30.1.2 圆的切线 第1课时 切线的性质与判定-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦“切线的性质与判定”核心知识点，通过回顾直线与圆的位置关系及切线定义，以问题链引导学生思考切线性质，搭建旧知到新知的学习支架。 此资料亮点在于通过探究活动让学生自主推导切线性质，培养推理能力，定理归纳注重文字、符号语言转化发展数学语言表达，例题与训练结合实际问题提升应用意识，助力学生发展推理与应用能力，为教师提供清晰教学流程和实用资源。

30.1.2 圆的切线 第1课时 切线的性质与判定 课题 切线的性质与判定 课型 新授课 教学内容 教材第150-152页的内容 教学目标 1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明，训练学生的推理判断能力． 2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明． 3．会过圆上一点画圆的切线，能运用直线与圆的位置关系解决实际问题． 教学重难点 教学重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用。 教学难点：探索圆的切线的判定方法。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【教师活动】教师带领学生回顾直线和圆的几种位置关系，重点强调本节课要讲解的是直线和圆相切的问题.然后回顾切线的定义，并追问切线有哪些性质呢？引出本节课要讲解的内容. 【问题】你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？ 【问题】切线的定义是什么？ 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点. 【追问】切线又有什么性质呢？ 2.类比探究，学习新知 【思考】 如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l有什么位置关系呢？ 解：OA⊥l．证明如下： 在直线l上任取一个不同于点A的点P， 连接OP， 因为点P在⊙O外， 所以OP＞OA. 这就是说，OA是点O到直线l上任一点的连线中最短的，故OA⊥l． 小结：圆的切线垂直于经过切点的半径. 【归纳】 切线性质定理 文字语言：圆的切线垂直于经过切点的半径. 符号语言：∵直线l 是⊙O的切线，且A是切点， ∴ l⊥OA. 【思考】 如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ 作法： (1)连接OP； (2)过点P作直线l⊥OP，则直线l即为所作. 【追问】为什么直线l即为所作呢？ 分析：由图可知，直线l与⊙O有一个公共点P，若取直线l上除点P之外任一点Q，连接OQ ，则OQ＞OP(斜线大于垂线)，所以点Q在圆外.因此，直线l与⊙O只有一个公共点，故直线l为⊙O的切线. 小结：由垂线的唯一性可知，过点P作OP的垂线有且只有一条.所以，过圆上的点作已知圆的切线有且只有一条. 【追问】如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ (画出切线即可) 过圆外一点作已知圆的切线有两条. 【归纳】 切线判定定理 文字语言：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言：∵OA是⊙O的半径， 且l⊥OA于A， ∴ l是⊙O的切线. 【思考】 这个定理中包含了哪些要素？ ①经过半径的外端 ②垂直于这条半径 两个条件缺一不可 【归纳】 圆的切线的判定方法 ①定义法：直线和圆只有一个公共点. ②数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r. ③判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【做一做】 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1)不是，因为没有与半径垂直. (2)(3)不是，因为没有经过半径的外端点. 【延伸】 切线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？ 联系：交换切线的性质定理的条件和结论，可得到切线的判定定理. 区别：切线的性质定理在已知相切而要得出其它结论时使用；切线的判定定理在未知相切要证明相切时使用. 3.学以致用，应用新知 【典型例题】 【例】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线. 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E， 连接OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点. ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB， ⊙O的直径为8 cm，AB=6 cm，求OA的长. 解： 连接OC. ∵ AB与⊙O相切于点C， ∴ OC⊥AB. 又∵ OA=OB ，AB=6 cm， ∴ AC=CB=3 cm. 又∵ ⊙O的直径为8 cm，即OC=4 cm， ∴ 在Rt△ACO中，OA==5 (cm). （2）已知：如图，直线AB过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：如图，连接OC. ∵ OA=OB， CA=CB， ∴ OC⊥AB. 又 点C在⊙O上， ∴ AB是⊙O的切线. （3）已知：如图，点P在∠BAC的平分线上，PD⊥AB，垂足为D. 求证：以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切. 证明：如图，过点P作PE⊥AC，垂足为E. ∵ 点P在∠BAC的平分线上，且PD⊥AB， ∴ PD=PE，即PD、PE为⊙P的半径. ∴以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切. （4）如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径，AB=AC ． 求证：AC是⊙O的切线. 证明：∵ AB=AC，∠ABC=45°， ∴ ∠ACB=∠ABC=45°. ∴ ∠BAC=180°∠ABC∠ACB=90°. ∵ AB是⊙O的直径， ∴ AC是⊙O的切线. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）切线的性质定理与判定定理是什么？它们有怎样的联系？ （3）在应用切线的性质定理与判定定理时，需要注意什么？ 6.布置作业 教材P152练习第1-3题. 通过回顾旧知帮助学生复习直线和圆的位置关系，以及切线的定义，同时引出下面要学习的切线的性质. 通过分组探究的形式，让学生去证明过切点的半径与切线的位置关系，体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性. 通过归纳让学生明确切线的性质定理，同时熟悉文字语言、图形语言和符号语言的相互转化. 通过“过圆上一点作圆的切线”让学生根据切线的性质定理来思考切线的作法，同时为后面推出切线的判定定理作铺垫. 通过追问进一步明确切线的作法，以及过圆上一点作已知圆的切线有且只有一条. 通过“过圆外一点作切线”，进一步巩固切线的作法，同时为后面要学习的内容作准备. 通过归纳让学生明确切线的判定定理，同时熟悉文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.并强调判定定理中两个条件缺一不可. 根据前面的学习、探究总结出圆的切线的判定方法，体会前后知识的延续性和关联性. 通过练习进一步巩固切线的判定定理.以抢答的形式提高学生的学习积极性. 让学生明确切线的性质定理和判定定理之间的联系和区别.感受数学的严谨性. 通过例题让学生熟悉利用切线的判定定理解决相关证明题的过程，培养应用意识. 通过随堂训练及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.同时学会常用的添加辅助线的方法. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 切线的性质与判定 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $