30.1.2 圆的切线（2） 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.1.2　圆的切线（第2课时） 教学目标 1．了解切线长的概念，区分切线与切线长；探索并证明切线长定理，能够运用切线长定理进行线段相等证明、角度计算、周长相关计算． 2．经历“画图→猜想→证明→归纳”探索切线长定理的完整过程，体会轴对称在圆中的应用；在定理应用中，学会识别切线长基本图形模型，培养几何识图能力、逻辑推理能力； 3．养成严谨书写几何证明步骤、规范使用几何语言的学习习惯；通过小组合作探究，提升主动思考、交流表达的意识． 教学重点 切线长定理的探索、推导及应用． 教学难点 切线长定理的探索、推导及应用． 教学准备 2～3张半透明的纸． 教学过程 新知探究 一、探究学习 【问题】我们已经知道过圆上一点作圆的切线的方法，那如何过圆外一点作圆的切线呢？ 【分析】如图，P 是⊙O 外一点，要过点 P 作⊙O 的切线．因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切，所以需要在⊙O上确定一点A，满足OA丄AP，即∠OAP=90°.由此可知，点O，P，A 可以确定一个圆，OP 是这个圆的直径．因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O 的交点即所要确定的点． 【答案】方法： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； （2）以点C为圆心，CO为半径作圆，与O相交于A，B两点；AB为切点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线． 【新知】经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长． 【设计意图】复习切线这个知识点的同时，引出切线长的概念． 【思考】切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别呢？ 【师生活动】学生分组讨论，老师让3～4位同学回答这个问题，然后得出结论： （1）切线是一条与圆相切的直线，不能度量； （2）切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 【思考】如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点O，P作直线OP．线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 【师生活动】学生拿出准备好的半透明纸，按照要求操作，小组讨论后初步得出结论：PA＝PB，∠APO＝∠BPO． 教师展示动图，学生通过观看动图进一步验证结论． 【问题】你会证明吗？ 【答案】证明：如图，连接OA和OB． ∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP． 又OA＝OB，OP＝OP． ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）． ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO． 【新知】切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 几何语言：PA，PB分别切⊙O于点A，B 【追问】（1）若连接两切点A，B，AB交OP于点M．你能得出什么新的结论? 【答案】OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点， ∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB． ∴△PAB是等腰三角形． PM为顶角的平分线， ∴OP垂直平分AB． 【追问】（2）若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论? 【答案】CA＝CB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线， 点A，B是切点， ∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB． 又∵PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴AC＝BC． 【归纳】在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形． （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆上一点． 【设计意图】利用“思考”中的基本图形和动图，让学生独立探究切线长定理及其证明，并能解决有关圆的切线长的问题． 【练习】PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C． （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中与∠OAC相等的角； （3）写出图中所有的全等三角形； （4）写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP； （2）∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC； （3）△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP； （4）△ABP，△AOB． 【设计意图】应用切线长定理解决“练习”中的问题，让学生明确切线长定理体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据． 二、典例精讲 【例题】如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长． 解：如图，连接OA． ∵PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA． 又∠APO=30°， ∴∠APB=60°. ∴△PAB是等腰三角形. ∴AB=PA=PB． 又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2， ∴OA=1，PA==． ∴△PAB的周长为3． 【设计意图】通过例题，让学生进一步理解切线长定理． 课堂小结 板书设计 一、切线长 二、切线长定理 课后任务 完成教材第154页练习第1～2题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $