2.1.1 倾斜角与斜率（6个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角 规定 当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0______ 记法 图示 范围 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的__倾斜程度______，倾斜角越接近，__倾斜程度______越大 2．直线的斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记（_______0），，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为．因此，比值反映了直线的倾斜程度． 由图可知，的大小与两点，在直线上的位置无关，称________（其中________）为经过不同两点，的直线的斜率． 3．直线的方向向量 （1）定义： 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l__平行或重合________，则称向量为直线l的一个方向向量，记作_______． （2）性质： ①如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量____都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定__共线____． ②如果是直线l上两个不同的点，则_____ _____________是直线的一个方向向量. 4．倾斜角与斜率关系 图示 倾斜角 (范围) _90°__ 斜率 (范围) __ __ ____ 不存在 _____ k的增 减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 直线的倾斜角与斜率的概念辨析 基础知识 核心知识 直线倾斜角定义：直线向上方向与x轴正方向所成最小正角范围 斜率定义：当时直线斜率不存在 倾斜角唯一确定一条直线的倾斜程度斜率是倾斜角的正切值 方法技巧 1.区分倾斜角范围不要记成 2.是关键点此时直线垂直x轴无斜率不要写成无穷大 3.判断命题对错时抓住概念关键词向上方向x轴正方向最小正角 4.倾斜角存在斜率不一定存在；斜率存在倾斜角一定存在 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·湖北荆州·期中）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【例题2】（25-26高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【巩固练习3】（24-25高二上·广东湛江·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【题型2】 与直线倾斜角有关的计算 基础知识 核心知识 倾斜角 时；时 方法技巧 1.已知倾斜角求斜率直接代入正切运算注意无斜率 2.已知斜率求倾斜角用反正切运算若倾斜角要取钝角 3.计算角度优先锁定区间结果不能超出范围 4.遇到多条直线倾斜角大小比较结合正切函数单调性判断 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A．0° B．45° C．90° D．135° 【例题2】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【巩固练习3】（2025高二上·安徽·竞赛）已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【题型3】 斜率的有关计算 基础知识 核心知识 过两点的斜率公式 若直线垂直x轴斜率不存在 方法技巧 1.两点求斜率两点横坐标不能相等相等则斜率不存在 2.两点坐标代入公式分子分母顺序保持一致分子用分母就用 3.含参数求斜率要讨论分母是否等于0分斜率存在与不存在两类 4.三点共线问题任意两点算出斜率相等即可列等式求解参数 典型例题 【例题1】（26-27高二上·海南海口·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【例题2】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知（为坐标原点）是等腰直角三角形的直角顶点，点在第一象限，点B在第二象限，，则斜边的斜率为_________. 【巩固练习2】（25-26高二上·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【巩固练习3】（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【题型4】 倾斜角与斜率的变化关系 基础知识 核心知识 在单调递增 在单调递增 趋近左侧；趋近右侧 方法技巧 1.画图辅助把倾斜角分为锐角区间和钝角区间分开讨论 2.倾斜角增大斜率不一定增大跨时斜率从跳变到 3.已知倾斜角范围求斜率范围分段写区间不要直接合并 4.已知斜率范围求倾斜角范围分和两段求角 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【例题2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【巩固练习3】（安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷）已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【题型5】 直线与线段的相交关系求倾斜角或斜率的范围 基础知识 核心知识 定点与线段两端点连线的斜率是斜率取值的临界边界 直线绕定点旋转穿过线段时斜率会在临界值两侧 方法技巧 1.先算出定点到线段两个端点的斜率 2.判断旋转过程中直线是否会经过垂直x轴位置（斜率不存在） 3.若跨越垂直x轴斜率范围分成两段区间；没有跨越则直接取两临界之间 4.倾斜角范围结合斜率与正切图像转换注意断点 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 【巩固练习3】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【题型6】 倾斜角与斜率公式的应用 基础知识 核心知识 斜率几何意义可表示两点连线的倾斜程度可以用来判断三点共线比较直线陡峭程度 斜率可以作为数形结合工具解决部分最值问题（看成两点连线斜率） 方法技巧 1.三点共线证明计算两组两点斜率相等且三点不重合 2.代数式形如可以看成点与定点连线斜率几何法求范围 3.直线陡峭程度比较：越大直线越陡 4.含参数直线恒过定点问题求出定点后再用斜率范围分析相交条件 典型例题 【例题1】（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【例题2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 【巩固练习2】已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______.    课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 4．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 10．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）在下列四个命题中，正确的有（   ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为______． 13．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 14．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 15．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 16．（2026·河南·一模）已知的重心为，外心为，，则______. 四、解答题 17．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 18．（2026高三上·全国·专题练习）在直线上找一点，使得点对的视角最大. $2.1.1 倾斜角与斜率 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角 规定 当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0______ 记法 图示 范围 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的__倾斜程度______，倾斜角越接近，__倾斜程度______越大 2．直线的斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记（_______0），，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为．因此，比值反映了直线的倾斜程度． 由图可知，的大小与两点，在直线上的位置无关，称________（其中________）为经过不同两点，的直线的斜率． 3．直线的方向向量 （1）定义： 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l__平行或重合________，则称向量为直线l的一个方向向量，记作_______． （2）性质： ①如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量____都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定__共线____． ②如果是直线l上两个不同的点，则_____ _____________是直线的一个方向向量. 4．倾斜角与斜率关系 图示 倾斜角 (范围) _90°__ 斜率 (范围) __ __ ____ 不存在 _____ k的增 减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 直线的倾斜角与斜率的概念辨析 基础知识 核心知识 直线倾斜角定义：直线向上方向与x轴正方向所成最小正角范围 斜率定义：当时直线斜率不存在 倾斜角唯一确定一条直线的倾斜程度斜率是倾斜角的正切值 方法技巧 1.区分倾斜角范围不要记成 2.是关键点此时直线垂直x轴无斜率不要写成无穷大 3.判断命题对错时抓住概念关键词向上方向x轴正方向最小正角 4.倾斜角存在斜率不一定存在；斜率存在倾斜角一定存在 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·湖北荆州·期中）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误； 故选:BCD. 【例题2】（25-26高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】由图可知，，则. 故选：AD. 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【答案】BCD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为， 所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确； 对于B：由于直线倾斜角的取值范围是， 因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为， 当，斜率，当，斜率，故C错误； 对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误. 故选：BCD. 【巩固练习3】（24-25高二上·广东湛江·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 【题型2】 与直线倾斜角有关的计算 基础知识 核心知识 倾斜角 时；时 方法技巧 1.已知倾斜角求斜率直接代入正切运算注意无斜率 2.已知斜率求倾斜角用反正切运算若倾斜角要取钝角 3.计算角度优先锁定区间结果不能超出范围 4.遇到多条直线倾斜角大小比较结合正切函数单调性判断 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A．0° B．45° C．90° D．135° 【答案】C 【详解】直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 【例题2】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式以及斜率与倾斜角公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得：，所以，， 所以. 【巩固练习2】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 【巩固练习3】（2025高二上·安徽·竞赛）已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 【题型3】 斜率的有关计算 基础知识 核心知识 过两点的斜率公式 若直线垂直x轴斜率不存在 方法技巧 1.两点求斜率两点横坐标不能相等相等则斜率不存在 2.两点坐标代入公式分子分母顺序保持一致分子用分母就用 3.含参数求斜率要讨论分母是否等于0分斜率存在与不存在两类 4.三点共线问题任意两点算出斜率相等即可列等式求解参数 典型例题 【例题1】（26-27高二上·海南海口·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 【例题2】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知（为坐标原点）是等腰直角三角形的直角顶点，点在第一象限，点B在第二象限，，则斜边的斜率为_________. 【答案】 【分析】通过三角形求得，再结合斜率公式即可求解. 【详解】如图，设直线与轴的交点为， 则. 所以， 即斜边的斜率为. 【巩固练习2】（25-26高二上·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【答案】B 【详解】的倾斜角为，斜率,故 【巩固练习3】（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为，由得到，由，得到的方程，计算得解. 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，， 又，，即． 又，， 化简得， 解得（负值舍去）． 故选：D. 【题型4】 倾斜角与斜率的变化关系 基础知识 核心知识 在单调递增 在单调递增 趋近左侧；趋近右侧 方法技巧 1.画图辅助把倾斜角分为锐角区间和钝角区间分开讨论 2.倾斜角增大斜率不一定增大跨时斜率从跳变到 3.已知倾斜角范围求斜率范围分段写区间不要直接合并 4.已知斜率范围求倾斜角范围分和两段求角 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【答案】 【详解】已知，， 当时，单调递增； 则； 当时，单调递增； 故； 综上可得，斜率k的取值范围是． 【例题2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 【巩固练习3】（安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷）已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由得，所以， 又得，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 【题型5】 直线与线段的相交关系求倾斜角或斜率的范围 基础知识 核心知识 定点与线段两端点连线的斜率是斜率取值的临界边界 直线绕定点旋转穿过线段时斜率会在临界值两侧 方法技巧 1.先算出定点到线段两个端点的斜率 2.判断旋转过程中直线是否会经过垂直x轴位置（斜率不存在） 3.若跨越垂直x轴斜率范围分成两段区间；没有跨越则直接取两临界之间 4.倾斜角范围结合斜率与正切图像转换注意断点 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由顺时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴顺时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.    【例题2】（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点 之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 【巩固练习2】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 【答案】如下图所示， 当直线经过点A时，斜率为，此时倾斜角为 ； 当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为， 由题意可知，当直线从过点A的位置开始，逆时针旋转至过点的位置， 经过图中阴影部分时都能满足题意， 旋转过程中，倾斜角满足或， 所以倾斜角的取值范围是：； 旋转过程中，斜率先从增大到，再从增大到， 所以斜率的取值范围是：. 【分析】根据图形，考虑直线分别经过点时的临界情况，结合直线的倾斜角定义与正切函数的性质即可求得. 【详解】倾斜角的取值范围是：；斜率的取值范围是：.理由略. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 【题型6】 倾斜角与斜率公式的应用 基础知识 核心知识 斜率几何意义可表示两点连线的倾斜程度可以用来判断三点共线比较直线陡峭程度 斜率可以作为数形结合工具解决部分最值问题（看成两点连线斜率） 方法技巧 1.三点共线证明计算两组两点斜率相等且三点不重合 2.代数式形如可以看成点与定点连线斜率几何法求范围 3.直线陡峭程度比较：越大直线越陡 4.含参数直线恒过定点问题求出定点后再用斜率范围分析相交条件 典型例题 【例题1】（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【分析】分别设出两直线的倾斜角，根据斜率公式列出方程即可求解. 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 【例题2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是 图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 【巩固练习2】已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 【巩固练习3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______.    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 3．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 4．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为， 故， 由斜率公式可得，解得. 5．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 6．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，的斜率，结合图象可得结论． 【详解】，， 存在与线段相交的直线与轴垂直， 所以直线的斜率的范围是. 故选：B. 7．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出斜率的范围，再利用斜率与倾斜角的关系即可求解 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角， 当时，， 直线的斜率，此时倾斜角． 综上所述，直线的倾斜角的范围是． 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 11．（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）在下列四个命题中，正确的有（   ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】BC 【分析】由直线倾斜角与斜率的关系逐项判断即可； 【详解】对于A，与轴平行的直线没有斜率，故A错误； 对于B，由直线倾斜角的取值范围可知直线的倾斜角的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对于D，若直线的倾斜角为，则直线无斜率，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为______． 【答案】 【详解】由可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因，故. 13．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 14．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    15．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 16．（2026·河南·一模）已知的重心为，外心为，，则______. 【答案】3 【分析】画出的图象和三角形的重心、外心，建立平面直角坐标系，根据三角形重心、外心的性质求出相应点的坐标，用直线斜率表示角的正切值，从而进行解答. 【详解】设中点为，连接，的重心为，外心为，如下图所示 以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，，重心， 因为，外心在的垂直平分线上，即轴上， 所以， ，即，化简可得， 在中，，， 所以. 四、解答题 17．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 18．（2026高三上·全国·专题练习）在直线上找一点，使得点对的视角最大. 【答案】 【详解】 如图所示，点在直线上，所以点， 由图可知，当时， ， 所以， 令，则， 可知，当且仅当，即时取等号， 所以， 当时，， 当时，可得， 所以， 令，则， 可知，当且仅当，即时取等号， 因为，所以， 当时，即时，， 此时，即， 因为，所以，即， 所以视角最大时点. $