上册 第5章 综合演练卷-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

铺路卷 河南专版·BS· 九年级数学生 +为期中、期末铺路艹为中考、未来铺路 第五章追梦综合演乡 测试时间：100分钟 测试分数：120分 、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 5 7 8 9 10 答案 1.下列函数中，属于二次函数的是( ) 器 A.y=-6x+1 B.y=2x21 黑 C.y=-x(2-x) D.y=22-2x 腳 2.将二次函数y=-x2-2x-3化为y=a(x-h)2+k的形式为( n A.y=-(x-1)2+3 B.y=(x+1)2-4 H C.y=-(x+1)2-2 D.y=(x-1)2+2 9 3.二次函数y=-(x-2)2+11的顶点坐标和对称轴分别是( ) A.（2,11),直线x=2 B.（2,3),直线x=2 C.(-2,11),直线x=-2 D.(-2,3),直线x=2 4.如果点A(1,3),B(m,3)是抛物线y=a(x-4)2+h上两个不同的 是 点，那么m的值为() 救 A.4 B.5 C.6 D.7 5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3 -m,n)、D(2,y2)、E(2,y),则y1y2y3的大小关系是( A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y3<y1 6.生活情境·头盔一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商 爵 店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶。在“创 建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1 元，每月可多售出20顶。已知头盔的进价为每顶50元，则该商 店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为( )元。 A.60 B.65 C.70 D.75 7.函数y=ax2-2x+1和y=ax+a(a是常数，且a≠0)在同一直角坐 标系中的图象可能是( 剂 8.已知二次函数y=-2(x-m)2+4,当x<-2时，y随x增大而增大， 当x>0时，y随x增大而减小，且m满足m2-2m-3=0,则当x=0 时，y的值为( A.2 B.4 C.1+√2 D.1±√2 9.如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左 侧)，其顶点P在线段MN上移动。若点M、N的坐标分别为 (-1,-2)、（1,-2),点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐 标的最小值为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 0 B MP N 第9题图 第10题图 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b2>4ac; ②b+2a<0;③当x<号时，y随x的增大而增大；④a-b+c< 中，正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.将抛物线y=3x2-6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个 单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是 12.如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写 出方程ax2+bx+c=0的两根是 第12题图 第13题图 13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y=bx+a的图 象不经过第 象限。 14.生活情境·隧道如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽 12米、高6米。车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两 侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道 有不少于}米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米。 —12米 15.在直角坐标系中，已知直线y=写+了经过点M(-1,m)和点 N(2,n),抛物线y=ax2-x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的 交点，则a的取值范围是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（9分)抛物线y=x2-2x+c经过点(2,1)。 (1)求抛物线的顶点坐标。 (2)将抛物线y=x2-2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与 x轴交于A、B两点，如果AB=2,求新抛物线的表达式。 17.（9分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),对称轴是直线x =1,且关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根。 (R (1)求抛物线的解析式。 (2)设(m,y1),（m+2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，请 比较y2y1与0的大小，并说明理由。 THE ROAD TO 18.(9分)一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处起跳投篮， 球在运动员头顶上方0.25m处出手，按如图所示的直角坐标 系，球在空中运行的路线可以用y=-0.2x2+3.5来描述，那么： (1)球能达到的最大高度是多少？ (2)球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？ 0.25 1.8 3.05 。23. 19.(9分)如图，二次函数y1=x2-2x-3的图象与x轴交于点A,B (A在B的左侧)，与一次函数y2=-x+b的图象交于A,C两点。 (1)求b的值； (2)求△ABC的面积； (3)根据图象，直接写出当y1>y2时x的取值范围。 20.生活情境·发射器(9分)学校科学社团成员制作了一个物体 发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发 射出的物体离地面的高度h(单位：m)满足关系式h=-5t2+ ot,其中t(单位：s)是物体运动的时间，用发射器（发射器的高 度忽略不计)将一个小球以初速度v。=10m/s从地面竖直向 上抛。 (1)小球从抛出到落回地面需要 S; (2)小球的高度能否达到5.5m?若能，请求出运动时间t:若 不能，请说明理由； (3)小豫在实验楼连续两次看到这个小球经过观察点，当观察 点离小球发射点的竖直高度为4.2时，求这两次间隔的时 间差。 。24。 21.（10分)某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100 元出售，一天可售出100。后来经过市场调查，发现这种商品 单价每降低1元，其销量可增加10件。 (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。 ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降 价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，并写出当x取何值时，商场 可获得最大利润？最大利润为多少元？ 22.新考法·项目式学习(10分)某数学兴趣小组在学习了抛物线 的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是 此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 拋物线的课外实践活动 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量 抛物线型拱门的底部跨度AB,然后将高度为CD 活动过程 的标杆垂直于AB所在地面，水平方向移动标杆 使标杆顶部D恰好与横门的内壁接触，底部C 始终在AB上，再量出A、C两，点间的距离。 D 拱门示意图 A CO B x 说明：以AB所在直线为x轴，经过AB中点O的 垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱 门的最高点E到地面的距离为OE。 测量数据 AB=8m,CD=3m,AC=1m。 求该抛物线型拱门的最高点E到地面的距 任务1 离OE; 要在该抛物线型拱门内壁距离地面6m高的两 任务2 侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求 两盏灯的水平距离。 易错 分析 23.（10分)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4, 0),过点A的直线y=-x-1与该抛物线交于点C,点P是该抛 脚 物线上不与A,B重合的动点，过点P作PDLx轴于点D,交直 线AC于点E。 (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线AC的下方，且PE=2DE时，求点P的坐标； (3)当直线PD为x=1时，在直线PD上是否存在点Q,使 △ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在， 请说明你的理由。 做题 心得0A,即∠BAC=45°，则PC与x轴的夹角为45°，∴.直线 PC过点(-3,0)，设PC表达式为y=mx+n(m≠0)，把 点(-3,0)，(0，-3)代入得气3mtn=0,解得{m, n=-3 n=-3 PC表达式为y=-x-3。 (5分) 9金去流 P(1,-4); (7分) ②当∠P'AC为直角时，同理可得点P'的坐标为 (-2,5);综上所述，P的坐标是(1，-4)或(-2,5)。 (10分) 23.解：(1)由题意，AB所在抛物线的顶点坐标为(4,3.5)， .∴.设AB所在抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3.5,将点 大 A(0,2.5)代入得2.5=a(0-4)2+3.5,解得a= 16 豪 AB所在抛物线的解析武为y=16(x-4)'+3.5,即y= 625 (4分) (2)不能覆盖着火点(1,1)， (5分) 理由如下，由题意得，yc=3+0.41=3.41,对于y=16x 1 -4)35,令y=341,则341=（红-4+3.5，解得 x=5.2或x=2.8,5.2>4,.点C(2.8,3.41),.点D (2.8,3)。 (7分) 设此时抛物线的解析式为y=b(x-2.8)2+3,.对地面 的保护半径为2m,∴.此抛物线与x轴的两个交点为 (2.8-2,0)和(2.8+2,0)，即(0.8,0)和(4.8,0)，将 (0.8,0)代入得0=6(0.8-2.8)2+3，解得6=-3 …抛 物线的解析式为7=子(：-28)43， (9分) 令x=1,则y=0.57<1,.点(1,1)在抛物线与x轴形成 的区域的外侧，∴.不能覆盖着火点(1,1)。 (10分) 第五章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CCAD D CC AAC 1.C2.C3.A 4.D【解析】由题意，得A(1,3)与B(m,3)关于对称轴x= 4对希1=4，解得m=7。故连D 5.D【解析】二次函数y=|alx2+bx+c的图象经过A (m,n)、C(3-m,n),∴开口向上，对称轴为直线x= m+3-m=3 2 =2。B(0,y),D(2,),E(2,y)与对称轴 的距离中B最远，D最近，y2<y3<y1。故选D。 6.C【解析】设每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可 得，w=(80-x-50)(200+20x)=-20(x-10)2+8000,当 x=10时，心取得最大值，此时80-x=70,即该商店每月 获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元。故选C。 7.C 8.A【解析】函数的对称轴为：x=m,当x<-2时，y随x增 大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，则-2≤m≤0。 .m-2m-3=0,解得m=3或-1，∴.m=-1,则x=0时，y =-2(x+1)2+4=2。故选A。 9.A【解析】根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，即 可知当对称轴过N,点时，点B的横坐标最大，此时的A 点坐标为(-1,0)，当对称轴过M点时，点A的横坐标最 小，此时的B点坐标为(1,0)，此时A点的坐标最小为 （-3,0),故，点A的横坐标的最小值为-3。故选A。 10.C【解析】由题意，得△=b2-4ac>0,即b2>4ac,所以① 追梦之旅铺路卷·九年 b 3 正确：.抛物线的对称轴为直线x= 20-2,6= 3a,.b+2a=5a,而抛物线的开口向下，∴.a<0,∴.b+2a< 0,所以②正确；”抛物线的对称轴为直线x=- 2当 2y随x的增大而增大，所以③正确；“x=-1时， 3 y>0,∴.a-b+c>0,所以④错误。故选C。 【归纳总结】二次项系数a决定抛物线的开口方向和大 小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口 向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的 位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异 号时，对称轴在y轴右侧。常数项c决定抛物线与y轴 交点：抛物线与y轴交于(0，c)。抛物线与x轴交点个数 由判别式确定：△=b-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交 点；4=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；4=b2- 4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 11.(4,3)12.x1=-3,x2=113.四 14.3【解析】建立如图所示的平面直角 坐标系，根据题意得A(0,6),B(6, A 0),设抛物线解析式为y=ax2+6,把BC x (6,0)代入，得a=- 6,所以抛物线的 0 解折式为y=名46，含=4时y-0,0月 3’33=3,所 以通过隧道车辆的高度限制应为3 15a-1或好≤0<兮【解析小：直线=子+经过 4 3 点M(-1)布点M2,）m=官X(-1)+-2,n 2+写=1，M(-1,2),N(2,1)。抛物线y= 1 = ax2-+2(a≠0)与线段MW有两个不同的交点，心3 1 +号m+24=号号0a<3,当a<0时， 仔452解得a≤-1。当a>0时，仔站2解 得a≥4子≤a行。上所迷：a≤-1或}≤a< 11 1 1 30 16.解：(1)把(2,1)代入y=x2-2x+c得4-4+c=1,解得c= 1, (2分) 所以抛物线解析式为y=x2-2x+1=(x-1)2,所以抛物 线顶点坐标为(1,0)。 (4分) (2)抛物线的对称轴为直线x=1, (7分) 而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2,所以 A(0,0),B(2,0),所以新抛物线的解析式为y=x(x- 2),即y=x2-2x。 (9分) 4a+2b+c=0 1 17.解：(1)由题意得 -=1 解得2，之，故抛物 2a b=1 (b-1)2-4ac=0 c=0 线的表达式为y=子+ (5分) (2):(m,y1),(m+2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c上的两 1 点，则为-y1=-m+2)2+(m+2+)m-m=-2m, (7分) 故当m≥0时，y2y1≤0；当m<0时，y2>0。(9分) 级·BS·数学第13页 18.解：(1)y=-0.2x2+3.5,当x=0时，y=3.5,∴.球能达 到的最大高度是3.5m; (5分) (2)当y=3.05时，即3.05=-0.2x2+3.5,解得x= ±1.5，由图可知篮板在x>0处，取x=1.5。运动员在距 篮板4米处投篮，故出手点横坐标为：1.5-4=-2.5，代 入函数求出手点高度：y=-0.2×(-2.5)2+3.5=-0.2× 6.25+3.5=-1.25+3.5=2.25,球在运动员头顶上方 0.25米处出手，运动员身高1.8米，1.8+0.25=2.05 （米)，运动员跳离地面的高度：2.25-2.05=0.2（米）， 答：球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米。 (9分) 19.解：(1)当y1=0时，x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3, 抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)。直线y2=-x+ b经过A点，0=-(-1)+b,.b=-1; (3分) （2)由(1)知y2=-x-1,联立得x2-2x-3=-x-1,整理得 x2-x-2=0。解得x1=-1(舍)，x2=2,把x2=2代入y2= --1,得%=-3，C(2,-3),Saac=2×[3-(-1)] ×|-31=6: (7分) (3)x<-1或x>2。 (9分) 20.解：(1)2 (2分) 【解析】把v=10代入h=-5t2+vot得，h=-5t2+10t,当h =0时。即52-10t=0,解得t1=0,t2=2,2-0=2,故小球 从抛出到落回地面需要2s; (2)小球的高度不能达到5.5米 (3分) 理由如下：把h=5.5代入h=-52+10得，5.5=-52+ 10t,∴.5t2-10t+5.5=0.4=(-10)2-4×5×5.5=-10< 0,.∴.5.5=-5t2+10t无实数解，.小球的高度不能达到 5.5米： （6分) (3)由题意得：4.2=-52+10，.52-10t+4.2=0,解得 41=0.6,42=1.4,2-t1=0.8,答：这两次间隔的时间差为 0.8so (9分) 21.解：(1)根据题意，得(100-80)×100=2000（元）。故商 场经营该商品原来一天可获利润2000元。 (3分) (2)①根据题意，得(100-80-x)(100+10x)=2160,整 理，得x2-10x+16=0,解得x1=2,x2=8,故每件商品应 降价2元或8元。 (5分) ②y=(100-80-x)(100+10x)=-10x2+100x+2000=-10 (x-5)2+2250,当x=5时，y有最大值为2250。故y与x 之间的函数关系式为y=-10x2+100x+2000。当x取5 元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元。 (10分) 22.解：任务1：设该抛物线的解析式为y=ax2+b(a≠0)，由 题意，得A(-4,0),D(-3,3)。{6a+b0, (9a+b=3,解得 3 a=- 7 8该抛物线的解析式为y=++ +7,(5分) b= 7 48 当x=0时，y= 7心E(0,4 ),….该抛物线型拱门的最 高点E到地面的距离OB为48m 7m; (6分) 任务2：当y-的时，则+9的解得=-2 2,2-(-2)=4(m),.两盏灯的水平距离为4m。 (10分) 23.解：(1)将点A(-1,0),B(4,0)代入抛物线解析式y=x +c,得，6600解得，子驰物线的解析 式为y=x2-3x-4: (3分) (2)因为点P在直线AC的下方，设P(x,x2-3x-4),则 E(x,-x-1),D(x,0),则PE=-x-1-(x2-3x-4)=-x2+ 2x+3,DE=x+1,.·PE=2ED,∴.-x2+2x+3=2(x+1),解 追梦之旅铺路卷·九年 得x1=-1(与点A重合，舍去)，x2=1,∴.y=-6,.P(1, -6); (5分) (3)存在。 (6分) 理由如下：直线AC和抛物线y=x2-3x-4交于A,C 两点，联立方程得，-x-1=x2-3x-4,解得1=-1，x2=3, .C(3,-4),.AC=√(3+1)2+(-4-0)7=42，由直线 DP:x=1和直线AC:y=-x-1得，AD=2,DE=2,∴.AE= √22+2=22，CE=AC-AE=22。:LAED= ∠CEP,要使△QCE与△EDA相似，必有∠EQC= ∠EDA=90°或∠ECQ=∠EDA=90°： (7分) ①当∠EQC=∠EDA=90时，'：AE=CE=2V2,∴.△EQC ≌△EDA,.EQ=DE=2,∴.点Q的坐标为(1，-4)；②当 EO EC ∠ECQ=∠EDA=90时，'.'△ECQ∽△EDA,∴. EA ED' 大 六B0-22X22=4,D0=DE+BE0=2+4=6,点Q 卷 2 的坐标为(1，-6)。综上所述，点Q的坐标为(1，-4)或 案 (1,-6)时，△ECQ与△EDA相似。 (10分) 第六章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查BBDADC AD DB 1.B2.B3.D4.A 5.D 【注意】求概率时，当一个事件只涉及两个元素时可以用 列表法或树状图法，但当一个事件涉及三个或更多元素 时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状 图法。 6.C7.A 8.D【解析】将造纸术、印刷术、指南针、火药依次记为 “A,B,C,D”。画数状图如下：由树状图可知：他们恰好 抽到同一项发明的概率为4=1 164。故选D。 开始 甲： B D 乙：ABCDABCD ABCD ABCD 9.D【解析】从统计图中可得该事件发生的可能性约在 33%左右，A的概率为1÷6×100%≈16.67%，B的概率为 3÷6×100%=50%,C的概率为4÷6×100%≈66.67%，D 的概率为2÷6×100%≈33%，即朝上的，点数是3的倍数 的概率与之最接近。故选D。 10.B 11.5【解析】设袋子中白球有n个，根据题意，得， 4+n 20%,解得n=1,经检验n=1是分式方程的解，所以估 计口袋中的球大约有4+1=5（个）。 12号 13.314.0.95 1 15. 6 【解析】列表如下： 第二次 第一次 中 C o A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A)(C,B) (C,D) D (D,A)(D,B)(D,C) 共有12种等可能结果，其中抽到的卡片恰好是现代数 学家华罗庚和陈景润图案的结果共2种，.抽到的卡 片恰好是现代数学家华罗庚和陈景润图案的概率为 1 6° 16.解：画树状图如下： (4分) 及·BS·数学第14页