30.1.2 圆的切线 第2课时 切线长定理-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦“切线长定理”，以悠悠球转动抽象出圆与切线的位置关系导入，通过回顾过圆上一点作切线的旧知，自然引出过圆外一点作切线的新探究，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此资料亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过折叠操作与推理证明发展数学思维，结合符号语言与文字语言提升数学语言表达，如小组合作作图、分类讨论练习等环节，助力学生养成探究习惯，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

30.1.2 圆的切线 第2课时 切线长定理 课题 切线长定理 课型 新授课 教学内容 教材第37-39页的内容 教学目标 1.理解切线长的定义及切线长定理； 2.学会运用切线长定理进行计算与证明； 3.在运用切线长定理解题的过程中渗透转化、分类讨论的数学思想； 4.让学生经历探究新知的过程，感受数学的对称美，同时在数学活动中获得成功的体验，提高对数学的求知欲. 教学重难点 教学重点：会运用切线长定理进行简单的计算与证明. 教学难点：切线长定理的推理与证明过程. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【观察思考】 【师生活动】教师引导学生观看动图，找出其中蕴含的数学图形以及图形之间的位置关系，引出相切的位置关系，接着回顾过圆上一点如何作圆的切线，为后面过圆外一点作圆的切线作准备. 【问题】你还记得童年时玩的悠悠球吗？在玩悠悠球时是否想过它的转动过程中还包含着数学知识？ 【问题】观察悠悠球转动时的内部结构，从中你能抽象出什么样的数学图形？ 球的整体和中心轴可分别抽象成圆形； 被拉直的线绳可抽象成线段. 【追问】这些图形有怎样的位置关系？ 线绳所在的直线和中心轴所在的圆相切. 【复习回顾】 还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？ 作法： (1)连接OP； (2)过点P作直线l⊥OP， 则直线l即为所作. 【追问】如何过圆外一点如何作已知圆的切线呢？ 2.类比探究，学习新知 【合作探究】 【师生活动】先让学生分组探究，交流思路，然后教师找学生说出作图步骤及原理，最后教师给出完整过程. 【问题】如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作直线与⊙O相切? 小组合作： （1）独立思考，完成作图； （2）两人一组，交流思路，写出作法. 关键：找出以OP为斜边的直角三角形，并且让其直角顶点在⊙O上. 作法： (1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； (2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点； (3)作直线PA，PB，即所求作的切线. 小结：过圆外一点能够作圆的两条切线. 【归纳】 切线长的定义： 把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. 思考：切线长和切线有什么区别？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是圆外一点和切点之间的线段的长，可以度量． 【探究】 【师生活动】先让学生自己动手画图并折叠，通过观察思考给出猜想，过程中教师可适当引导，然后让学生分组探究交流结果，并证明猜想，最后教师给出结论和证明过程. 【问题】在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？ 小组合作： （1）独立操作、思考，猜想结论； （2）两人一组，交流探究，证明猜想. 猜想：PA=PB ∠APO=∠BPO 你能证明你的结论吗？ 证明：如图，连接OA，OB. ∵PA和PB是⊙O 的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌ Rt△BOP. ∴PA=PB, ∠APO=∠BPO. 【归纳】 切线长定理： 文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： ∵PA，PB分别与☉O相切于点A，B， ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 3.学以致用，应用新知 【例】如图，PA，PB是OO的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 解：如图，连接 OA. ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又∠APO=30°，∴ ∠APB=60°， ∴ △PAB是等边三角形.∴ AB=PA=PB. 又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2, ∴ OA=1，PA==. ∴ △PAB的周长为3. 4.随堂训练，巩固新知 （1）已知：⊙O的半径是30 cm，点P与圆心的距离是60 cm，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，求∠APB的大小与PA的长. 解：如图，连接OP，OA. ∵ PA、PB是⊙O的切线， ∴ PA⊥OA，∠OPA=∠OPB， 又 OA=30 cm， OP=60 cm， ∴ 在Rt△ OAP中，∠OAP=90°， OP=2OA ， ∴ ∠OPA=30°， ∠APB=60°， PA= (cm). （2）如图， PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，直线OP交⊙O于Q，D两点，交AB于点C. (1) 写出图中所有的垂直关系； (2) 写出图中所有的全等三角形. 解：(1) OA⊥PA， OB⊥PB， AB⊥OP； (2) △OPA≌△OPB， △AOC≌△BOC ， △APC≌△BPC . （3）已知：PA、PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠APB=60°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，求∠ACB的大小. 解：①如图(1) ，连接 OA， OB. 在四边形PAOB中，PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°， 由四边形的内角和定理知 ∠APB+∠AOB=180°. 又 ∠APB=60°，∴ ∠AOB=120°. 又 ∠ACB=∠AOB ， ∴ ∠ACB=60°. ②如图(2) ，连接 OA、 OB， 作圆周角∠ADB， 由①知：∠AOB=120°， ∴ ∠ADB=∠AOB=60°， ∴ ∠ACB=180°–∠ADB=120°. （4）已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和☉O分别相切于点E，F，G，H. 求证：AB+CD=DA+BC. 证明：∵ AB、BC、CD、DA都与☉O相切，E，F，G，H是切点， ∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即 AB+CD=DA+BC. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）应用切线长定理时，常作的辅助线是什么？？ （3）从圆外一点引两条切线，除了切线长相等，图中还有哪些相等的量或全等的三角形？？ 6.布置作业 教材P154练习第1-2题. 通过熟悉的童年玩具引入新课，提高学生的学习兴趣，并激发对数学知识的探索和求知欲.同时让学生感受到数学和生活的紧密联系. 通过回顾旧知，感知新的知识，体会新旧知识之间的联系. 通过探究、画图等过程，让学生发现：过圆外的一点画圆的切线有两条，培养学生运用已学知识解决问题的能力，同时为后面引出切线长的定义作铺垫. 通过归纳加深学生对切线长的理解，并能区分切线长和切线. 通过操作培养学生的动手能力和观察能力，通过动画演示，让学生形象直观的感受数学的对称美，并通过探究、猜想得出结论，激发学生的求知欲. 通过猜想、证明的过程，发展学生的推理能力，并引出后面的切线长定理. 以填空的形式归纳总结，让学生熟悉切线长定理，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化. 让学生在应用过程中进一步加深对切线长定理的认识和理解，培养学生的应用意识和推理能力. 并在应用过程中渗透转化的数学思想. 通过随堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.在练习3中让学生感受分类讨论的数学思想. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 切线长定理 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $