2.6应用一元二次方程课后练习题2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.6 应用一元二次方程课后练习题 2026—2027学年第一学期　北师大版（2024审定）九年级数学上册 满分：100分　　建议用时：60分钟 学校：__________　班级：__________　姓名：__________　考号：__________ 说明：1．本卷考查北师大版（2024审定）九年级上册第二章第6节《应用一元二次方程》，覆盖列一元二次方程解应用题的完整步骤（审、设、列、解、验、答），以及增长率、营销利润、几何面积、动点、传播、循环、数字问题等常见模型。 2．选择题、填空题请将答案写在题后的括号或横线上；解答题请写出设元、列方程、求解与检验的完整过程。 3．卷中图形均为示意图；列方程时请注意根据实际意义检验解的合理性。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意） 1．某市2023年新能源汽车保有量为5万辆，通过政策引导与市场推广，2025年保有量达到7.2万辆。若设这两年保有量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）。 A．5(1+2x)=7.2　　B．5x2=7.2　　C．5(1+x)2=7.2　　D．5(1+x2)=7.2 2．某种植物的主干长出若干个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝。已知主干、枝干和小分枝的总数为43，设每个枝干长出x个小分枝，则可列方程为（　　）。 A．1+x+x(x+1)=43　　B．1+2x+x2=43　　C．x+x2=43　　D．1+x+x2=43 3．用总长为30 m的篱笆围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），且面积为72 m2。设垂直于墙的一边长为x m，则可列方程为（　　）。 A．x(30−2x)=72　　B．x(30−x)=72　　C．x(15−x)=72　　D．2x(30−x)=72 4．某商品进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可售出100件。经调查发现：每件售价每上涨1元，每天少售出5件。设每件售价上涨x元，若该商品每天的销售利润达到1125元，则可列方程为（　　）。 A．(10+x)(100+5x)=1125　　B．(10+x)(100−5x)=1125　　C．(30+x)(100−5x)=1125　　D．(30−x)(100+5x)=1125 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm。点P从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发沿CB以2 cm/s的速度向点B移动，两点同时出发，当点Q到达点B时，两点同时停止运动。设运动时间为t s，当△PCQ的面积为5 cm2时，t的值为（　　）。 A．1　　B．2　　C．3　　D．4 6．两个连续正整数的平方和为313，设较小的正整数为x，则可列方程为（　　）。 A．x2+x=313　　B．x(x+1)=313　　C．x2+(x+1)2=313　　D．x2+(x−1)2=313 7．某药品原价为每盒50元，连续两次降价后的价格为每盒40.5元。设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　）。 A．50(1+x)2=40.5　　B．50(1−x)2=40.5　　C．50(1−2x)=40.5　　D．40.5(1−x)2=50 8．九年级某班全体同学互赠新年贺卡一张，共赠送贺卡132张。设该班共有n名学生，则可列方程为（　　）。 A．n(n+1)=132　　B．n(n+1)/2=132　　C．n(n−1)/2=132　　D．n(n−1)=132 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．某企业2024年全年利润为200万元，2025年、2026年连续两年利润保持相同增长率增长，2026年全年利润达到288万元。若设这两年利润的年平均增长率为x，则可列方程为____。 10．某商店将进价为40元/件的商品按60元/件售出，每天可售出120件。经调查发现：每件售价每上涨1元，每天少售出8件。设每件售价上涨x元，若商店希望每天获利2000元，则可列方程为____。 11．一个直角三角形的两条直角边的和为14，面积为24，则这个直角三角形的斜边长为____。 12．如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点P从点A出发沿边AB以1 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿边BC以2 cm/s的速度向点C运动，当点Q到达点C时，两点同时停止运动。设运动时间为t s（0<t≤5），当△PBQ的面积为21 cm2时，t的值为____。 13．一株植物感染某种病害后，经过两轮传染，共有289株植物感染这种病害。设平均每株每轮传染x株，则平均每株每轮传染____株。 14．两个连续正整数的乘积为272，则这两个正整数分别为____。 三、解答题（本大题共5小题，共58分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15．（10分）某学校计划在一块长40 m、宽30 m的矩形空地上修建一个矩形草坪，草坪四周留有等宽的小路（如图）。若草坪的面积为792 m2，求小路的宽度x。 16．（12分）某超市以每千克12元的价格购进一批蜜柚，当售价为每千克20元时，每天可售出50千克。经市场调查发现：售价每降低1元，每天可多售出10千克。设每千克售价降低x元（0<x<8）。 （1）降价后每千克的利润为____元，每天的销售量为____千克；（用含x的代数式表示）（4分） （2）若该超市希望每天获得利润420元，求x的值。（8分） 17．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm。点P从点A出发沿边AB以1 cm/s的速度向点B运动，点Q从点B出发沿边BC以1 cm/s的速度向点C运动，两点同时出发，设运动时间为t s（0<t<6）。 （1）用含t的代数式表示PB、BQ的长；（2分） （2）当t为何值时，PQ的长为√20 cm？（4分） （3）△PBQ的面积能否等于5 cm2？请说明理由。（6分） 18．（12分）某企业2023年上缴税款400万元。由于经营状况良好，该企业2024年、2025年连续两年上缴税款稳步增长，2025年上缴税款484万元。 （1）求该企业上缴税款这两年的年平均增长率；（6分） （2）按（1）中的增长率，2026年该企业上缴税款能否超过540万元？请说明理由。（6分） 19．（12分）某景区门票原价为每张100元，日均接待游客300人。为吸引游客，景区决定降价促销。市场调研表明：门票每降低1元，日均游客可增加10人。设门票降低x元（0<x<100）。 （1）用含x的代数式表示降价后的门票价格和日均接待游客数；（2分） （2）若该景区希望日均门票收入达到36000元，门票应降低多少元？（10分） 参考答案与解析 一、选择题 1．答案：C 解析：2024年保有量为5(1+x)万辆，2025年为5(1+x)2万辆，故 5(1+x)2=7.2。经验算：(1+x)2=1.44，1+x=1.2，x=0.2=20%。故选 C。 2．答案：D 解析：主干1个，枝干x个，每个枝干又长出x个小分枝，共x2个小分枝，总数为 1+x+x2=43，即x2+x−42=0，解得x=6（x=−7舍去）。故选 D。 3．答案：A 解析：垂直于墙的一边为x m，平行于墙的一边为(30−2x) m，面积 x(30−2x)=72，解得x=3或12，均符合题意。故选 A。 4．答案：B 解析：上涨x元后每件利润为(30+x−20)=(10+x)元，每天销量为(100−5x)件，故 (10+x)(100−5x)=1125，解得x=5。故选 B。 5．答案：A 解析：PC=(6−t) cm，CQ=2t cm，S△PCQ=1/2×(6−t)×2t=(6−t)t。令(6−t)t=5，得t2−6t+5=0，t=1或5。点Q从C到B需4 s，t=5时Q已停止运动，不合题意舍去，故t=1。故选 A。 6．答案：C 解析：较小正整数为x，则另一个为x+1，两数平方和为x2+(x+1)2=313，即x2+x−156=0，解得x=12（x=−13舍去），两数为12和13。故选 C。 7．答案：B 解析：第一次降价后为50(1−x)元，第二次降价后为50(1−x)2元，故 50(1−x)2=40.5，即(1−x)2=0.81，1−x=0.9，x=0.1=10%。故选 B。 8．答案：D 解析：每名学生给其余(n−1)名学生各送一张，共送n(n−1)张，故 n(n−1)=132，即n2−n−132=0，解得n=12（n=−11舍去）。故选 D。 二、填空题 9．答案：200(1+x)2=288。 解析：2025年利润为200(1+x)万元，2026年为200(1+x)2万元，故 200(1+x)2=288。 10．答案：(20+x)(120−8x)=2000。 解析：每件利润为(60+x−40)=(20+x)元，每天销量为(120−8x)件，故 (20+x)(120−8x)=2000，解得x=5。 11．答案：10。 解析：设一条直角边为x，则另一条为(14−x)。由面积得 1/2×x(14−x)=24，即x(14−x)=48，x2−14x+48=0，解得x=6或8，两条直角边为6和8，斜边=√(62+82)=10。 12．答案：3。 解析：BP=(10−t) cm，BQ=2t cm，S△PBQ=1/2×(10−t)×2t=(10−t)t。令(10−t)t=21，得t2−10t+21=0，t=3或7。点Q从B到C需5 s，t=7超出时间范围，舍去，故t=3。 13．答案：16。 解析：第一轮后共有(1+x)株感染，两轮后共有(1+x)2株，(1+x)2=289，1+x=17（负值舍去），x=16。 14．答案：16和17。 解析：设较小正整数为x，则x(x+1)=272，x2+x−272=0，(x+16)(x−17)=0，x=16（x=−16舍去），另一数为17。 三、解答题 15．答案：小路宽2 m。 解析：草坪的长为(40−2x) m，宽为(30−2x) m。由面积得 (40−2x)(30−2x)=792，展开得 1200−140x+4x2=792，即 4x2−140x+408=0，同除以4得 x2−35x+102=0，因式分解得 (x−2)(x−33)=0，x=2或33。当x=33时，30−2x<0，不符合实际意义，舍去，故x=2。答：小路的宽度为2 m。评分说明：设列方程4分、求解4分、验根作答2分。 16．答案：（1）(8−x)元，(50+10x)千克；（2）x=1或2。 解析：（1）降价x元后，每千克利润为(20−x−12)=(8−x)元；售价每降1元多售10千克，故每天售出(50+10x)千克。（2）由题意得 (8−x)(50+10x)=420，展开得 400+80x−50x−10x2=420，整理得 10x2−30x+20=0，即 x2−3x+2=0，(x−1)(x−2)=0，x=1或2。两个值均满足0<x<8且符合实际意义。答：每千克应降低1元或2元。评分说明：（1）每空2分；（2）列方程3分、解方程3分、检验作答2分。 17．答案：（1）PB=(6−t) cm，BQ=t cm；（2）t=2或4；（3）不能。 解析：（1）点P从A出发1 s走1 cm，t s走t cm，故PB=(6−t) cm；点Q从B出发以1 cm/s运动t s，故BQ=t cm。（2）在Rt△PBQ中，PQ2=PB2+BQ2，即 (6−t)2+t2=20，展开得 2t2−12t+16=0，t2−6t+8=0，(t−2)(t−4)=0，t=2或4，均在0<t<6内，符合题意。（3）不能。S△PBQ=1/2×PB×BQ=1/2×(6−t)×t=5，即(6−t)t=10，t2−6t+10=0。判别式 Δ=(−6)2−4×1×10=−4<0，方程无实数根，所以△PBQ的面积不可能等于5 cm2。评分说明：（1）2分；（2）列方程2分、求解2分；（3）列方程2分、判别式2分、结论2分。 18．答案：（1）年平均增长率为10%；（2）不能超过540万元。 解析：（1）设年平均增长率为x，则 400(1+x)2=484，(1+x)2=1.21，1+x=1.1或−1.1，x=0.1=10%或x=−2.1（增长率不能为负，舍去）。答：年平均增长率为10%。（2）2026年上缴税款为 484×(1+10%)=484×1.1=532.4（万元）。因为532.4<540，所以不能超过540万元。评分说明：（1）列方程2分、解方程2分、舍根作答2分；（2）计算3分、比较判断3分。 19．答案：（1）门票(100−x)元，日均游客(300+10x)人；（2）门票应降低10元或60元。 解析：（1）降价x元后，门票价格为(100−x)元；每降1元日均增加10人，故日均游客为(300+10x)人。（2）日均门票收入为 (100−x)(300+10x)，由题意得 (100−x)(300+10x)=36000，即 10(100−x)(30+x)=36000，(100−x)(30+x)=3600，展开得 3000+100x−30x−x2=3600，整理得 x2−70x+600=0，(x−10)(x−60)=0，x=10或60。两个值均满足0<x<100且符合实际意义。答：门票应降低10元（售价90元）或降低60元（售价40元）。评分说明：（1）2分；（2）列方程4分、整理2分、求解2分、检验作答2分。 附：命题双向细目表 题号 考查内容（对应知识点） 题型 分值 难度 1 平均增长率问题：列方程 选择题 3 基础 2 传播问题：主干、枝干、小分枝 选择题 3 基础 3 几何面积问题：篱笆围矩形 选择题 3 基础 4 营销利润问题：涨价与销量 选择题 3 基础 5 动点问题：面积求时间并验根 选择题 3 中档 6 数字问题：连续正整数平方和 选择题 3 中档 7 平均降低率问题：列方程 选择题 3 中档 8 循环问题：互赠贺卡 选择题 3 中档 9 平均增长率问题：列方程 填空题 3 基础 10 营销利润问题：列方程 填空题 3 基础 11 几何面积问题：直角边与斜边 填空题 3 基础 12 动点问题：面积求时间并验根 填空题 3 基础 13 传播问题：两轮传染解方程 填空题 3 中档 14 数字问题：连续正整数乘积 填空题 3 中档 15 几何面积问题：环形道路求宽 解答题 10 基础应用 16 营销利润问题：降价与销量 解答题 12 中档 17 动点问题：勾股定理与面积判别 解答题 12 中档 18 平均增长率问题：计算与判断 解答题 12 中档 19 营销利润问题：景区门票收入 解答题 12 综合 难度说明：基础题34分（含基础应用题10分）、中档题54分、综合探究题12分，难易梯度科学合理；知识点覆盖2.6《应用一元二次方程》全部常见模型（平均增长率与降低率、营销利润、几何面积、动点、传播、循环互赠、数字问题）及解应用题的完整步骤（审设列解验答），能力层次涵盖识记、理解、应用与探究。 命题说明：本卷全部题目为自研改编命题，不套用教材例题与网络原题；情境、设问、条件与数据均经重构与重算，配图与题目条件严格一致，参考答案与解析为原创分步手写式撰写。 学科网（北京）股份有限公司 $