第2讲函数与导数之含参单调性讨论专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数与导数之含参单调性讨论 高三数学专题复习 · 专题第二讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数解析式中含有参数，求它的单调区间；或者反过来，由单调性的信息确定参数的取值范围。讨论的依据只有一个——导函数的符号： 则递增， 则递减。分类是否需要、分几类、分界在哪里，完全由 的形态决定；因此解题的起点是识别 的形态，而不是急于求导代入。 识别信号总览： 的形态 讨论要点 单元 含恒正（恒负）结构：、、 等 识别恒同号，无需分类 单元一 可解且根含参：、、 根与定义域端点比较大小 单元二 为含参二次三项式 开口、判别式、根与定义域的位置，三级展开 单元三 已知单调性信息（递增/递减/存在单调区间/不单调）反求参数 恒成立、有解、有根三类转化 单元四 单元一 恒同号型 1.1 识别特征 中含有恒为正（或恒为非负）的因子，剩余因子的符号可以直接判定，整个 的符号无需分类即可确定。常见恒正结构：指数函数加正常数 ；二次三项式的配方形式 ；平方与正函数的乘积 （  ）。 1.2 结论与推导 结论 1.1　指数函数值恒为正： 对定义域内一切 成立。因此乘积 的符号与 相同。 推导：指数函数 的图象在 轴上方，函数值恒正；恒正因子不影响乘积的符号。 结论 1.2　平方因子非负：。当方程 在定义域内只有孤立解时，（  ）与 同号，且平方因子的零点不改变函数的单调性。 推导： 显然。 只有孤立解时，除这些点外 ， 在这些点的两侧分别与 同号；导函数只在孤立点处为零，函数两侧的单调性相同，单调区间可以合并书写。例如 的 在 处为零， 仍在 上单调递增。 结论 1.3　乘积的符号按”同号得正、异号得负”逐因子合成；含恒正因子的乘积，符号由其余因子决定。 推导：实数乘法的符号法则，逐因子应用即得。 1.3 方法决策表 的结构 符号判断 ， 定号 ， 与 同号 ， 平方项非负且零点孤立， 与 同号 二次三项式配方为 （  ） 恒正 各因子符号均可直接判定 逐因子定号，按乘法规则合成 恒正（恒负）结构使 的符号在全定义域上固定，单调区间直接写出；平方因子的零点孤立，不影响单调性，只使 在该点为零。 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知函数 ，则 的单调递增区间为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。当 时 ，；当 时 ，； 且零点孤立。故 在 上单调递增。 【答案】B 例 2（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 ●解析 。因 ， 与 同号，按 的符号分类。 （1）当 时， 与 同号： 时 ， 时 。 （2）当 时， 与 异号，乘以 后 与 同号： 时 ，； 时 ，。 综上：无论 还是 ， 都在 上单调递减，在 上单调递增。 【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增。 例 3（解答题） 已知函数 ，求 的单调区间和极值。 ●解析 定义域为 ，。由结论 1.1， 恒成立， 的符号由 决定： 时分子、分母同负，商为正； 时分子负、分母正； 时分子、分母同正。故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；极小值 ，无极大值。 【答案】 在 与 上单调递增，在 上单调递减；极小值为 ，无极大值。 例 4（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 ●解析 定义域为 ，。 时 、，由结论 1.3， 的符号与 相同： 时 在 上单调递增； 时 在 上单调递减； 时 为常函数。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减；当 时， 为常函数。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知函数 （  ），则 的单调区间为（  ） A． 上递减， 上递增　　B． 上递增， 上递减 C． 上递增， 上递减　　D． 上递减， 上递增 ●解析 （  ）。令 得 ，即 ；令 得 。故 在 上单调递增，在 上单调递减。 【答案】C 变 2（单项选择题） 已知函数 （  ），则 在其定义域内的单调性为（  ） A．单调递增　　B．单调递减　　C．先增后减　　D．与 的符号有关 ●解析 。由结论 1.1，；定义域内分母 ，故 的符号与 相同： 时定义域为 ， 单调递增； 时 在 处为零，定义域为 ，两段内均单调递减。故单调性与 的符号有关。 【答案】D 单元二 根与定义域的位置 2.1 识别特征 可以求解，但根中含有参数。定义域通常为 或有限区间，讨论的核心是根是否落在定义域内：根恒在定义域内时不需对参数分类；否则以”根恰在定义域端点”的参数值为分界，分”根在定义域左侧、内部、右侧”讨论。 2.2 结论与推导 结论 2.1（代表值定号）　 在区间 内连续不断且在 内无零点时， 在 上恒同号；任取一个代表值计算符号，即为整个区间上的符号。 推导：若 在 内变号，则存在 使 与 异号，由零点存在定理， 在 内有零点，与 内无零点矛盾。 结论 2.2（分界参数）　根 是否落在定义域内的情形发生变化的参数值，恰是”根恰好落在定义域端点”时的参数值；以这些值为分界将参数分段，每段内按”根在定义域左侧、内部、右侧”分别写出单调区间。 推导：根的表达式随参数连续变动，根从定义域外变到定义域内必经过”恰在端点”的位置，故端点情形是两类情形的分界。 结论 2.3（三类常见形态） 的形态 的根 参数分类 （定义域  ） 根恒正，恒在定义域内，无需分类 （定义域为  ） 时 时 恒成立； 时以 为界 （定义域  ） 时 恒成立； 时以 为界 推导：解方程求出根，再比较根与定义域端点的大小，逐行验证即得。 2.3 方法决策表 的形态 的根 分类依据 （定义域  ） 根恒正，恒在定义域内，不需对参数分类 （定义域  ） 时 时 恒成立； 时根为 （定义域  ） 时 恒成立； 时根在定义域内 上述形态且定义域为有限区间 同上 再比较根与 、 的大小：根在左侧、内部、右侧，三段分别写区间 参数的分界值由”根恰落在定义域端点”解出；每一段内，按 与 的自变量范围写出单调区间。 例题精讲 例 5（单项选择题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性时，下列结论正确的是（  ） A． 时 在 上单调递增 B． 时 在 上单调递减 C． 时 在 上单调递减 D． 时 在 上单调递增 ●解析 ，属结论 2.3 中的形态。 当 时，， 在 上恒成立， 在 上单调递增，A 正确，C 错误。 当 时，令 得 ： 时 ， 时 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，B、D 均错误。 【答案】A 例 6（多项选择题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性时，下列结论正确的是（  ） A． 时 在 上单调递增 B． 时 在 上单调递增 C． 时 在 上单调递增 D． 时 单调性无法确定 ●解析 定义域为 ，， 时 的符号由 决定。 当 时，，， 在 上单调递增，A 正确，D 错误。 当 时，令 得 ： 时 ， 时 。故 在 上单调递增，在 上单调递减，B 正确，C 错误。 【答案】AB 例 7（解答题） 已知函数 （  ），求 的单调区间。 ●解析 定义域由 确定： 时为 ； 时为 。 ，定义域内 ， 的符号由 决定，零点为 。 （1）当 时，零点与定义域左端点之差 ，根恒在定义域内（结论 2.2），无需对 细分： 时 ， 时 。故 在 上单调递增，在 上单调递减。 （2）当 时，定义域为 ，零点 与定义域上界 之差为 ，零点在定义域右侧，定义域内无零点。由结论 2.1 取代表值 （ ，在定义域内）：，故定义域内 恒成立， 在 上单调递减。 【答案】当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减。 例 8（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 ●解析 定义域为 ，。 时 ， 的符号由 决定。 （1）当 时， 在 内恒成立，， 在 上单调递增。 （2）当 时，令 得 ： 时 ； 时 。故 在 上单调递减，在 上单调递增。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式训练 变 3（解答题） 已知函数 （  为常数），讨论 的单调性。 ●解析 定义域为 ，， 时分母恒正， 的符号由 决定，零点为 ，分界参数为 （此时零点恰落在定义域端点，结论 2.2）。 （1）当 时， 恒成立，， 在 上单调递增。 （2）当 时， 时 ， 时 。故 在 上单调递减，在 上单调递增。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变 4（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 ●解析 ，分界参数为 。 （1）当 时，， 恒成立， 在 上单调递减。 （2）当 时，令 得 ，即 ： 时 ， 时 。故 在 上单调递减，在 上单调递增。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变 5（单项选择题） 已知函数 （  ），则 的单调区间结论正确的是（  ） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 C．当 时， 在 上单调递减 D．当 时， 在 上单调递减 ●解析 定义域为 ，，零点为 与 ，与定义域的位置分两种情形。 当 时， 在定义域内， 在定义域外： 时 ， 时 。A、D 均错误。 当 时， 在定义域内， 在定义域外： 时 ， 时 。B 正确，C 错误。 【答案】B 单元三 二次型导函数 3.1 识别特征 是含参数的二次三项式（或可化为二次），参数可能出现在二次项系数、一次项系数或常数项。讨论按三级展开，前一级的结论决定后一级是否需要讨论。 3.2 结论与推导 结论 3.1（三级讨论次序）　二次型导函数按”开口方向、判别式、根与定义域的位置”三级展开；前一级的结论决定后一级是否需要讨论。 推导：开口方向确定 的总趋势，判别式确定零点是否存在，根的位置确定零点落在定义域的哪一侧；三者依次细化符号分布，顺序不能颠倒。 结论 3.2（退化情形）　二次项系数含参数时，先讨论系数为零：此时 退化为一次函数（若一次项系数也为零，则为常函数），符号以一次函数的零点为界，两侧一正一负（由一次项系数的符号决定），直接写出符号分布。 推导：一次函数在一个零点的两侧分别取正值与负值；常函数的符号恒定。 结论 3.3（判别式分界）　 时，二次三项式恒与二次项系数同号（  时除孤立零点外处处如此）； 时有两个零点，按根与定义域的位置继续讨论。 推导： 时抛物线与 轴至多一个公共点，函数值全部在开口方向一侧； 时零点孤立，由结论 1.2 它不影响单调性。 结论 3.4（根可求与不可求）　两根能直接求出时，比较两根与定义域端点的大小，按位置写区间；两根不易求出时， 在区间上的符号由开口方向、判别式与区间端点处的函数值共同确定。 推导：二次函数在两根之外与开口方向同号，在两根之间异号；区间端点处的函数值符号结合图象的连续性，可以定出区间内部有无零点。 3.3 方法决策表 讨论层级 分类依据 分类内容 第一级：开口 二次项系数是否含参 系数含参时先分”系数为零（退化为一次）“与”不为零”；不为零再分正、负 第二级：判别式 与 的大小 时 恒同号（配合开口方向）； 时有两根 第三级：根的位置 两根与定义域端点 两根都在定义域外、一根在内、两根在内，分别写单调区间 两根可以直接求出时，比较根与端点的大小；两根不易求出或比较繁琐时， 在区间上的符号由开口方向、判别式与区间端点处的函数值共同确定。 例题精讲 例 9（单项选择题） 已知函数 ，则 的单调性为（  ） A．在 上单调递增　　B．在 上单调递减 C．单调性与 有关　　D．在 上单调递减 ●解析 ，配方后按结论 1.2 以 的符号判断。 当 时， 恒成立且零点孤立， 在 上单调递增；当 时， 有两根 ， 在两根之外单调递增，在两根之间单调递减。故单调性与 有关。 【答案】C 例 10（解答题） 已知函数 ，讨论 的单调性。 ●解析 定义域为 ，， 时 的符号由 决定，判别式 。按结论 3.3 以 与 的大小分类，再比较根与定义域的位置（结论 3.1）。 （1）当 时，，开口向上， 恒成立，， 在 上单调递增。 （2）当 时，， 的两根 与 之积为 、之和为 ，均为正；由积为 知两根一个小于 、一个大于 ，即 。故 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 （3）当 时，，两根之积为 、之和为 ，两根均为负，都在定义域外； 恒成立， 在 上单调递增。 综上：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 变式训练 变 6（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 ●解析 定义域为 ，， 时符号由 决定，判别式 ，按结论 3.3 分类。 （1）当 时，，开口向上， 恒成立， 在 上单调递增。 （2）当 时，， 且零点孤立（结论 1.2）， 在 上单调递增。 （3）当 时，， 的两根为 ，两根之积为 、之和为 ，均大于零： 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 变 7（单项选择题） 已知函数 （  ），则下列说法正确的是（  ） A．若 ， 在 上单调递增 B． 在 上一定不单调 C．若 ， 在 上单调 D． 的单调性与 、 都无关 ●解析 ，逐项检验。 A： 且 时 有两根， 先增后减再增，不单调，A 错误。 B：取 ，，则 且零点孤立， 在 上单调递增，B 错误。 C： 时 。 时 且零点孤立， 在 上单调递增； 时 且零点孤立， 在 上单调递减。两情形都在 上单调，C 正确。 D：由 C 知 的单调性与 、 都有关，D 错误。 【答案】C 变 8（解答题） 已知函数 ，讨论 的单调性（  ）。 ●解析 定义域为 ，， 时 的符号由 决定，两根为 与 ，按结论 3.4 比较两根大小。 （1）当 时，两根重合， 且零点孤立， 在 上单调递增。 （2）当 时，： 时两因子同负，； 时一负一正，； 时两因子同正，。 （3）当 时，： 时 ； 时 ； 时 。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 与 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 单元四 由单调性反求参数 4.1 识别特征 已知 的单调性信息求参数的取值范围，信息有三种表述：在区间 上单调递增（递减）；在区间 上存在单调递增（递减）区间；在区间 上不单调。三种表述对应的参数条件不同。 4.2 结论与推导 结论 4.1（单调等价于恒成立）　 在区间 上单调递增（递减）时，（  ）在 上恒成立；反之，（  ）在 上恒成立且 的零点孤立时， 在 上单调递增（递减）。 推导：由导数与单调性的关系， 保证 在 上不减； 的零点孤立时，零点两侧函数严格变化且方向相同（如 在 上单调递增，但  ），故 严格单调。反之，若 在某个子区间内恒为零，则 在该子区间内为常函数，不单调。 结论 4.2（存在单调区间等价于有解）　 在区间 内存在单调递增（递减）区间 （  ）在 内有解。 推导：若存在单调递增子区间，由结论 4.1 该子区间内 且不恒为零，即 有解。反之， 且 连续不断时，在 附近 成立，这段附近就是单调递增区间。 结论 4.3（不单调与变号零点）　 的零点均为孤立零点时（如二次型）， 在区间 上不单调 在 内有根，且 在根的两侧变号。若 在某个子区间内恒为零，则 在该子区间上呈”平台”状，也不单调，但没有变号零点。 推导：零点孤立时， 在 上单调当且仅当 在 内不变号（结论 4.1）；不单调即增减方向发生改变，改变处必有 且两侧符号相反。仅有不变号零点（如 在 处）不破坏单调性。 结论 4.4（复合函数的单调性）　外层函数单调时，复合函数 的单调性由内层 决定：外层递增时与 相同，外层递减时与 相反（同增异减）。 推导：设 ，若 递增则 ，经外层 递增传递仍为小于，经外层递减传递变为大于。 4.3 方法决策表 已知信息 转化 在区间 上单调递增（递减） （  ）在 上恒成立 在区间 上存在单调递增（递减）区间 （  ）在 内有解 在区间 上不单调 在 内有根，且 在 内变号（零点孤立的情形，见结论 4.3） “单调”与”不单调”是一对互补条件：在 上单调要求 在 内不变号，零点孤立的情形下不单调则要求 在 内变号。对二次型 ，“有根”即判别式与根的位置条件；等号能否取到，依据是 的零点是否孤立。 例题精讲 例 11（单项选择题） 已知函数 （  ）在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 存在单调递减区间等价于 在 内有解（结论 4.2）。， 时 ， 即 。记 ，（  ）， 在 上单调递增；当 从右侧趋近于 时 趋近于 且取不到，故 的取值范围是 。于是存在解等价于 ，得 ，即 。 【答案】B 例 12（填空题） 若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是________。 ●解析 （  ）， 关于 单调递增。在 上不单调等价于 在 内有变号根（结论 4.3）。令 得 ，根落在 内部等价于 ，取对数得 ，即 （  或 时根恰落在区间端点 或 处， 在 内不变号， 仍单调，应排除）。 【答案】 例 13（单项选择题） 若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 外层函数 关于 单调递减，由结论 4.4， 在 上单调递减等价于内层 在 上单调递增。 在 上的最小值为 ，故等价于 ，即 。 【答案】B 例 14（单项选择题） 已知函数 在其定义域内单调递增，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 定义域为 ，。 在 上单调递增等价于 恒成立（结论 4.1），即 恒成立。记 ，： 时 ， 时 ， 的最大值为 。故 。 【答案】A 例 15（单项选择题） 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。由结论 1.1，， 在 上单调递减等价于 对任意 成立。二次函数 开口向上，零点为 与 ，该不等式的解集为 ，故条件即 ，得 ，即 。 【答案】B 例 16（填空题） 已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为________。 ●解析 。 在 上单调递增等价于 恒成立（结论 4.1），即 在 上恒成立。记 （  ），， 单调递减，最大值为 。故 。 【答案】 例 17（单项选择题） 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 外层函数 关于 单调递增，由结论 4.4， 的单调性与内层 相同。 在 上单调递增等价于 在 上恒成立，即 恒成立； 在 上的最小值为 ，故 。 【答案】A 例 18（填空题） 若函数 （  ）在 上单调递增，则实数 的取值范围是________。 ●解析 。由结论 1.1 与结论 4.1， 在 上单调递增等价于 对一切实数 成立。该二次函数开口向上，故判别式 ，即 。此时 且零点孤立，符合题意。 【答案】 变式训练 变 9（填空题） 已知函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为________。 ●解析 “存在单调递增区间”即 在 内有解（结论 4.2）。， 时等价于 在 内有解。记 （  ），令 ，则 在 上单调递减，最大值为 ； 时 取不到比 更大的值，应排除等号。故 。 【答案】 变 10（解答题） 已知函数 （  ），若 在 处取得极值，求实数 的值，并求此时 的单调区间。 ●解析 。由 得 ，即 。此时 。记 （  ），则 ， 在 上单调递增；又 ，由结论 2.1， 时 ， 时 。 【答案】； 在 上单调递减，在 上单调递增。 变 11（单项选择题） 已知函数 （  ）在 上单调递增，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 时 ，， 在 上单调递增等价于 恒成立（结论 4.1），即 恒成立。记 （  ），， 单调递增；当 从右侧趋近于 时 趋近于 且取不到，故 恒成立。条件等价于 ，即 ，得 ，。 【答案】C 变 12（单项选择题） 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。 在 上单调递增等价于 在 上恒成立（结论 4.1），即 在 上恒成立。 在 上单调递减，当 从右侧趋近于 时趋近于 且取不到，故恒成立等价于 。 【答案】A 变 13（单项选择题） 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 或 ●解析 外层函数 关于 单调递增，由结论 4.4， 在 上单调递减等价于内层 在 上单调递减，即 在 上恒成立，即 恒成立； 在 内的值都小于 ，但当 从左侧趋近于 时可以任意接近 ，故 。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数之含参单调性讨论 高三数学专题复习 · 专题第二讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数解析式中含有参数，求它的单调区间；或者反过来，由单调性的信息确定参数的取值范围。讨论的依据只有一个——导函数的符号： 则递增， 则递减。分类是否需要、分几类、分界在哪里，完全由 的形态决定；因此解题的起点是识别 的形态，而不是急于求导代入。 识别信号总览： 的形态 讨论要点 单元 含恒正（恒负）结构：、、 等 识别恒同号，无需分类 单元一 可解且根含参：、、 根与定义域端点比较大小 单元二 为含参二次三项式 开口、判别式、根与定义域的位置，三级展开 单元三 已知单调性信息（递增/递减/存在单调区间/不单调）反求参数 恒成立、有解、有根三类转化 单元四 单元一 恒同号型 1.1 识别特征 中含有恒为正（或恒为非负）的因子，剩余因子的符号可以直接判定，整个 的符号无需分类即可确定。常见恒正结构：指数函数加正常数 ；二次三项式的配方形式 ；平方与正函数的乘积 （  ）。 1.2 结论与推导 结论 1.1　指数函数值恒为正： 对定义域内一切 成立。因此乘积 的符号与 相同。 推导：指数函数 的图象在 轴上方，函数值恒正；恒正因子不影响乘积的符号。 结论 1.2　平方因子非负：。当方程 在定义域内只有孤立解时，（  ）与 同号，且平方因子的零点不改变函数的单调性。 推导： 显然。 只有孤立解时，除这些点外 ， 在这些点的两侧分别与 同号；导函数只在孤立点处为零，函数两侧的单调性相同，单调区间可以合并书写。例如 的 在 处为零， 仍在 上单调递增。 结论 1.3　乘积的符号按”同号得正、异号得负”逐因子合成；含恒正因子的乘积，符号由其余因子决定。 推导：实数乘法的符号法则，逐因子应用即得。 1.3 方法决策表 的结构 符号判断 ， 定号 ， 与 同号 ， 平方项非负且零点孤立， 与 同号 二次三项式配方为 （  ） 恒正 各因子符号均可直接判定 逐因子定号，按乘法规则合成 恒正（恒负）结构使 的符号在全定义域上固定，单调区间直接写出；平方因子的零点孤立，不影响单调性，只使 在该点为零。 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知函数 ，则 的单调递增区间为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。当 时 ，；当 时 ，； 且零点孤立。故 在 上单调递增。 例 2（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 ●解析 。因 ， 与 同号，按 的符号分类。 （1）当 时， 与 同号： 时 ， 时 。 （2）当 时， 与 异号，乘以 后 与 同号： 时 ，； 时 ，。 综上：无论 还是 ， 都在 上单调递减，在 上单调递增。 例 3（解答题） 已知函数 ，求 的单调区间和极值。 ●解析 定义域为 ，。由结论 1.1， 恒成立， 的符号由 决定： 时分子、分母同负，商为正； 时分子负、分母正； 时分子、分母同正。故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；极小值 ，无极大值。 例 4（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 ●解析 定义域为 ，。 时 、，由结论 1.3， 的符号与 相同： 时 在 上单调递增； 时 在 上单调递减； 时 为常函数。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知函数 （  ），则 的单调区间为（  ） A． 上递减， 上递增　　B． 上递增， 上递减 C． 上递增， 上递减　　D． 上递减， 上递增 变 2（单项选择题） 已知函数 （  ），则 在其定义域内的单调性为（  ） A．单调递增　　B．单调递减　　C．先增后减　　D．与 的符号有关 单元二 根与定义域的位置 2.1 识别特征 可以求解，但根中含有参数。定义域通常为 或有限区间，讨论的核心是根是否落在定义域内：根恒在定义域内时不需对参数分类；否则以”根恰在定义域端点”的参数值为分界，分”根在定义域左侧、内部、右侧”讨论。 2.2 结论与推导 结论 2.1（代表值定号）　 在区间 内连续不断且在 内无零点时， 在 上恒同号；任取一个代表值计算符号，即为整个区间上的符号。 推导：若 在 内变号，则存在 使 与 异号，由零点存在定理， 在 内有零点，与 内无零点矛盾。 结论 2.2（分界参数）　根 是否落在定义域内的情形发生变化的参数值，恰是”根恰好落在定义域端点”时的参数值；以这些值为分界将参数分段，每段内按”根在定义域左侧、内部、右侧”分别写出单调区间。 推导：根的表达式随参数连续变动，根从定义域外变到定义域内必经过”恰在端点”的位置，故端点情形是两类情形的分界。 结论 2.3（三类常见形态） 的形态 的根 参数分类 （定义域  ） 根恒正，恒在定义域内，无需分类 （定义域为  ） 时 时 恒成立； 时以 为界 （定义域  ） 时 恒成立； 时以 为界 推导：解方程求出根，再比较根与定义域端点的大小，逐行验证即得。 2.3 方法决策表 的形态 的根 分类依据 （定义域  ） 根恒正，恒在定义域内，不需对参数分类 （定义域  ） 时 时 恒成立； 时根为 （定义域  ） 时 恒成立； 时根在定义域内 上述形态且定义域为有限区间 同上 再比较根与 、 的大小：根在左侧、内部、右侧，三段分别写区间 参数的分界值由”根恰落在定义域端点”解出；每一段内，按 与 的自变量范围写出单调区间。 例题精讲 例 5（单项选择题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性时，下列结论正确的是（  ） A． 时 在 上单调递增 B． 时 在 上单调递减 C． 时 在 上单调递减 D． 时 在 上单调递增 ●解析 ，属结论 2.3 中的形态。 当 时，， 在 上恒成立， 在 上单调递增，A 正确，C 错误。 当 时，令 得 ： 时 ， 时 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，B、D 均错误。 例 6（多项选择题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性时，下列结论正确的是（  ） A． 时 在 上单调递增 B． 时 在 上单调递增 C． 时 在 上单调递增 D． 时 单调性无法确定 ●解析 定义域为 ，， 时 的符号由 决定。 当 时，，， 在 上单调递增，A 正确，D 错误。 当 时，令 得 ： 时 ， 时 。故 在 上单调递增，在 上单调递减，B 正确，C 错误。 例 7（解答题） 已知函数 （  ），求 的单调区间。 ●解析 定义域由 确定： 时为 ； 时为 。 ，定义域内 ， 的符号由 决定，零点为 。 （1）当 时，零点与定义域左端点之差 ，根恒在定义域内（结论 2.2），无需对 细分： 时 ， 时 。故 在 上单调递增，在 上单调递减。 （2）当 时，定义域为 ，零点 与定义域上界 之差为 ，零点在定义域右侧，定义域内无零点。由结论 2.1 取代表值 （ ，在定义域内）：，故定义域内 恒成立， 在 上单调递减。 例 8（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 ●解析 定义域为 ，。 时 ， 的符号由 决定。 （1）当 时， 在 内恒成立，， 在 上单调递增。 （2）当 时，令 得 ： 时 ； 时 。故 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式训练 变 3（解答题） 已知函数 （  为常数），讨论 的单调性。 变 4（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 变 5（单项选择题） 已知函数 （  ），则 的单调区间结论正确的是（  ） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 C．当 时， 在 上单调递减 D．当 时， 在 上单调递减 单元三 二次型导函数 3.1 识别特征 是含参数的二次三项式（或可化为二次），参数可能出现在二次项系数、一次项系数或常数项。讨论按三级展开，前一级的结论决定后一级是否需要讨论。 3.2 结论与推导 结论 3.1（三级讨论次序）　二次型导函数按”开口方向、判别式、根与定义域的位置”三级展开；前一级的结论决定后一级是否需要讨论。 推导：开口方向确定 的总趋势，判别式确定零点是否存在，根的位置确定零点落在定义域的哪一侧；三者依次细化符号分布，顺序不能颠倒。 结论 3.2（退化情形）　二次项系数含参数时，先讨论系数为零：此时 退化为一次函数（若一次项系数也为零，则为常函数），符号以一次函数的零点为界，两侧一正一负（由一次项系数的符号决定），直接写出符号分布。 推导：一次函数在一个零点的两侧分别取正值与负值；常函数的符号恒定。 结论 3.3（判别式分界）　 时，二次三项式恒与二次项系数同号（  时除孤立零点外处处如此）； 时有两个零点，按根与定义域的位置继续讨论。 推导： 时抛物线与 轴至多一个公共点，函数值全部在开口方向一侧； 时零点孤立，由结论 1.2 它不影响单调性。 结论 3.4（根可求与不可求）　两根能直接求出时，比较两根与定义域端点的大小，按位置写区间；两根不易求出时， 在区间上的符号由开口方向、判别式与区间端点处的函数值共同确定。 推导：二次函数在两根之外与开口方向同号，在两根之间异号；区间端点处的函数值符号结合图象的连续性，可以定出区间内部有无零点。 3.3 方法决策表 讨论层级 分类依据 分类内容 第一级：开口 二次项系数是否含参 系数含参时先分”系数为零（退化为一次）“与”不为零”；不为零再分正、负 第二级：判别式 与 的大小 时 恒同号（配合开口方向）； 时有两根 第三级：根的位置 两根与定义域端点 两根都在定义域外、一根在内、两根在内，分别写单调区间 两根可以直接求出时，比较根与端点的大小；两根不易求出或比较繁琐时， 在区间上的符号由开口方向、判别式与区间端点处的函数值共同确定。 例题精讲 例 9（单项选择题） 已知函数 ，则 的单调性为（  ） A．在 上单调递增　　B．在 上单调递减 C．单调性与 有关　　D．在 上单调递减 ●解析 ，配方后按结论 1.2 以 的符号判断。 当 时， 恒成立且零点孤立， 在 上单调递增；当 时， 有两根 ， 在两根之外单调递增，在两根之间单调递减。故单调性与 有关。 例 10（解答题） 已知函数 ，讨论 的单调性。 ●解析 定义域为 ，， 时 的符号由 决定，判别式 。按结论 3.3 以 与 的大小分类，再比较根与定义域的位置（结论 3.1）。 （1）当 时，，开口向上， 恒成立，， 在 上单调递增。 （2）当 时，， 的两根 与 之积为 、之和为 ，均为正；由积为 知两根一个小于 、一个大于 ，即 。故 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 （3）当 时，，两根之积为 、之和为 ，两根均为负，都在定义域外； 恒成立， 在 上单调递增。 综上：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 变式训练 变 6（解答题） 已知函数 （  ），讨论 的单调性。 变 7（单项选择题） 已知函数 （  ），则下列说法正确的是（  ） A．若 ， 在 上单调递增 B． 在 上一定不单调 C．若 ， 在 上单调 D． 的单调性与 、 都无关 变 8（解答题） 已知函数 ，讨论 的单调性（  ）。 单元四 由单调性反求参数 4.1 识别特征 已知 的单调性信息求参数的取值范围，信息有三种表述：在区间 上单调递增（递减）；在区间 上存在单调递增（递减）区间；在区间 上不单调。三种表述对应的参数条件不同。 4.2 结论与推导 结论 4.1（单调等价于恒成立）　 在区间 上单调递增（递减）时，（  ）在 上恒成立；反之，（  ）在 上恒成立且 的零点孤立时， 在 上单调递增（递减）。 推导：由导数与单调性的关系， 保证 在 上不减； 的零点孤立时，零点两侧函数严格变化且方向相同（如 在 上单调递增，但  ），故 严格单调。反之，若 在某个子区间内恒为零，则 在该子区间内为常函数，不单调。 结论 4.2（存在单调区间等价于有解）　 在区间 内存在单调递增（递减）区间 （  ）在 内有解。 推导：若存在单调递增子区间，由结论 4.1 该子区间内 且不恒为零，即 有解。反之， 且 连续不断时，在 附近 成立，这段附近就是单调递增区间。 结论 4.3（不单调与变号零点）　 的零点均为孤立零点时（如二次型）， 在区间 上不单调 在 内有根，且 在根的两侧变号。若 在某个子区间内恒为零，则 在该子区间上呈”平台”状，也不单调，但没有变号零点。 推导：零点孤立时， 在 上单调当且仅当 在 内不变号（结论 4.1）；不单调即增减方向发生改变，改变处必有 且两侧符号相反。仅有不变号零点（如 在 处）不破坏单调性。 结论 4.4（复合函数的单调性）　外层函数单调时，复合函数 的单调性由内层 决定：外层递增时与 相同，外层递减时与 相反（同增异减）。 推导：设 ，若 递增则 ，经外层 递增传递仍为小于，经外层递减传递变为大于。 4.3 方法决策表 已知信息 转化 在区间 上单调递增（递减） （  ）在 上恒成立 在区间 上存在单调递增（递减）区间 （  ）在 内有解 在区间 上不单调 在 内有根，且 在 内变号（零点孤立的情形，见结论 4.3） “单调”与”不单调”是一对互补条件：在 上单调要求 在 内不变号，零点孤立的情形下不单调则要求 在 内变号。对二次型 ，“有根”即判别式与根的位置条件；等号能否取到，依据是 的零点是否孤立。 例题精讲 例 11（单项选择题） 已知函数 （  ）在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 存在单调递减区间等价于 在 内有解（结论 4.2）。， 时 ， 即 。记 ，（  ）， 在 上单调递增；当 从右侧趋近于 时 趋近于 且取不到，故 的取值范围是 。于是存在解等价于 ，得 ，即 。 例 12（填空题） 若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是________。 ●解析 （  ）， 关于 单调递增。在 上不单调等价于 在 内有变号根（结论 4.3）。令 得 ，根落在 内部等价于 ，取对数得 ，即 （  或 时根恰落在区间端点 或 处， 在 内不变号， 仍单调，应排除）。 例 13（单项选择题） 若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 外层函数 关于 单调递减，由结论 4.4， 在 上单调递减等价于内层 在 上单调递增。 在 上的最小值为 ，故等价于 ，即 。 例 14（单项选择题） 已知函数 在其定义域内单调递增，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 定义域为 ，。 在 上单调递增等价于 恒成立（结论 4.1），即 恒成立。记 ，： 时 ， 时 ， 的最大值为 。故 。 例 15（单项选择题） 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。由结论 1.1，， 在 上单调递减等价于 对任意 成立。二次函数 开口向上，零点为 与 ，该不等式的解集为 ，故条件即 ，得 ，即 。 例 16（填空题） 已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为________。 ●解析 。 在 上单调递增等价于 恒成立（结论 4.1），即 在 上恒成立。记 （  ），， 单调递减，最大值为 。故 。 例 17（单项选择题） 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 外层函数 关于 单调递增，由结论 4.4， 的单调性与内层 相同。 在 上单调递增等价于 在 上恒成立，即 恒成立； 在 上的最小值为 ，故 。 例 18（填空题） 若函数 （  ）在 上单调递增，则实数 的取值范围是________。 ●解析 。由结论 1.1 与结论 4.1， 在 上单调递增等价于 对一切实数 成立。该二次函数开口向上，故判别式 ，即 。此时 且零点孤立，符合题意。 变式训练 变 9（填空题） 已知函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为________。 变 10（解答题） 已知函数 （  ），若 在 处取得极值，求实数 的值，并求此时 的单调区间。 变 11（单项选择题） 已知函数 （  ）在 上单调递增，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 12（单项选择题） 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 13（单项选择题） 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 或 学科网（北京）股份有限公司 $