山东青岛市青岛大学附属中学2026-2027学年度第一学期学情调研九年级数学试题

2026—2027学年度第一学期学情调研 九年级数学试题 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题满分30分，共有10题，每小题3分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解下列方程，配方正确的是（ ） A. 3x2﹣6x＝9可化为（x﹣1）2＝4 B. x2﹣4x＝0可化为（x+2）2＝4 C. x2+8x+9＝0可化为（x+4）2＝25 D. 2y2﹣4y﹣5＝0可化为2（y﹣1）2＝6 6. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ） A. 15米 B. 22.5米 C. 35米 D. 37.5米 8. 将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ） A. B. C. D. 9. 我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 12. 若，则分式______． 13. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关．如图所示的哪吒造型中，点为的黄金分割点，即，若，则_____． 14. 如图，点是四边形内一点，且满足，，，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的形状为______. 15. 如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是________． 16. 如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为______． 三、作图题（本题满分6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 四、解答题：（本题满分66分，共有7道小题） 18. 解方程： （1） （2）（配方法） （3） 19. 已知关于的方程． 试说明此方程总有两个不相等的实数根； 若此方程的一个根是，求另一根． 20. 已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 21. 我们约定：关于的一元二次方程有两个实数根分别是，若，为整数，则称为方程的“伴点”． （1）是否存在“伴点”？若存在，求出该方程的“伴点”； （2）若关于x的一元二次方程：的“伴点”为，求的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一个“伴点”，且该点在直线上，若存在，求出的值及方程的“伴点”；若不存在，请说明理由． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 23. 如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与C，D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段．线段的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断； （2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且，，，，第（1）题①中得到C的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由； （3）在第（2）题图5中，连接、，且，，，求的值． 24. 如图，在四边形ABCD中，，．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为的速度，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为． （1）求线段AB的长度； （2）t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，说明理由． 2026—2027学年度第一学期学情调研 九年级数学试题 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题满分30分，共有10题，每小题3分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】菱形 【15题答案】 【答案】10 【16题答案】 【答案】 三、作图题（本题满分6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 【17题答案】 【答案】 正方形如图所示： 四、解答题：（本题满分66分，共有7道小题） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】 解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)7. 【20题答案】 【答案】（1）证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． （2） 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【21题答案】 【答案】（1）存在，； （2）； （3）存在，，伴点为. 【22题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【23题答案】 【答案】（1）①，．②，仍然成立．详见解析；（2）成立，不成立，详见解析；（3）． 【24题答案】 【答案】（1）AB=25cm （2）或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似 （3）当t=1时，四边形DPQC的面积等于144cm （4）存在，使 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $