精品解析：山东青岛市青岛大学附属中学2026-2027学年度第一学期学情调研九年级数学试题

2026—2027学年度第一学期学情调研 九年级数学试题 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题满分30分，共有10题，每小题3分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解下列方程，配方正确的是（ ） A. 3x2﹣6x＝9可化为（x﹣1）2＝4 B. x2﹣4x＝0可化为（x+2）2＝4 C. x2+8x+9＝0可化为（x+4）2＝25 D. 2y2﹣4y﹣5＝0可化为2（y﹣1）2＝6 6. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ） A. 15米 B. 22.5米 C. 35米 D. 37.5米 8. 将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ） A. B. C. D. 9. 我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 12. 若，则分式______． 13. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关．如图所示的哪吒造型中，点为的黄金分割点，即，若，则_____． 14. 如图，点是四边形内一点，且满足，，，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的形状为______. 15. 如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是________． 16. 如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为______． 三、作图题（本题满分6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 四、解答题：（本题满分66分，共有7道小题） 18. 解方程： （1） （2）（配方法） （3） 19. 已知关于的方程． 试说明此方程总有两个不相等的实数根； 若此方程的一个根是，求另一根． 20. 已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 21. 我们约定：关于的一元二次方程有两个实数根分别是，若，为整数，则称为方程的“伴点”． （1）是否存在“伴点”？若存在，求出该方程的“伴点”； （2）若关于x的一元二次方程：的“伴点”为，求的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一个“伴点”，且该点在直线上，若存在，求出的值及方程的“伴点”；若不存在，请说明理由． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 23. 如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与C，D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段．线段的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断； （2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且，，，，第（1）题①中得到C的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由； （3）在第（2）题图5中，连接、，且，，，求的值． 24. 如图，在四边形ABCD中，，．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为的速度，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为． （1）求线段AB的长度； （2）t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期学情调研 九年级数学试题 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题满分30分，共有10题，每小题3分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③整理后未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、不是整式，不是整式方程，故不是一元二次方程； B、，则，故是一元二次方程； C、化简后没有，故不是一元二次方程； D、没有说，故不一定是一元二次方程． 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原方程可化为，此时； 也可化为，此时； 故只有选项D符合题意. 3. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 4. 已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A选项中的等腰三角形的顶角为，与不相等，故二者不相似，不符合题意； B选项中的三角形为等边三角形，而不是等边三角形，故二者不相似，不符合题意； C选项中的等腰三角形的顶角为，与相等，故二者相似，符合题意； D选项中的等腰三角形的顶角为，与不相等，故二者不相似，不符合题意． 5. 用配方法解下列方程，配方正确的是（ ） A. 3x2﹣6x＝9可化为（x﹣1）2＝4 B. x2﹣4x＝0可化为（x+2）2＝4 C. x2+8x+9＝0可化为（x+4）2＝25 D. 2y2﹣4y﹣5＝0可化为2（y﹣1）2＝6 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特点判断即可得到结果． 【详解】解：A、3x2﹣6x＝9可化为（x﹣1）2＝4，故选项正确； B、x2﹣4x＝0可化为（x﹣2）2＝4，故选项错误； C、x2+8x+9＝0可化为（x+4）2＝7，故选项错误； D、2y2﹣4y﹣5＝0可化为（y﹣1）2＝，故选项错误． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法. 6. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选C． 7. 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ） A. 15米 B. 22.5米 C. 35米 D. 37.5米 【答案】B 【解析】 【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设河宽米，则点P到北岸的距离为米， 由题意得，米，米， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为米． 8. 将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质易得∠BAC=45°，然后由正多边形的性质可进行排除选项． 【详解】解：由题意得：∠BAC=45°， ∴沿线段BD剪开，展开图即为八边形， 若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A为圆心，AD、AB为半径即可， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质，熟练掌握正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质是解题的关键． 9. 我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由折叠的性质可得，根据相似的性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质可得， ∵这两种规格的矩形纸片相似， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴“白银”比为． 10. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，延长交于，根据正方形性质得四边形是矩形，根据矩形性质得，，，根据折叠性质得，，，进而求出，，根据直角三角形中30度所对边性质得，再根据勾股定理列方程求出，再根据求出，进而得，进一步求出、、、，即可得，再根据，，即可证明，进而得的长，最后根据计算即可得的长． 【详解】解：如图， ∵沿所在直线折叠得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 过作于，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 12. 若，则分式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等式性质、分式求值，根据已知可得，然后将代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关．如图所示的哪吒造型中，点为的黄金分割点，即，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，点是四边形内一点，且满足，，，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的形状为______. 【答案】菱形 【解析】 【分析】连接、，证得，由、，，，则，可得四边形是菱形． 【详解】解：如图，连接、， ， ，即， 在和中， ， ， ， 点、、分别为、、的中点， 、，，， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形和菱形、正方形的判定与性质． 15. 如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 16. 如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， 即的最小值为． 三、作图题（本题满分6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 正方形如图所示： 【解析】 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】略 四、解答题：（本题满分66分，共有7道小题） 18. 解方程： （1） （2）（配方法） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：， ， ， 或， 解得． 19. 已知关于的方程． 试说明此方程总有两个不相等的实数根； 若此方程的一个根是，求另一根． 【答案】 解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)7. 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的判别式进行判别方程根的情形，再根据两根根的关系式直接解出另一个根. 【详解】（1）略 设方程的另一根为， 则， 解得， ∴方程的另一个根为． 【点睛】本题考查了学生对一元二次方程解个数的判别，掌握根的判别方法和根之间关系是解决此题的关键. 20. 已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． （2） 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 我们约定：关于的一元二次方程有两个实数根分别是，若，为整数，则称为方程的“伴点”． （1）是否存在“伴点”？若存在，求出该方程的“伴点”； （2）若关于x的一元二次方程：的“伴点”为，求的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一个“伴点”，且该点在直线上，若存在，求出的值及方程的“伴点”；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在，； （2）； （3）存在，，伴点为. 【解析】 【分析】（1）求出方程的解，根据新定义，进行作答即可； （2）根据新定义，求出方程的两个实数根，利用根与系数的关系求出的值即可； （3）假设存在，根据伴点在直线上以及根与系数的关系求出的值，进而求出方程的解，即可得出结果. 【小问1详解】 解：， ， 解得， 方程的两个实数根均为整数， ∴存在“伴点”，为； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的“伴点”为， ∴方程的两个根分别为，， ∴； 【小问3详解】 解：假设存在，则方程有两个实数根，其伴点为， ∴， 解得， 由根与系数的关系可知： ∵伴点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程化为， 解得， ∴伴点为. 22. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）、设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）、设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）、设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 23. 如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与C，D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段．线段的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断； （2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且，，，，第（1）题①中得到C的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由； （3）在第（2）题图5中，连接、，且，，，求的值． 【答案】（1）①，．②，仍然成立．详见解析；（2）成立，不成立，详见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）①利用正方形的性质，证明，利用全等三角形的性质可得：BG=DE，∠CBG=∠CDE，再证明：∠EDC+∠DGO=90°，从而可得结论；②同①，先证明：，利用全等三角形的性质可得：，，再证明：，从而可得结论； （2）利用矩形的性质，证明，可得：，再证明，从而可得结论； （3）连接利用，结合勾股定理证明：，再把，，代入，即可得到答案． 【详解】解：（1）①，．理由如下：如图1， 延长BG交DE于O， ∵四边形ABCD、CGFE是正方形， ∴BC=CD=AB，CG=CE，∠BCD=∠ECD=90°， ∵在和中 ， ∴， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE， ∵∠CBG+∠BGC=90°， 又∵∠DGO=∠BGC， ∴∠EDC+∠DGO=90°， ∴∠DOG=， ∴BG⊥DE， 即BG=DE，BG⊥DE； ②，仍然成立． 如图2，∵四边形、四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∵在与中， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （2）成立，不成立． 如图5，∵四边形、四边形都是矩形， 且，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 显然： （3）如图5，连接 ∵， ∴，，， ∴， 又∵，，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，在四边形ABCD中，，．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为的速度，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为． （1）求线段AB的长度； （2）t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）AB=25cm （2）或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似 （3）当t=1时，四边形DPQC的面积等于144cm （4）存在，使 【解析】 【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC=15，再利用△ACB∽△CDA，得出求解即可； （2）由（1）知，∠B=∠DAC，分△BPQ∽△ADC时或△BPQ∽△ACD时，分别根据对应边成比例求解即可； （3）作QH⊥AB于H，根据四边形DPQC的面积=S梯形ABCD-S△ADP-S△BPQ，列出方程解方程即可； （4）利用△DAP∽△PHQ，得，化简得一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 ， ∴由勾股定理得，， ， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADC， ， ∴∠ACD=∠CAB， ∴△ACB∽△CDA， ，即， ∴AB=25cm； 【小问2详解】 由题意知，BP=25-5t，BQ=5t， 由（1）知，∠B=∠DAC， 当△BPQ∽△ADC时， ，即， 解得； 当△BPQ∽△ACD时， ，即， 解得； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 过点Q作QH⊥AB于点H， ∵BQ=5t，则QH=3t， ∴四边形DPQC的面积=S梯形ABCD-S△ADP-S△BPQ ， 整理得， 解得t1=1，t2=8(舍去)， ∴当t=1时，四边形DPQC的面积等于144cm2； 【小问4详解】 当DP⊥PQ时， ∴∠DPQ=90°， ∴∠DPA+∠QPH=90， ∵∠APD+∠ADP=90°， ∴∠ADP=∠QPH， ∵∠DAP=∠QHP， ∴△DAP∽△PHQ， ，即， 解得， 存在，使． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 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