abc≠0)：若平面α以为法 向量且经过点P。,则平面a的点法式方程可表示为a(x-x)+b(y-yo)+c(z-zo)=0.如图所 示，在空间直角坐标系0xyz中，已知五点A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,2,0),D(1,0,0),P(0,0,1),E为线段 PC的中点. (I)求平面PBD的点法式方程； (2)设直线AE与平面PBD的交点为F,求点F到直线PB的距离； (3)过AE的平面交线段PB,PD于点M,N,求四棱锥P-AMEN体积 的最小值 第2页共2页 树德中学高2025级高二10月阶段性测试数学试题答案 一、 选择题 题号1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案B B D D BD BCD ABD 一、 填空题 12.【答案】0或-1 13. 【答案】5 14. 【答案】 1.【答案】B 【详解】x-V3y+1=0的斜率为， 故倾斜角为30 2.【答案】C 【详解】因为a1b,所以-2+x+1=0,即x=1,所以=V4+1+1=V6. 3.【答案】B 【详解】由6x-8y+9=0得3x-4y+号=0， 所以直线3x-4-1=0与3x-4y+号=0间的距离是-共 v9+1610 4.【答案】A 【详解】在四面体OABC中，M是BC的中点，则OM=(OB+OC), 因为0N=2NWM,所以0N=20M-20N,所以30N=20M=0B+0C, 又NA=3NP,所以OA-ON=30P-30N,所以30P=20N+OA, 所以0P=0N+0A=0A+0B+0C 5.【答案】C 【详解】直线经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点， x6-0可得交点6，-少. 直线与直线x+2y+1=0垂直，则直线的斜率为2 所以直线的方程为：y+1=2(x-3),即2x-y-7=0. 6.【答案】D 【详解】在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120,由三角形面积公式得S△ABC=2AB·BC· sin120°=V3,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°=12，故AC=2V3, 因为PA1平面ABC,四面体体积V=SAARG·PA=25,代入S△ABc=3解得PA=2, 以B为原点，BC为y轴，平面ABC内垂直于BC的方向为x轴，过B且垂直于平面ABC的方向为z 轴， 得各点坐标：B(0,0,0),C(0,2,0),A(V3,-1,0),P(3,-1,2）,BC=(0,2,0),PB= (-V3,1,-2) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), n·BC=2y=0 则np明=3x+y-2z二0 ,解得y=0,令x=2得z=-V3,即n=(2,0,-V3), 又向量AC=(-V3,3,0)，AC|=2V3, 设Ac与平面P8C所成角为0，根据线面角与向量火角的关系，m9=水ko(C,训图 2026-10高一数气 -2w=互 23×W7-7 7.【答案】A ++ 【详解】由题可得：A=4+9+12=5,因为AC在A丽的投影向量为4cA0AB=AB, 51 AB 所以9-手即：Ac·AB=AB=10,且BC-c-A=Ac+E-2aC AB AB, 代入BC=5,AC·AB=AB,化简得：25=AC+25-20,解得：AC=2V5, 5 所以cs,AC-=” =V5 AC AB 2V3x5 5 8.【答案】D 【详解】由题意，点(0,2)在直线ax-y+2=0上， 且点(0,2)关于直线y=-x+1对称的点为(-1,1)， 所以点(-1,1)在直线3x+y-b=0上，即-2-b=0,解得b=-2: 所以点0，-2)在直线3x+y+2=0上， 且点(0，-2)关于直线y=-x+1对称的点为(3,1)， 则点(3,1)在直线ax-y+2=0上，即3a+1=0,解得a=-号 故选：D. 二、多选题 9.【答案】BD 【详解】对于A:方程k=2分母不为0，要求x≠-1，对应的直线不包含点(-1,2)， x+1 而y-2=k(x+1)包含点(-1,2)，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B:过点(5,0)，且倾斜角为90°的直线方程为x一5=0，故B正确： 对于C:若过原点，则过点P(1,2)且横纵截距相等的直线方程为y=2x, 若不过原点，则过点P(1,2)且横纵截距相等的直线方程为x+y-3=0,故C错误； 对于D:当斜率存在时可表示为y-y。=k(x-xo),满足，当斜率不存在时，直线为x-x。=0, 即B=0,A≠0，也满足故D正确。 10.【答案】BCD 【详解】对于A:根据题意，三个向量线性相关即共面，所以A错误 对于B:若a=(-1,1,1),b=（-2,2,2),=(3,1,-4), 根据题意，设k1d1+k2d2+k3dg=0, 即(-k1-2k2+3k3,k1+2k2+k3,k1+2k2-4k3)=0, -k1-2k2+3k3=0 (k1=2 所以+旅。，解好2.0，。 （k3=0 所以2d1-d2+0·d3=0,B正确： 对于C:若d=(-1,1,1),b=(1,2,3),c=(2,3,4), 第1页共2页 根据题意，设kd1+k2d2+k3d3=0, 即(-k1+k2+2k3,k1+2k2+3k3,k1+3k2+4k3)=0, -k1+k2+2k3=0 所以k+2k+3k3=0 (k1=0 k+3k2+4k3=0,解得k2=0, (k3=0 所以a,b,c线性无关，C正确： 假设d1-d2,2d1-3d2,d3-d1线性相关， 则存在不全为零的实数k:(i=1,2,3)使得k1(d1-a2)+k2(2a1-3d2)+k3(d3-d1)=0, 则(k1+2k2-k3)d1-(k1+3k2)a2+k3d3=0, k1+2k2-k3=0 (k1=0 因为a,a2,d3线性无关，则 k1+3k2=0,得k2=0, k3=0 (k3=0 与假设矛盾，D正确。 11.【答案】ABD 【详解】对于A:由己知，AB/ICD,AB1BC,BC=CD=AB=4,E为AB中点， 所以EB=CD,所以四边形EBCD是矩形， 所以DE⊥AB,由折叠可知，DE L PE,DE⊥EB,因为PE∩EB=E, 所以DE⊥平面PEB,所以PDE⊥平面PEB,所以A正确： 对于B:如图，连接EC,EC=VEB2+BC2=4W2,所以PC2=PE2+EC2,所以PE1EC,又 PE⊥ED,DE∩EC=E,所以PE⊥平面EBCD,所以PE⊥EB,所以B正确： 对于C:设直线PB与直线EC所成角为a,由三余弦定理知：cosa=lcos∠PBE到·cos 所以cosa∈(0，，所以不存在P使得直线PB与直线EC所成角为，C错误： 对于D:由CBI平面PEB,所以CB⊥PE,作BQ⊥PE,交PE于点Q,所以PE⊥平面CQB, 则CQ⊥PE,所以二面角C-PE-B的平面角是LCQB, tan∠cQB=器=动满足BQ1PE的BQ的最大长度为4，所以tam4cQB的最小值为1， 即二面角C一PE-B的最小值为，所以D正确。 三、填空题 12.【答案】0或-1 【详解】由直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直， 所以a2×1+(-1)×(-a)=0,a2+a=0,解得a=0或a=-1 13.【答案】5 【详解】因为Vx2-2x+10=√x-1)2+(0-3)2,即表示x轴上P(x,0)到点A(1,3)的距离， 同理Vx2-8x+17=√x-4)2+(0-1)2可表示x轴上P(x,0)到点B(41)的距离，所以 Vx2-2x+10+Vx2-8x+17可以表示为PA+IPB|,点A(1,3)关于x轴的对称点A'(1,-3) 则PA=PA',故PA十PB=PA'+PB,由两点之间线段最短， 则PA'+PB的最小值为A'B的长度，故AB=J4-1)2+(1-(-3)2=5,所以m≤5. 14.【答案】 【详解】分别取C,D满足BC,BD都垂直于AB,连接CD,不妨设AB=BC=1,则ACV2, 202610高一数 设∠BAD=6,则BD=tan6,AD=o0则CD2=2+(心前 在ABCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·(←， 即2+(g}=1+(tan0)2+2ytan0,解得cos0=月 cose 三、解答题 15.【答案】(1)3V7 (2)(2,4,-4)或(-2，-4,4) 【详解】(1)因为a=(1,2,-2), 所以川=√12+22+(-2)2=3. …1分 因为=6，且与b的夹角为60°， 所以d:万=·los(a,)=3×6×=9, …3分 则(3a-=9-6a.i+=9×32-6×9+62=63,…5分 故3-=6=3v7. …7分 (2)因为a/6,所以=ka: …8分 当向量a,5洞向时，k-合=2，则6-2a=(240: …10分 当向量五反向时，k=-周=-2.则6=-2五=（←-2-4利.…12分 综上，向量b的坐标为(2,4，-4)或(-2，-4,4) …13分 16.【答案】(1)BD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA …3分 因为AB=AD=3,AA'=2,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°， 所以AB·AD=0,AB·AA=AD·AA=3X2Xc0s60°=3 所以BD之=(-AB+AD+AA2=AB2+AD2+AA-2AB.AD-2AB·AA+2AD·AA =9+9+4=22 …6分 所以BD'=V22 …7分 (2)BD·AC=(AD-AB）·(AB+AD+AA) …10分 =AD·AB+AD2+AD·AA-AB2-AB·AD-AB·AA =0+32+3-32-0-3=0, …14分 所以BD L AC,即BD L AC': …15分 17.【答案】(1)x=0或3x-4y-8=0 (2)11 【详解】(1)依题意，点B是直线BD与直线BE的交点， 收++68解配=二子 所以点B的坐标是(-2，-1). …2分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0,满足题意；…4分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx一2，所以2=2，解得k=三.…6分 V1+k2 4 3 直线的方程为y=4x-2,即3x-4y-8=0 所以直线的方程为x=0或3x一4y-8=0 …7分 学第2页共2页 (2)边AC上的高BD所在直线方程为x-3y-1=0, kAc·kBD=-1,且kD=子即kAc=-3, △ABC的顶点A(1,1),直线AC方程；y-1=-3(x-1),…9分 即3x+y-4=0与x+4y+6=0联立， 3x+y-4=0 x+4y+6=0’ 解得： 了x=2 y=-2’E的坐标为(2，-2)， …11分 所以AE=J(2-1)2+√-2-1)2=V1⑩ 点B(-2,-1)到直线AC:3x+y-4=0的距离为3×-2)-1-4= V10 所以ABAC的面积为24BE=V1而×品=11 …15分 18.【答案】(I)证明：因为四边形ABFE与四边形ABCD均为平行四边形， 所以AE/IBF,BC//AD: 因为BFZ平面ADGE,AEC平面ADGE,所以BF//平面ADGE, 同理可证BC//平面ADGE, 因为BF∩BC=B,BFC平面BFC,BCC平面BFC, 所以平面BFC//平面ADGE, 又CFc平面BFC,所以FC/平面ADGE;…4分 分 D (2)连接BD,根据BF/DG且BF=DG,所以四边形BDGF是平行四边形 则GF=BD,所以△DBC是正三角形，则□ABCD是菱形且∠BAD=60°， 取AD的中点O,连接OB,则OB1AD,设AE=V2,则AD=AB=2, ∠EAD=45°，所以0E1AD B 因为平面ADGE⊥平面ABCD,平面ADGE∩平面ABCD=AD, 所以OE1平面ADCB,因此以O为原点，OA,OB,OE分别为x轴，y轴，z轴如图建系， 则A(1,0,0)D(-1,0,0),B(0,V3,0),C(-2,V3,0),E(0,0,1), …5分 由口ABCD与口ABEF,可知EF=AB=DC,所以四边形EFCD为平行四边形， 则CF=D正=(10,1)，DC=(-1,3,0),GF=DB=(1,3,0), 设平面GDF的法向量c2)·则·下0·即x0 坑.DC=0 取y=1,得x=3,z=-3,则元=(5,1，-3)，…7分 设直线GF与平面CDF所成角为日， 则sing-水kos优丽引-隔-品- 7 即直线GF与平面CDF所成角的正弦值为 …10分 7 (3)设M(a,0,1)(a∈[-2,0])，DM=(a+1,0,1) …11分 设平面CDM的法向量元=（化，y,),则元·D7=0 (a+1)x+z=0 (m.DC=0 ,即 -x+V3y=0 取y=1，得x=V3,z=-3(a+1), 则m=(5,1,-3(a+1), …13分 设平面CDM与平面CDF所成角为a, 202610高一数学 cea=lcos优m1--4a 4+3(a+1)=2y7 7 …15分 解得a=-1或a=7(舍)， …16分 所以存在M使得平面CDF与平面CDM夹角的余弦值为y,此时的值为对 …17分 19.(1)由题PB=(0,1,-1),BD=(1,-1,0) 设平面P8D的法向量为m=Gy,2),则{位：E0，即化二=0 .BD=0 x-y=0 取x=1,得y=1,z=1,则m=(1,1,1), …2分 又因为平面PBD过点P(0,0,1),所以平面PBD的点法式方程为：x+y+z-1=0…4分 (2)因为E为线段PC的中点，所以E(G,1,),AE=C,1,,直线AE过点A(0,0,0), 则直线AB的方程为=兰登化简得2x=y=2, …6分 联立平面PBD的点法式方程x+y+z-1=0 得交点坐标为F), …7分 pF=(-)PE=01,-1), 所以F到直线PB的距离为，P2_ 25 …10分 PB2 (3)F∈AE,所以F∈AMEN,且F∈平面PBD 又因为平面PBD∩平面AMEN=MN,所以F∈MN. 设PM=PB,P=uPD 在三角形PBD中，p示=(，3，-)，P8=(0,1-1),P币=(1,0，-1)， 设P所=xPB+yPD,则(，，-到=x(0,1,-1)+y(10,-1). =y 4 x3 所以〈 所以 2 1 -3=-x-y y=4 所以PF=P丽+PD=京PM+PN,则发+=1 …13分 p-AwEN=MA-PMN+VE-PNN=AA-PBD+E-PBD=A-ABD+号p-cBD=号 .…15 3 分 又因为+京-1≥2乐所以业≥字当且仅当贫--却以-1，“-时取等号 所以，当点M在B处，N在PD中点时，四棱锥P-AMEN体积取最小值为。 …17分 第3页共2页