2.3 用公式法求解一元二次方程 课后练习 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

2.3 用公式法求解一元二次方程　课后练习 【课后练习】·【2026—2027学年】·【北师大版】·【九年级数学上册】 满分：100分　　考试时间：90分钟　　命题：教师独立自研原创 姓名：______________　　班级：______________　　得分：______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1．一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是（　　） A．x＝（b²－4ac≥0）　　B．x＝（b²－4ac＞0） C．x＝（b²－4ac≥0）　　D．x＝（b²－4ac＜0） 2．用公式法解方程 2x²－3x－2＝0 时，把方程化为一般形式并确定 a、b、c，则 a、b、c 的值分别是（　　） A．2，3，－2　　B．2，－3，2　　C．2，－3，－2　　D．－2，3，2 3．不解方程，判断方程 3x²＋2x－1＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．只有一个实数根 4．不解方程，判断方程 x²＋4x＋5＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．只有一个实数根 5．若关于 x 的一元二次方程 x²－2x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（　　） A．－1　　B．0　　C．1　　D．2 6．若关于 x 的一元二次方程 x²－2x＋m＝0 没有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞1　　B．m＜1　　C．m≥1　　D．m≤1 7．用公式法解方程 2x²－7x＋3＝0 时，b²－4ac 的值为（　　） A．25　　B．1　　C．49　　D．－1 8．小华用公式法解方程 x²＋2x－3＝0 的过程如下：第一步，确定 a＝1，b＝2，c＝－3；第二步，计算 b²－4ac＝2²－4×1×（－3）＝16；第三步，代入求根公式，得 x＝；第四步，解得 x₁＝1，x₂＝－3。小华的解答（　　） A．第一步错误　　B．第二步错误　　C．第三步错误　　D．完全正确 9．用公式法解方程 x²－5x＋3＝0，得（　　） A．x＝　　B．x＝　　C．x＝　　D．x＝5± 10．若关于 x 的一元二次方程 kx²－6x＋9＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＜1　　B．k＜1 且 k≠0　　C．k≤1 且 k≠0　　D．k＞1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程 3x²－5x－1＝0 中，a＝（　　），b＝（　　），c＝（　　）。 12．不解方程，计算方程 x²－4x＋1＝0 的根的判别式 b²－4ac＝（　　），并判断它的根的情况为（　　）。 13．用公式法解方程 x²－6x－1＝0，得 x＝（　　）。 14．若关于 x 的一元二次方程 2x²－kx＋8＝0 有两个相等的实数根，则 k＝（　　）。 15．若关于 x 的一元二次方程 x²－4x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值为（　　）。 16．若关于 x 的一元二次方程 x²＋2x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　）。 三、解答题（本大题共7小题，共52分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）用公式法解下列方程： （1）x²－3x－2＝0； （2）2x²－5x＋1＝0。 18．（7分）用公式法解下列方程： （1）x²－2x－4＝0； （2）3x²＋5x－2＝0。 19．（7分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－2kx＋k²－1＝0。 （1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为 0，求 k 的值。 20．（8分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－4x＋3m＝0 有两个不相等的实数根。 （1）求 m 的取值范围； （2）当 m＝1 时，用公式法求该方程的根。 21．（8分）如图1，某公园计划在一块空地上建造一个矩形观赏池，观赏池的长比宽多 2 m，对角线长为 10 m。 图1 （1）设宽为 x m，用含 x 的代数式表示长，并根据勾股定理列出关于 x 的方程； （2）用公式法求观赏池的长和宽。 22．（8分）下面是小刚用公式法解方程 x²－3x－10＝0 的过程： 解：a＝1，b＝3，c＝－10。 Δ＝b²－4ac＝3²－4×1×（－10）＝9＋40＝49。 x＝，即 x＝。 所以 x₁＝2，x₂＝－5。 （1）小刚的解答从第几步开始出错？请说明理由； （2）请写出正确的解答过程。 23．（8分）已知关于 x 的方程 x²－2（a＋1）x＋a²－3＝0（a 为实数）。 （1）当 a＝2 时，用公式法求该方程的根； （2）小明说：“无论 a 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。”请判断小明的说法是否正确，并说明理由。 参考答案与解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．A　【解析】一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为 x＝，其中 b²－4ac≥0。选项 B 把条件写成 b²－4ac＞0，漏掉了两个相等实数根的情形；选项 C 分子符号错误；选项 D 根号内符号错误。故选 A。 2．C　【解析】原方程已经是一般形式 2x²－3x－2＝0，故 a＝2，b＝－3，c＝－2。故选 C。 3．A　【解析】Δ＝b²－4ac＝2²－4×3×（－1）＝4＋12＝16＞0，所以方程有两个不相等的实数根。故选 A。 4．C　【解析】Δ＝b²－4ac＝4²－4×1×5＝16－20＝－4＜0，所以方程没有实数根。故选 C。 5．C　【解析】由题意 Δ＝（－2）²－4×1×k＝4－4k＝0，解得 k＝1。故选 C。 6．A　【解析】由题意 Δ＝（－2）²－4×1×m＝4－4m＜0，解得 m＞1。故选 A。 7．A　【解析】a＝2，b＝－7，c＝3，Δ＝b²－4ac＝（－7）²－4×2×3＝49－24＝25。故选 A。 8．D　【解析】化一般式后 a＝1，b＝2，c＝－3；Δ＝2²－4×1×（－3）＝4＋12＝16；x＝，解得 x₁＝1，x₂＝－3。四个步骤均正确。故选 D。 9．A　【解析】a＝1，b＝－5，c＝3，Δ＝b²－4ac＝（－5）²－4×1×3＝25－12＝13；x＝。故选 A。 10．B　【解析】方程是一元二次方程，所以二次项系数 k≠0；有两个不相等的实数根，所以 Δ＝（－6）²－4×k×9＝36－36k＞0，解得 k＜1。综上，k＜1 且 k≠0。故选 B。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．3；－5；－1　【解析】方程已是一般形式，故 a＝3，b＝－5，c＝－1。 12．12；有两个不相等的实数根　【解析】Δ＝b²－4ac＝（－4）²－4×1×1＝16－4＝12＞0，所以方程有两个不相等的实数根。 13．x＝3±　【解析】a＝1，b＝－6，c＝－1，Δ＝（－6）²－4×1×（－1）＝36＋4＝40；x＝＝＝3±。 14．k＝±8　【解析】Δ＝（－k）²－4×2×8＝k²－64＝0，解得 k＝±8。 15．3　【解析】Δ＝b²－4ac＝（－4）²－4×1×m＝16－4m＞0，得 m＜4，所以 m 的最大整数值为 3。 16．m＞－1　【解析】Δ＝b²－4ac＝2²－4×1×（－m）＝4＋4m＞0，得 m＞－1。 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17．【答案】（1）x＝；（2）x＝。 【解析】（1）a＝1，b＝－3，c＝－2，Δ＝b²－4ac＝（－3）²－4×1×（－2）＝9＋8＝17；x＝。 （2）a＝2，b＝－5，c＝1，Δ＝b²－4ac＝（－5）²－4×2×1＝25－8＝17；x＝。 18．【答案】（1）x＝1±；（2）x＝或 x＝－2。 【解析】（1）a＝1，b＝－2，c＝－4，Δ＝b²－4ac＝（－2）²－4×1×（－4）＝4＋16＝20；x＝＝＝1±。 （2）a＝3，b＝5，c＝－2，Δ＝b²－4ac＝5²－4×3×（－2）＝25＋24＝49；x＝，所以 x₁＝＝，x₂＝＝－2。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）k＝±1。 【解析】（1）Δ＝b²－4ac＝（－2k）²－4×1×（k²－1）＝4k²－4k²＋4＝4＞0。因为 Δ＞0 恒成立，所以无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）把 x＝0 代入方程，得 0－0＋k²－1＝0，即 k²＝1，解得 k＝±1。 20．【答案】（1）m＜；（2）x＝3 或 x＝1。 【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，所以 Δ＝b²－4ac＝（－4）²－4×1×3m＝16－12m＞0，解得 m＜。 （2）当 m＝1 时，方程化为 x²－4x＋3＝0。a＝1，b＝－4，c＝3，Δ＝b²－4ac＝（－4）²－4×1×3＝16－12＝4；x＝，所以 x₁＝3，x₂＝1。 21．【答案】（1）长为（x＋2）m，方程为 x²＋（x＋2）²＝100；（2）宽为 6 m，长为 8 m。 【解析】（1）宽为 x m，长比宽多 2 m，则长为（x＋2）m。由勾股定理，得 x²＋（x＋2）²＝10²，即 x²＋（x＋2）²＝100。 （2）整理，得 2x²＋4x＋4＝100，即 x²＋2x－48＝0。a＝1，b＝2，c＝－48，Δ＝b²－4ac＝2²－4×1×（－48）＝4＋192＝196；x＝，所以 x₁＝＝6，x₂＝＝－8。因为 x 表示宽，x＞0，所以 x＝6，此时 x＋2＝8。答：观赏池的宽为 6 m，长为 8 m。 22．【答案】（1）从第一步开始出错，理由见解析；（2）x＝5 或 x＝－2。 【解析】（1）把方程 x²－3x－10＝0 化成一般形式后，一次项系数 b＝－3，而小刚把 b 记成了 3，导致 Δ 和代入公式的计算全部出错，所以从第一步开始出错。 （2）正确解答：a＝1，b＝－3，c＝－10；Δ＝b²－4ac＝（－3）²－4×1×（－10）＝9＋40＝49；x＝＝，所以 x₁＝＝5，x₂＝＝－2。 23．【答案】（1）x＝3±2；（2）不正确，理由见解析。 【解析】（1）当 a＝2 时，方程化为 x²－6x＋1＝0。a＝1，b＝－6，c＝1，Δ＝b²－4ac＝（－6）²－4×1×1＝36－4＝32；x＝＝＝3±2。 （2）Δ＝b²－4ac＝[－2（a＋1）]²－4×1×（a²－3）＝4（a＋1）²－4a²＋12＝4a²＋8a＋4－4a²＋12＝8a＋16＝8（a＋2）。 当 a＞－2 时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当 a＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当 a＜－2 时，Δ＜0，方程没有实数根。例如取 a＝－3，则 Δ＝8×（－1）＝－8＜0，方程 x²＋4x＋6＝0 没有实数根。所以小明的说法不正确。 学科网（北京）股份有限公司 $