第五章 二次函数 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027北师大九年级第五章二次函数 副标题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为() A.y=2(x+3)2+4 B.y=2(x+3)2-4 C.y=2(x-3)2-4 D.y=2x-3)2+4 2.抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y,(0,2),(,y)三点，则yy2,y⅓大小关系是() A.y2<y3<y1 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 3.如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式ax2+ c≥-kx+m的解集是() A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 x=1 -3+2-1 2 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(m,0),B(1,0)两点，其中-3<m<-2.下列结论 不正确的是() A.a+b=3 B.当x>-1时，y随x的增大而增大 C.当x>0时，y>-3 D.关于x的一元二次方程a2+bx-3=0的一个根是1，另一个根是-名 5.己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0;②a-b+c<0: ③4a+2b+c>0;④am2+bm>a+b(m≠1)，其中正确的是() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 6.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心0竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出 的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m,水柱落地处离池中心距离为6m, 第1页，共7页 则水管的长度OA是() 6 Am B.5m C.m 7.在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是() 8.如图，己知抛物线y=一x2+px+q的对称轴为x=-3,过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线 的另一个交点为N(-1,1).要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为() A.(0,2) B.(-1,0) C.(0,2)或(-李0)D.以上都不正确 1 E -210123x 9 G B n 图1 图2 第8题图 第9题图 第10题图 9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,其部分图象如图所示. ①-会=-1：②8a+c>0:③3a+c>0:④对于任意实数t,有a-bt≤a2+b: ⑤若点(2,1)在抛物线上，且方程ax2+bx+c-1=0的两个根为x1,x2(x1<x2),则2x1+x2=-6. 上述结论中正确的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 10.如图1，直线l1直线m,垂足为点O,点A和点B分别是直线和直线m上两定点，点P从点A出发，以每 秒1个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线竖直向上 第2页，共7页 运动，设运动时间为x(s),·PQ0面积为y.如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C,图象与x轴只有一个 交点D,且经过G(1,9)和E(n,q),点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是() A.点D坐标为(3,0) B.当y=9时，x=1或7 C.q=32 D.点(10,34)在该函数图象上 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的项点A,B,C的坐标分别为(1,1)，(1,4)，(4,4若抛物线 y=ax2与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 B 4m 第11题图 第13题图 12.某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯.经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月 销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个.那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润 是元 13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,则当水面下降1m时，水面宽度增加m. 14.已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得 最小值，则的取值范围是 15.己知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表： -5 -4 -2 0 2 6 0 -6 -4 6 下列结论： ①a>0: ②当x=-2时，函数最小值为-6： ③若点(-8，y1),(8,y2)在二次函数图象上，则y1>y2: ④方程ax2+bx+c=-5有两个不相等的实数根. 其中，正确结论的序号是一（把所有正确结论的序号都填上） 第3页，共7页 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标： (2)点P为抛物线上一点，若S△P4B=10,求出此时点P的坐标. 17.(本小题9分)如图，抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=0A. (1求抛物线的解析式： (2)若点C(-3,b)在此抛物线上，求△ABC的面积. 18.(本小题9分)问题：张伯伯想在房屋一侧的空地上，用篱笆和房屋的一面外墙围一个矩形鸭舍请你帮 助张伯伯设计，使围成的鸭舍面积最大， (1)如图，张伯伯用一段长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形鸭舍，墙长为9，设矩形鸭舍的一边长 为xm,面积为ym2 9m 墙 x m 鸭舍 ①列出y与x的函数关系式 ②当x为多少时，鸭舍面积最大？最大面积是多少？ (2)如图，若张伯伯有长为30m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为17m),当AB的长是多少米 时，围成的鸭舍的面积最大？ 第4页，共7页 (3)如图，张伯伯想用长80的篱笆，再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形鸭舍，已知房屋外墙为 50m,设矩形ABCD的面积为S2.当BC为多少米时，鸭舍的面积S最大？最大值是多少？ A B (4如图，鸭舍的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙的长度为14m,墙的对面开一个1m宽的门，现有篱 笆总长31m.当边AB的长为多少米时，鸭舍的面积最大？最大面积为多少？ 14m 19.(本小题9分)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于 点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴： (2)求△ABM的面积. (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请 说明理由. BM 20.(本小题9分)如图，抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB, 点G为抛物线的顶点， (1)求抛物线的解析式及点G的坐标： (2)点M,N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位 长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M,N之间（含点M,W)的一个动点，求点Q A 的纵坐标yo的取值范围. 第5页，共7页 21.(本小题9分)投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时进行的一种投掷游戏.投壶的规则：由游戏者轮流 站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分.箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线.同 学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1）某同学将 箭从A(0,1.5)处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线L:y=ax2+bx+c的一部分，且当箭的最大高度为2m时， 距离投出点的水平距离为1m.把壶近似看作矩形DEFG,己知壶口的宽度GF=0.2m,壶的高度EF= 0.72m. y/m x/m (1)求抛物线L的表达式. (2)若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE (③)在(2)的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭投出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶 中，请求出OA的取值范围 22.(本小题10分)如图，抛物线y2=-x2-x+2与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,直线y1=x+2 经过点A,C (1)求点A,B,C的坐标； (2)不等式x+2>-x2-x+2的解集为： (3)若点M在抛物线上，且在y轴左侧，当S△ABc=2S△BcM时，求点M的横坐标. 第6页，共7页 23.(本小题10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=Qx2+bx过点(-1,3)，且对称轴为直线 x=1,直线y2=kx-k与抛物线交于A,B两点，与x轴交于点C。 x=2 D B (1)求抛物线的函数表达式， (2)已知当k=1时，直线AB与y轴交于点D,与直线x=2交于点E。若抛物线y3=(x-h)2-1与线段DE 有公共点，求h的取值范围。 第7页，共7页 2026-2027北师大九年级第五章二次函数 副标题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.把抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 2.抛物线过三点，则大小关系是(    ) A. B. C. D. 3.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，其中下列结论不正确的是(    ) A. B. 当时，随的增大而增大 C. 当时， D. 关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是． 5.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是(    ) A. B. C. D. 7.在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点 的一条直线与该抛物线的另一个交点为要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点 的坐标为(    ) A. B.  ， C. 或 D. 以上都不正确 第10题图 第9题图 第8题图 9.已知抛物线的对称轴为直线，其部分图象如图所示． ；；；对于任意实数，有； 若点在抛物线上，且方程的两个根为，，则． 上述结论中正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是(    ) A. 点坐标为 B. 当时，或 C. D. 点在该函数图象上 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，的坐标分别为，，若抛物线与正方形有公共点，则的取值范围是          ． 第13题图 第11题图 12.某照明公司研发了一款成本为元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为元时，每月销售量为个；每涨价元，每月少销售个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是          元． 13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则当水面下降时，水面宽度增加           14.已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________． 15.已知二次函数是常数，的与的部分对应值如下表： 下列结论： ； 当时，函数最小值为； 若点，在二次函数图象上，则； 方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是          把所有正确结论的序号都填上 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，已知抛物线经过，两点． 求抛物线的解析式和顶点坐标； 点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 17.本小题分如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． 求抛物线的解析式； 若点在此抛物线上，求的面积． 18.本小题分问题：张伯伯想在房屋一侧的空地上，用篱笆和房屋的一面外墙围一个矩形鸭舍请你帮助张伯伯设计，使围成的鸭舍面积最大． 如图，张伯伯用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形鸭舍，墙长为，设矩形鸭舍的一边长为，面积为． 列出与的函数关系式． 当为多少时，鸭舍面积最大最大面积是多少 如图，若张伯伯有长为的篱笆，现一面利用墙墙的最大可用长度为，当的长是多少米时，围成的鸭舍的面积最大 如图，张伯伯想用长的篱笆，再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形鸭舍，已知房屋外墙为，设矩形的面积为当为多少米时，鸭舍的面积最大最大值是多少 如图，鸭舍的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙的长度为，墙的对面开一个宽的门，现有篱笆总长当边的长为多少米时，鸭舍的面积最大最大面积为多少 19.本小题分如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与轴相交于点． 求抛物线的解析式和对称轴； 求的面积． 在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20.本小题分如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且，点为抛物线的顶点． 求抛物线的解析式及点的坐标； 点，为抛物线上两点点在点的左侧，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点，之间含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围． 21.本小题分投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时进行的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系单位长度为某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线：的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． 求抛物线的表达式． 若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． 在的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭投出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请求出的取值范围． 22.本小题分如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点，． 求点，，的坐标； 不等式的解集为          ； 若点在抛物线上，且在轴左侧，当时，求点的横坐标． 23.本小题分如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点。 求抛物线的函数表达式 已知当时，直线与轴交于点，与直线交于点。若抛物线与线段有公共点，求的取值范围。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】C 10.【答案】B 1.【答】。0s4 12.【答案】4000 13.【答案1{2V6-4 14.【答案】2≤t≤4 15.【答案】①④ 16.【答案】解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c, 了1-b+c=0 了b=-2 得{9+劭+c=0,解得{c=-3 .∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-12-4, ∴.抛物线的顶点坐标为(1，-4)： (2).A-1,0),B(3,0, ∴.AB=3-（-1)=4, 第1页，共1页 设点P的坐标为(t,t-2t-3), .SAMB=10, ÷号×4×1-2t-3=0, .t-2t-3=5, 当t-2t-3=5时，解得t1=-2,t2=4,此时点P的坐标为-2,5)或(4,5)： 当t-2t-3=-5时，方程没有实数解， 综上所述，此时点P的坐标为-2,5)或(4,5). 17.【答案】【小题1】 解：易得A-1,0,B0,-1. 将B0,-1代入y=ax+1,得a=-1 :抛物线的解析式为y=-x+1? 【小题2】 令x=-3,解得b=-4,∴.C-3,-4. 连接OC. y个 B 5.=S0x+5.0c540B2×1x4+号×1x3 1 1×1×1=3. 18.【答案】【小题1】 ①依题意，得鸭舍的另一边长为18-2x)m, 第2页，共1页 .y=x18-2x)=-2x2+18x y与x的函数关系式为 y=-2x2+18x. 18-2x≤9， ②依题意，得 x>0, 18-2x>0, 解得 ≤x<9, .y=-2x2+18x =-2x+8以 2 -2<0, 9 当x号时，y有最大值， 9 二当x为时，鸭舍面积最大，最大面积是之m3 【小题2】 设AB的长为xm,鸭舍的面积为Sm2,则BC的长为(30-3x)m.依题意，得 S=x(30-3x)=-3(x-52+75 x>0, 30-3x>0, 30-3x≤17， :13≤x<10. 3 -3<0, ∴.当x=5时，S有最大值75 答：当AB的长为5m时，围成的鸭舍的面积最大. 【小题3】 设BC=Xm. .4AB+BC=80m, 片B=80:=(20子xm. 4 第3页，共1页 根据矩形的性质可知 5=x20-4×刘 =-1(x-402+400. 4 -<0.0<x≤50. 4 ∴.当x=40时，S有最大值，为400 答：当BC为40m时，鸭舍的面积S最大，最大值是400， 【小题4】 设AB为Xm, 则BC为31+1-2x)m 依题意，得 S=x(31+1-2x)=-2(x-8}2+128 .14≥31+1-2x≥1， 1 .9≤x≤2 -2<0, ..当x=9时，y有最大值，为126m. 答：当边AB的长为9m时，鸭舍的面积最大，最大面积为126m2. 19.【答案】【小题1】 解：根据已知条件可设抛物线的解析式为y=ax-1x-5, 把点A04代入上式，得a=号 y-号x-10x-5-号x-3- 5 ∴.抛物线的对称轴是直线x=3; 【小题2】 解：.抛物线的对称轴与X轴相交于点M, .∴.M3,0 第4页，共1页 .A0,4,B1,0, ∴.BM=2,OA=4, SAm 号BM-0A=×2×4=4, 【小题3】 解：点p的坐标 8理由如下： 3 .点A0,4,抛物线的对称轴是直线X=3, ∴.点A关于对称轴的对称点A'的坐标为6,4， 如图，连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小， B.M 设直线BA'的解析式为y=kx+bk≠O】 把A'6,4,B1,0代入， 4=6k+b 得0=k+b' 解得 5 b≈、4 5 44 y=5x- 点P的横坐标为3， ×3-4-8 .y=5 55 .pla.s 第5页，共1页 20.【答案】解：(1)，抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B, .点B(0,c)c>0 .OA=OB=c' .点A(c,0 .∴.0=-c2+2c+c1 c=3或0舍去， :抛物线解析式为：y=-X+2x+3 .y=-x2+2x+3=-(x-12+4 :顶点c的坐标为1,4 (2).y=-x2+2x+3=-(x-12+4' :对称轴为直线x=1 :点M?N为抛物线上两点（点M在点N的左侧，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， :.点M的横坐标为_2或4点N的横坐标为6： .点M坐标为(-2，-5或(4，-5点N坐标(6，-21)” 点Q为抛物线上点M'N之间（含点M'N)的一个动点， 第6页，共1页 :当MN在对称轴的同侧时，-21≤yo≤-5 当M,N在对称轴的两侧时，-21≤yo≤4， :.点0的纵坐标y,的取值范围为：-21≤yo≤4或-21≤yo≤-5 21.【答案】【小题1】 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为-1,2)， ∴.y=a(x+12+2 .抛物线经过点A(0,1.5), ∴.a+2=1.5,解得a=-0.5. y=-05引x+1+2=方×-x*号 【小题2】 解：令xx+0.72 解得x=-2.6或x=0.6(不符合题意，舍去. ∴.0E=2.6-0.2=2.4m. ∴.人离壶的距离OE为2.4m. 【小题3】 解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线为y'=-号X-x+: 将-2.4,0.72)代入上式，得-号×(-2.42-(-2.4)+n=0.72,解得n=1.2. 2x-x+1.2 y'=-1x2 .1.2m≤0A≤1.5m. 22.【答案】【小题1】 解：对于抛物线y,=-x2-x+2 令x=0,得y=2, ∴.C0,2, 第7页，共1页 令y=0,则-x2-x+2=0,解得X1=-2,X2=1, ∴.A-2,0,B1,0 【小题2】 X<-2或x>0 【小题3】 解：.A-2,0,B1,0,C0,2, ∴.AB=3,OC=2, .SAc=号AB-0C=号x3x2=3, 2 SAABC=2S△BCM, 5m是 设直线BC的表达式为y=kx+b, b=2 k=-2 将点B1,0,C0,2的坐标代入，得k+b=0:解得b=2, ∴.直线BC的表达式为y=-2x+2, 如图，当点M位于y轴左侧时，过点M作MN/Iy轴交直线BC 设Mm,-m2-m+2则Nm,-2m+2 ∴.MN=yw-yM=-2m+2--m2-m+2=m2-m' :.S.uu-S.ww-5.c-MN-x8-xu-x m2-m=3,解得m=1±V国 2 .m<0, ∴.m= 1-V13 2 ∴.M的横坐标为 -V13 2 第8页，共1页 于点N, 23.【答案】【小题1】 :抛物线y,=aX2+bx过点(-1,3}且对称轴为直线x=1' -b=1,解得a=1,:该抛物线的函 2a a-b=3, b=-2, 数表达式为y,=X-2x 【小题2】 当k=1时，则y2=x-1,∴.当x=0时，y=-1,当x=2时，y=1,.D(0,-1),E(2,1)。 :y,=(x-h2-1?.顶点坐标在直线y=-1上移动。 :y,=(x-h-1与线段DE有公共点，令y=yg得X-(2h+1)x+h=0°.当 4=2h+1P-4片=-0，h=-时，满足题意，图0。 将y=(x-hP-1从h=寻开始向右移动，直到抛物线与线段DE只有一个交点为E2,1(如图②)时， y=(x-h}P-1与线段DE均有公共点，当y=(x-hP-1过点E(2,1)时，(2-hP-1=1.解得h=2-V2 或h=2+V2,当-≤h≤2+V2时，抛物线y=(X-hP-1与线段DE有公共点。 第9页，共1页 D ② 第10页，共1页