2.2.2 用公式法求解一元二次方程 课时练习 2026-2027学年 北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦公式法解一元二次方程，通过基础巩固、灵活应用、综合拓展三层设计，覆盖从概念识别到含参问题的完整路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式法基本步骤（识别a,b,c、计算判别式、直接解方程）|单选题1-5、填空题11-14，直接考查公式应用，强化运算准确性| |中档层|公式法灵活应用（降次法、根的估计、方程根的比较）|单选题2-3、6，填空题12，结合新定义与估算，发展推理意识| |提升层|含参方程与根的判别式综合应用|单选题8-10、解答题22-24，含参问题与错解分析，培养数学思维严谨性|

2.2.2 用公式法求解一元二次方程 课时练习 一、单选题 1．方程 的根是（　　） A． B． C． D． 2．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 是一元二次方程 较大的根，则下列对 值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（　　） A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2 C．x1＝1+ ，x2＝1﹣ D．x1＝1+ ，x2＝1﹣ 5．小丽同学想用公式法解方程 ，你认为a，b，c的值分别是（ ） A． 、3、 B． 、3、1 C． 、 、 D．1、 、 6． 同步训练）方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于（　　） A．3 B．2 C．1 D． 7．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（　　） A． B．x C． D． 8．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1 9．若关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有两个实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1且a≠0 B．a<1且a≠0 C．a≤1 D．a<1 10．已知关于x的一元二次方程 没有实数解，则k的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 且 二、填空题 11．用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程　 　． 12．对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是　 　。 13．方程 的解为　 　． 14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是　 　，条件是　 　． 15．关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是　 　. 16．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是　 　. 三、解答题 17．用公式法解方程：4x2－3＝12x. 18．用公式法解下列方程 2x2+6=7x． 19．解方程：2x2+3x﹣1=0． 20．解方程：x2﹣5=2（x+1） 21．解方程：x2+1=3x． 22．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步） ∴ （第三步） ∴ ， （第四步） （1）小明解答过程是从第　 　步开始出错的，其错误原因是　 　． （2）写出此题正确的解答过程． 23．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 24．已知关于x的方程 （其中m为实数） （1）当m　 　时，已知方程为一元一次方程； （2）当m　 　时，已知方程为一元二次方程； （3）若已知方程有实数根，求m的取值范围。 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； 故答案为：D. 【分析】先确定a、b、c的值，求出△的符号，利用公式法即可得到方程的解. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ = = = = = ， ∵ ，且 ， ∴ ， ∴原式= ， 故答案为：C. 【分析】先求得 ，代入 即可得出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解方程 得 ∵ 是一元二次方程 较大的根， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ . 故答案为：B 【分析】先求出方程的解 ，再求出的范围，最后即可得出答案． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0， 则x＝ ＝1± ， 即x1＝1+ ，x2＝1﹣ ， 故答案为：C． 【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得． 5．【答案】A 【解析】【解答】解：原式可变为-x2+3x-1=0 ∴a=-1，b=3，c=-1 故答案为：A. 【分析】将方程整理为一般式，即可得到a，b以及c的值。 6．【答案】B 【解析】【解答】2x2－6x＋3＝0， 这里a＝2，b＝－6，c＝3， ∵△＝36－24＝12， ∴x＝ ＝ ， 即p＝ ； 2x2－2x－1＝0， 这里a＝2，b＝－2，c＝－1， ∵△＝4＋8＝12， ∴x＝ ＝ ， 即q＝ ； 则p＋q＝ ＋ ＝2． 故答案为：B 【分析】分别利用公式法解出题干中的两个方程，根据方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，得出p，q的值，再代入代数式即可算出答案。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵3x2+4=12x， ∴3x2-12x+4=0， ∴a=3，b=-12，c=4， ∴ ， 故答案为：D. 【分析】由题意，将一元二次方程化为一般形式：3x2-12x+4=0，再将a、b、c的值代入公式即可求解。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2.又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0.综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D. 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有两个实数根， ∴b2-4ac≥0且a≠0 ∴4-4a≥0且a≠0 解之：a≤1且a≠0 故答案为：A. 【分析】利用一元二次方程的定义，可得到a≠0，利用一元二次方程有两个实数根，可得到b2-4ac≥0，列出不等式组，然后求出不等式组的解集. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得: , 解得 . 故答案为：A. 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组求解即可。 11．【答案】 【解析】【解答】解：设该方程为 ， 由 得： ， 则该方程为 ， 故答案为： ． 【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。 12．【答案】2 【解析】【解答】解： ∵x 4=-4， ∴x2-4x=-4， ∴x2-4x+4=0， ∴（x-2）2=0， ∴x1=x2=2， 故答案为：2. 【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解. 13．【答案】 ， 【解析】【解答】 ， a= ，b= ，c=-1， ∴△=3+4 ＞0， ， ∴ ， . 故答案为： ， . 【分析】利用一元二次方程公式法解此方程，先求出b2-4ac的值，再代入公式求出方程的解。 14．【答案】；b2-4ac≥0 【解析】【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， 移项，得ax2+bx=-c， 化系数为1，得 ， 配方，得 ， 即： ， 当 时， 开方，得 ， ∴ . 因此，本题正确答案是： ， 【分析】求根公式是，条件是−4ac≥ 0。 15．【答案】 且a≠0 【解析】【解答】∵关于x的方程 有两个实数根， ∴△=（-3）2-4×a×（-1）=9+4a≥0且a≠0， 解得： 且a≠0 故答案为： 且a≠0 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围； 16．【答案】m＞0且m≠1 【解析】【解答】解：根据题意得1-m≠0且△=（-2）2-4（1-m）＞0， 解得m＞0且m≠1. 故答案为：m＞0且m≠1. 【分析】利用一元二次方程的定义可知1-m≠0，利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集. 17．【答案】方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0， 这里a=4，b=﹣12，b=﹣3， ∵△=144+48=192，∴x= = ，∴x1＝ ，x2＝ 【解析】【分析】方程整理后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 18．【答案】解：方程整理得：2x2﹣7x+6=0， 这里a=2，b=﹣7，c=6， ∵△=49﹣48=1， ∴x=， 解得：x1=2，x2=． 【解析】【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 19．【答案】解：这里a=2，b=3，c=﹣1， ∵△=9+8=17， ∴x=． 【解析】【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 20．【答案】解：方程整理得：x2﹣2x﹣7=0，这里a=1，b=﹣2，c=﹣7，∵△=4+28=32＞0，∴x==1±2，∴x1=1+2，x2=1﹣2． 【解析】【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可． 21．【答案】解：由原方程，得 x2﹣3x+1=0． ∴x==， ∴x1=，x2=． 【解析】【分析】先将原方程转化为一般式方程，然后根据求根公式x=来解方程即可． 22．【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式 （2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29． ∴ ∴ ， ． 【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式． 故答案为：一，原方程没有化简为一般形式． 【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案； （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。 23．【答案】（1）解： ∴ ∵一元二次方程 有两个实数根， ∴ ． （2）解：当 时， ． 则（x-1）（x+3）=0 解得 （答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）先确定a、b、c，然后运用一元二次方程跟的判别式解答即可；（2）根据（1）确定的m的取值范围，取一个合适的m值代入，然后解一元二次方程即可． 24．【答案】（1）=1 （2）≠1 （3）若m-1=0即m=1时，方程为-4x+2=0，有实数根x=； 当m-1≠0时，方程为一元二次方程，若有实数根则∆=（-4）2-4（m-1）≥0，解得m≤3且m≠1； 综上所述，方程有实数根m的取值范围为：m≤3。 【解析】【解答】（1）当m-1=0即m=1时，方程为一元一次方程； （2）当m-1≠0，即m≠1时，方程为一元二次方程； 【分析】（1）含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程是一元一次方程； （2）含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是一元二次方程； （3）当方程为一元一次方程时，有实数根；当方程为一元二次方程时，有实数根的条件是∆≥0；综合讨论可求出m的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $