第二章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用 第1课时 应用一元二次方程解决几何问题-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

4 应用一 第1课时 应用一元 抓基础·达标练 1.如图，将一条长为64cm的铁丝剪成两段，每 段均折成正方形.若两个正方形的面积之和 为160cm,则这两个正方形的边长分别为 A.8 cm,8 cm B.10cm,6 cm C.12 cm,4 cm D.14 cm,2 cm 2.“指尖上的非遗一麻柳刺绣”，针线勾勒之 间，绣出世间百态.如图是一幅长80cm、宽 60cm的麻柳刺绣，现计划在其四周镶嵌宽度 相同的边框，制成一幅矩形挂图.若要使整个 挂图的面积为6300cm2,则边框的宽度应为 A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.3cm 3.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾 股”章有一题，大意为：已知矩形门的高比宽 多7尺，门的对角线长13尺，则门的宽为 A.5尺 B.12尺 C.4尺 D.10尺 4.如图，在长为30m、宽为20m的矩形地面上 修建两条宽度均为xm的小路，余下部分作为 草地.若要使草地面积为551m,则小路的宽 度为 A.1m B.1.5m 20m C.2m D.2.5m 30m Ⅲ42名校作业数学(BS)9年级上 元二次方程 二次方程解决儿何问题 5.如图，在矩形ABCD中，AD=1,CD=4,在边AB 上是否存在点E,使得∠DEC为直角？若存 在，求AE的长；若不存在，请说明理由。 B 卓育 浮抓重点·提升练 6.如图，在长为32m、宽为20m的矩形地面上 修筑同样宽的道路（阴影部分），余下的部分 种上草坪.要使草坪的面积为540m,则道路 的宽为 m. 32m 20m B 第6题图 第7题图 7.【教材P53习题T2变式】如图，在△ABC中， ∠C=90°，AC=50m,BC=40m,点P从点A出发 以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同 时点Q从点C出发以3m/s的速度沿射线CB 匀速运动.当△PCQ的面积为300m2时，运动 时间为 S. 8.如图，某景区准备在一块边长为20米的大正 方形花园中间修建一个正方形休闲场所，要 求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形 的四边.若小道的长是宽的3倍，且花草种植 区域（阴影部分）的面积为192平方米，求小道 的宽 9.如图，正方形ABCD的边长为1，E,F分别是 BC,CD边上的点，且△AEF是等边三角形，求 BE的长. B E 10.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P,Q,M,N 分别从点A,B,C,D同时出发，沿AD,BC, CB,DA在矩形的边上运动，当有一个点到达 终点时，四个点都停止运动，已知BQ=xcm (x≠0)，AP=2xcm,CM=3xcm,DW=x2cm. (1)当x为何值时，点P,N重合？ (2)当x为何值时，以P,Q,M,N为顶点的四 边形是平行四边形？ N-D A B0M←一CB 备用图 第二章一元二次方程431[ 4应用一元二次方程 第1课时应用一元二次方程解决几何问题 1.C解析设大正方形的边长为acm,则小正方形的边 长为64-4a-(16-a）cm 4 根据题意，得a2+(16-a)2=160. 解这个方程，得a,=12,a2=4(不合题意，舍去). 16-12=4(cm). 所以，这两个正方形的边长分别为12cm,4cm. 2.B解析设边框的宽度应为xcm 根据题意，得(60+2x)(80+2x)=6300 解这个方程，得x=-75(不合题意，舍去)，x2=5. 所以边框的宽度应为5cm 3.A解析设门的宽为x尺，则高为(x+7)尺. 根据题意，得(x+7)2+x2=132. 解这个方程，得x=5,x2=-12(不合题意，舍去). 所以门的宽为5尺 4.A解析根据题意，得(30-x)(20-x)=551. 解这个方程，得x,=1,x2=49(不合题意，舍去) 所以小路的宽度为1m 5.解：存在 ·四边形ABCD是矩形， ,.BC=AD=1,AB=CD=4,∠A=∠B=90° 设当AE=x时，∠DEC为直角，则BE=AB-AE=4-x 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DE2=AE2+AD2=x2+12. 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得CE=BE2+BC=(4- x)2+12. :∠DEC为直角， ∴.DE+CE=CD2,即x2+12+(4-x)2+12=42. 解这个方程，得x=2-V3,x2=2+V3. 边AB上存在点E,使得∠DEC为直角，此时AE的长 为2-V3或2+V3 6.2解析设道路的宽为xm 根据题意，得(20-x)(32-x)=540. 解这个方程，得x=50(不合题意，舍去)，x2=2. 所以道路的宽为2m. 7.20或5解析设运动时间为ts. 由题意，得AP=2tm,CQ=3tm. ∴.PC=(50-2t)m. 根据题意，得PC-CQ=300,即50-2)-3=30， 解这个方程，得，=20,2=5. 所以当△PCQ的面积为300m时，运动时间为20s或5s. 8.解：设小道的宽为xm. 根据题意，得4×3x(20-3x-x)=192. 解这个方程，得x,=1,x2=4(不合题意，舍去). 答：小道的宽为1m. 9.解：四边形ABCD是正方形， .AB=AD,LB=LC=∠D=90° :△AEF是等边三角形， ∴.AE=AF=EF .·.Rt△ABE≌Rt△ADF ∴.BE=DF 设BE=x,则DF=x,CE=CF=1-x. 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE 在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2. AE=EF, AE-EF ∴.AB2+BE=CE+CF2,即12+x2=2(1-x)2 解这个方程，得x,=2+V3(不合题意，舍去)，x,=2-V3. .BE的长为2-V3 10.解：(1)根据题意，得2x+x2=20. 解这个方程，得x1=V21-1,x2=-V21-1(舍去). .当x=V21-1时，点P,N重合. (2)当点N到达点A时，x=2V5,此时点M,Q还未相遇， .点Q只能在点M的左侧. 以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形， ∴.PN=QM. 分两种情况： ①当点P在点N的左侧时， 根据题意，得20-(2x+x2)=20-(x+3x). 解这个方程，得x=0(舍去)，x2=2. ②当点P在点N的右侧时， 根据题意，得2x+x2-20=20-(x+3x). 解这个方程，得x,=-10(舍去)，x2=4 综上，当x=2或4时，以P,Q,M,N为顶点的四边形是 平行四边形