第五章 二次函数 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 第五章 二次函数 单元检测 一、选择题 1．如图，在直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于A（-3，0）和B两点，抛物线与x轴交于A，C两点，且C的横坐标在0到1之间（不含端点），下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．3a-b＞0 C．2a-b+m＜0 D．a-b＞2m-2 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论： ①b＞0；②a-b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=-1，则b2=4a． 正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 3．二次函数y=（x+2）2-1的图象大致为（　　） A． B． C． D． 4．若抛物线y=（x-m）2+（m-1）的顶点在第四象限，则m的取值范围（　　） A．0＜m＜1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＞1 5．已知点A（1，y1），B（-，y2），C（-2，y3）在函数y=x2-的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 6．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB.有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为. 其中，正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 7．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　） A．y=2(x-2)2+2 B．y=2(x+2)2-2 C．y=2(x-2)2-2 D．y=2(x+2)2+2 8．点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在抛物线y＝x2的图象上.若y1<y2，则m的取值范围为 （      ） A．m>4 B．m<4 C．m< D．m> 9．函数 与 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数y=a(x+2)2+3(a＜0)的图象如图所示，则以下结论： ①当x＞-2时，y随x的增大而增大； ②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当a=-1时，抛物线必过原点； ④该抛物线和x轴总有两个公共点． 其中正确结论是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 11．关于x的两个函数y=x2+2mx+m2和y=mx-m（m≠0）在同一坐标系中的图象可能是图中所示的（　　） A． B． C． D． 12．如图，点A在由函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数）的图象组成的平滑曲线上，点B在x轴上，且AB⊥x轴，若点B从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则第2025秒时，点A的坐标是（　　） A．（2025，0） B．（2025，2） C．（2026，0） D．（2025，-2） 二、填空题 13．相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26 cm，宽22 cm，相框边的宽为x cm，相框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为__________ . 14．观察表格： 则一元二次方程x2－2x－2＝0在精确到0.1时一个近似根是__________ ，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是__________ . 15．将抛物线y=2（x-1）2+4，绕着它的顶点旋转180°，旋转后的抛物线表达式是__________． 16．我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为__________． 17．一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面MN上时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC、BD都是抛物线L的一部分，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，杯口直径CD为8cm，且CD∥MN，以杯底AB的中点为原点O，以MN为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （1）轮廓线AC、BD所在的抛物线L的解析式为：__________； （2）将水杯绕点A倾斜倒出部分水，杯中水面CE∥MN，如图2，当倾斜角∠BAN＝30°时，水面宽度CE＝__________cm． 三、解答题 18．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点，. (1)试确定此二次函数的表达式； (2)求顶点坐标及对称轴； (3)判断点P是否在这个二次函数的图象上，并说明理由. 19．已知y=(k+2)是二次函数，且函数图像有最高点. (1)求k的值； (2)求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少. 20．在如图所示的直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为4，且D(2，2). ①求图象经过B，E，F三点的二次函数的表达式； ②求①中二次函数图象的顶点坐标. 21．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖． （1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？ （2）如图铺设白色地面砖的费用为每平米30米，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？ 22．如图，在顶点为P的抛物线 的对称轴l上取 ，过A作 交抛物线于B,C两点(B在C左侧)，点和点A关于点P对称，过作 ，又分别过B,C作 ，垂足为E,D，在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形. (1) 直接写出抛物线 的焦点坐标及其直径； (2) 求抛物线 的焦点坐标及其直径； (3) 已知抛物线的直径为 ，求a的值； (4) ① 已知抛物线 的焦点矩形的面积为2，求a的值； ② 直接写出抛物线的焦点矩形与抛物线 有两个公共点时m的取值范围. 北师大版（2024）九年级上册 第五章 二次函数 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．如图，在直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于A（-3，0）和B两点，抛物线与x轴交于A，C两点，且C的横坐标在0到1之间（不含端点），下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．3a-b＞0 C．2a-b+m＜0 D．a-b＞2m-2 【答案】D 【解析】A．由图可知，二次函数图象开口向下，所以a＜0， ∵C的横坐标在0到1之间（不含端点），∴-＜-1，∴b＜2a，∴b＜0， ∵与y轴的交点B在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故本选项错误； B．∵A（-3，0）在二次函数图象上，∴9a-3b+c=0，∴3a-b=-c＜0，∴3a-b＜0，故本选项错误； C．∵b＜2a，∴2a-b＞0， ∵一次函数y=mx+n经过第一三象限，∴m＞0，∴2a-b+m＞0，故本选项错误； D．x=-1时，a-b+c＞-m+n， ∵一次函数经过点（-3，0），∴-3m+n=0，∴n=3m，∴a-b＞-m+3m-c=2m-c， 由图可知，c＜2，∴2m-c＞2m-2，∴a-b＞2m-2，故本选项正确． 故选：D. 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论： ①b＞0；②a-b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=-1，则b2=4a． 正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0， 又∵对称轴为x=-＞0，∴b＜0， ∴结论①不正确；∵x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0，∴结论②不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=-2， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是2×2=4， ∴结论③正确； ∵=-2，c=-1，∴b2=4a， ∴结论④正确．综上，结论正确的是③④． 3．二次函数y=（x+2）2-1的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：a=1＞0，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，-1）． 4．若抛物线y=（x-m）2+（m-1）的顶点在第四象限，则m的取值范围（　　） A．0＜m＜1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＞1 【答案】A 【解析】解：∵抛物线y=（x-m）2+（m-1）的顶点（m，m-1）在第四象限， ∴，解得0＜m＜1． 5．已知点A（1，y1），B（-，y2），C（-2，y3）在函数y=x2-的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【答案】A 【解析】解：∵点A（1，y1），B（-2，y2），C（-3，y3）在函数y=x2-的图象上，∴点A（1，y1），B（-，y2），C（-2，y3）都满足函数解析式y=x2-，∴y1=0，y2=×2-=，y3=×4-=，∴y1＜y2＜y3． 6．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB.有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为. 其中，正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵AB的长为x m，则BC的长为(30-2x)m， ∵墙长为18 m，AD≥AB， ∴ 解得 ∴x的取值范围为6≤x≤10， 故①错误； 根据题意得x(30-2x)=100， 解得x1=5，x2=10， ∵6≤x≤10， ∴x=10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100 m2， 故②错误； 根据题意得S=x(30-2x)=-2x2+30x=-2+， ∵-2<0，6≤x≤10， ∴当x=时，S有最大值，最大值为， 故③正确. 7．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　） A．y=2(x-2)2+2 B．y=2(x+2)2-2 C．y=2(x-2)2-2 D．y=2(x+2)2+2 【答案】A 【解析】抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)， ∵把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为(2，2)， ∴抛物线的解析式为y=2(x-2)2+2． 故选：A. 8．点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在抛物线y＝x2的图象上.若y1<y2，则m的取值范围为 （      ） A．m>4 B．m<4 C．m< D．m> 【答案】D 【解析】∵点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在抛物线y＝x2的图象上， ∴y1＝(m－1)2， y2＝m2， ∵y1<y2， ∴(m－1)2<m2， ∴(m－1)2－m2<0， 即－2m＋1<0， ∴m>. 9．函数 与 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：当 时，，二次函数开口向上，当 时一次函数过一，二，四象限，当 时一次函数过二，三，四象限； 当 时，，二次函数开口向下，当 时一次函数过一，二，三象限，当 时一次函数过一，三，四象限．所以 B 正确． 10．已知二次函数y=a(x+2)2+3(a＜0)的图象如图所示，则以下结论： ①当x＞-2时，y随x的增大而增大； ②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当a=-1时，抛物线必过原点； ④该抛物线和x轴总有两个公共点． 其中正确结论是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【解析】根据解析式可以得到函数的顶点坐标是(-2，3)，对称轴是x=-2， 则当x＞-2时，y随x的增大而减小，故①错误； 顶点坐标是(-2，3)，开口向下，则函数的最大值是3，则②正确； 当a=-1时，函数的解析式是y=-(x+2)2+3，(0，0)不满足函数的解析式，故函数不经过原点，故③错误； 顶点坐标是(-2，3)，开口向下，则该抛物线和x轴总有两个公共点，故④正确． 故选：C. 11．关于x的两个函数y=x2+2mx+m2和y=mx-m（m≠0）在同一坐标系中的图象可能是图中所示的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．由一次函数y=mx-m的图象可得：m＜0，此时二次函数y=x2+2mx+m2的图象应该开口向上，对称轴x=-m＞0，错误； B．由一次函数y=mx-m的图象过二、四象限知m＜0，而一次函数交y轴于负半轴，则-m＜0，即m＞0，前后相矛盾，错误； C．由一次函数y=mx-m的图象可得：m＜0，此时二次函数y=x2+2mx+m2的图象应该开口向上，对称轴x=-m＞0，正确． D．由一次函数y=mx-m的图象可得：m=0，此时二次函数y=x2+2mx+m2的图象应该开口向上，对称轴x=-m=0，错误． 12．如图，点A在由函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数）的图象组成的平滑曲线上，点B在x轴上，且AB⊥x轴，若点B从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则第2025秒时，点A的坐标是（　　） A．（2025，0） B．（2025，2） C．（2026，0） D．（2025，-2） 【答案】A 【解析】解：∵函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数）， ∴函数图象与x轴的交点为（3n，0），（3n+3，0）， ∵3n+3-3n=3，2025÷3=675， ∴当x=2025时，y的值为0， ∴A的坐标为（2025，0）． 二、填空题 13．相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26 cm，宽22 cm，相框边的宽为x cm，相框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为__________ . 【答案】y=4x2-96x+572 【解析】根据题意，得 y=， 展开得 y=572-52x-44x+4x2， 整理得 y=4x2-96x+572， 根据题意，得 解得0<x<11. ∴y与x之间的函数关系式为y=4x2-96x+572. 14．观察表格： 则一元二次方程x2－2x－2＝0在精确到0.1时一个近似根是__________ ，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是__________ . 【答案】2.7 ； -0.7 【解析】∵当x＝2.7时，y＝－0.11；当x＝2.8时，y＝0.24， ∴方程的一个根在2.7和2.8之间， 又∵当x＝2.7时的y值比当x＝2.8时更接近0， ∴方程的一个近似根为2.7； ∵此函数的对称轴为直线x＝1， 设函数的另一根为x，则＝1， 解得x＝－0.7. 15．将抛物线y=2（x-1）2+4，绕着它的顶点旋转180°，旋转后的抛物线表达式是__________． 【答案】y=-2（x-1）2+4 【解析】解：∵抛物线y=2（x-1）2+4，绕着它的顶点旋转180°， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向改变， ∴旋转后的抛物线表达式为y=-2（x-1）2+4． 16．我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为__________． 【答案】2-2或-或-1 【解析】根据题意，x2-1＜-x+1，即x2+x-2＜0， 解得-2＜x＜1，故当-2＜x＜1时，y=x2-1； 当x≤-2或x≥1时，y=-x+1； 函数图象如下： 由图象可知，∵直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，且k＜0， ①直线y=kx-k-2经过点（-2，3）时，3=-2k-k-2，k=-， 此时直线y=-x-，与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点． ②直线y=kx-k-2与函数y=x2-1相切时，由消去y得x2-kx+k+1=0， ∵Δ=0，k＜0，∴k2-4k-4=0，∴k=2-2（或2+2舍弃）， 此时直线y=（2-2）x-4+2与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点． 直线y=kx-k-2和直线y=-x+1平行，k=-1， 直线为y=-x-1与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点． 综上，k=2-2或-或-1． 17．一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面MN上时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC、BD都是抛物线L的一部分，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，杯口直径CD为8cm，且CD∥MN，以杯底AB的中点为原点O，以MN为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （1）轮廓线AC、BD所在的抛物线L的解析式为：__________； （2）将水杯绕点A倾斜倒出部分水，杯中水面CE∥MN，如图2，当倾斜角∠BAN＝30°时，水面宽度CE＝__________cm． 【答案】（1）y＝x2﹣4；（2）14 【解析】设抛物线的解析式为：y＝ax2+b， 把点B(2，0)，D(4，12)代入y＝ax2+c中， 得，解得，∴y＝x2﹣4， 即抛物线L的解析式为：y＝x2﹣4； （2）根据题意可知，∠DCE＝∠BAN＝30°，设BE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q， 在Rt△CPQ中，CQ＝4，∠PCQ＝30°， ∴PQ＝4，∴PO＝8，∴P(0，8)， ∴直线CE的解析式为：y＝kx+m， 将C(﹣4，12)，P(0，8)代入，得，解得， ∴直线CE的解析式为：y＝x+8， 令x2﹣4＝x+8，解得x＝﹣4或x＝3， ∴点E的横坐标为3， 当x＝3时，y＝×3+8＝5，∴E(3，5)． ∴CE＝＝14(cm)． 三、解答题 18．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点，. (1)试确定此二次函数的表达式； (2)求顶点坐标及对称轴； (3)判断点P是否在这个二次函数的图象上，并说明理由. 【答案】解　(1)由题意得 解得 ∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3. (2)∵y=-x2-2x+3=-+4， ∴顶点坐标为，对称轴为直线x=-1. (3)点P在这个二次函数的图象上. 理由：∵当x=-2时，y=--2×+3=3， ∴点P在这个二次函数的图象上. 19．已知y=(k+2)是二次函数，且函数图像有最高点. (1)求k的值； (2)求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少. 【答案】解　(1)∵y=(k+2)是二次函数， ∴k2+k-4=2且k+2≠0， 解得k=-3或k=2， ∵函数有最高点， ∴抛物线的开口向下， ∴k+2<0， 解得k<-2， ∴k=-3. (2)当k=-3时，y=-x2，顶点坐标(0，0)，对称轴为y轴， 当x>0时，y随x的增大而减少. 20．在如图所示的直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为4，且D(2，2). ①求图象经过B，E，F三点的二次函数的表达式； ②求①中二次函数图象的顶点坐标. 【答案】解　①∵原点为正方形ABCD的中心， ∴B(－2，－2)，E(0，2)，F(2，0)， 设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将B，E，F三点的坐标代入，得 解得 ∴抛物线表达式为y＝－x2＋x＋2. ②∵y＝－x2＋x＋2 ＝－ ∴二次函数图象的顶点坐标为. 21．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖． （1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？ （2）如图铺设白色地面砖的费用为每平米30米，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米， 根据题意，得：4x2＋(100－2x)(80－2x)＝5200， 整理得，x2－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10， 经检验x1＝35，x2＝10均适合题意， 所以，要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米， 则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米． （2）设铺设矩形广场地面的总费为y元，广场四角的小正方形的边长为x米， 则y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]， 即是y＝80x2－3600x＋240000， 配方得y＝80(x－22．5)2＋199500， 当x＝22.5时，y的值最小，最小值为199500， 所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时， 所铺设设铺设矩形广场地面的总费最小，最少费用为199500元． 22．如图，在顶点为P的抛物线 的对称轴l上取 ，过A作 交抛物线于B,C两点(B在C左侧)，点和点A关于点P对称，过作 ，又分别过B,C作 ，垂足为E,D，在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形. (1) 直接写出抛物线 的焦点坐标及其直径； (2) 求抛物线 的焦点坐标及其直径； (3) 已知抛物线的直径为 ，求a的值； (4) ① 已知抛物线 的焦点矩形的面积为2，求a的值； ② 直接写出抛物线的焦点矩形与抛物线 有两个公共点时m的取值范围. 【答案】(1) ∵抛物线中，，，， ∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：， ∴抛物线的焦点坐标为(0，1)， 将代入得：， ∴此抛物线的直径是：； (2) ∵抛物线中，，，， ∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：， ∴抛物线的焦点坐标为(3，3)， 将代入得：， ∴此抛物线的直径是：； (3) ∵抛物线的焦点为A(，)， ∴， 解得：， ∴此抛物线的直径是：； 解得：， ∴的值是； (4) ① 由(3)得，BC， 焦点为A(，)，顶点为P(，)， ∴， 根据题意：， 解得：， ∴的值是； ② 当 或时，有两个公共点， 理由：由(2)知抛物线的焦点矩形顶点坐标分别为：B(1，3)，C(5，3)，E(1，1)，D(5，1)， 当过B(1，3)时， 解得：或(舍去)， 过C(5，3)时，或(舍去)， 由图可知，公共点个数随m的变化关系为： 当时，无公共点；当时，1个公共点；当时，2个公共点；当时，3个公共点；当时，有2个公共点； 当时，1个公共点； 当时，无公共点；由上可得，当或时，有2个公共点. 学科网（北京）股份有限公司 $