第7讲 截面、折叠与动点 专项训练-2027届高三数学一轮复习

截面、折叠与动点 立体几何 · 专题篇 作截面 用平面去切一个几何体，切出来的那个多边形叫截面。截面的边是平面与几何体各个面的交线，所以找截面就是找交线：平面与哪个面相交，就在那个面上画一条线。 最省事的两种情况。一是平面与一组平行的面相交，两条交线一定平行 ——正方体、长方体、棱柱的上下底面平行，平面切过去，在上面和下面留下的两条线就是平行的，这常常直接告诉我们截面的对边平行。二是平面与同一个平面内的两条线相交，用「同平面内两直线相交」把它们接起来。把这两条用足，截面的形状就定下来了。 还有一类题不给平面，只给动点满足的一个等式。这类等式多半是「两边项数相同的平方和相等」，比如 。把它展开，二次项会成对抵消，剩下的是一次方程 ——这就是截面所在平面的方程。再把四个顶点关于这个平面分分类，看平面从哪几条棱穿过去，穿过的点就是截面的顶点。 截面定下来之后，算量就是平面几何的事了。判断形状看边长与对角关系：对边平行是平行四边形，再加一个直角是矩形，再加邻边相等是菱形。算面积可以把它拆成几个三角形分别求和，也可以先求一条对角线，再乘上两条平行边之间的距离。 截面把几何体分成两块时，体积比往往比面积好算。先把截面的各个顶点在棱上的位置定出来，再用「棱台」「锥体」的体积公式分别算，或者用割补法。正方体被一个平面切出的两块，常有一块是棱台，公式里那个平方根不要漏。 两处容易错。一是把「轴截面」当成普通的截面 ——轴截面是描述旋转体的固定说法（圆锥的轴截面就是过轴的那个等腰三角形），它不涉及「用平面去切」的作图过程。二是只找到部分交线就下结论，截面其实还没画完，漏掉一条边形状就判错了。 例1（多选·★★★☆☆） 已知正四面体的棱长为2，点在棱上（不含端点），过点作平行于和的截面，则下列结论正确的有（ ） A. 截面面积的最大值为1 B. 当点为中点时，三棱锥内切球的半径为 C. 直线与平面所成角为 D. 异面直线与所成角的取值范围 【切入点】截面要平行于两条异面直线 与 ，那就过定点分别作它们的平行线，再看这两条线各自在哪个面上、与棱交在哪里。 A 项：【关键】过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，则截面是四边形 。正四面体的对棱互相垂直，故 ，于是 ，截面是矩形。设 ，则 、，面积 ，A 对。 B 项：当 为 中点时，，四个面的面积分别为 、、、，表面积 ，由 得 ，B 对。 C 项： 与截面所成角的正弦为 ，即 而不是 ，C 错。 D 项：把 与 的数量积写成位置参数 的函数，可得所成角随 从 变到 时，取值范围为 ，D 对。 故选 ABD。 【易错】一是没有先说明 ，就不知道截面是矩形，面积式会写错。二是求内切球半径时直接用 却没验证公式，这一步要用等体积法当场推一遍。三是把线面角与线线角混起来。 【答案】ABD 变式1-1（多选·★★★☆☆） 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 【切入点】过 、、 的平面与长方体的两组平行面相截，交线必然平行，截面先判成平行四边形；再设 把面积写成 的函数。 A 项：【关键】A 项：平面 平面 ，平面 与它们分别交于 、，故 ；同理 ，截面是平行四边形，A 对。 B 项：当 时，把截面下方的部分拆成三个棱锥，算得 ，而长方体体积为 ，故 ，比值为 ，B 错。 C 项：设 （），由 得 ，解得 或 ，与 矛盾，C 错。 D 项：截面面积为 ，它在 处取最小值 ，D 对。 故选 AD。 【易错】一是没有先说明两组平行面，截面是平行四边形这一步缺依据。二是算体积比时把「上方」与「下方」搞反。三是 D 项只算端点，根号内二次式的最小值在 处取到。 【答案】AD 变式1-2（多选·★★★☆☆） 如图，在棱长为1的正方体中，，过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面记为S，若三棱锥的外接球球心，则（ ） A. B. S为五边形 C. S的面积为 D. S分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为 【切入点】 是 中点、 在 上，但 的位置由「球心落在截面上」反算。先把球心写出来，再让它与截面的法向量垂直。 A 项：【关键】以 为原点建系。由 得 ；由 得 。三棱锥 - 的外接球就是棱长 、、 的长方体的外接球，球心 。平面 的法向量为 ，由 得 ，解得 ，A 对。 B 项：此时 是 中点，，截面是等腰梯形 ，B 错。 C 项：两底 、，高为 ，面积为 ，C 对。 故选 AC。 【易错】一是忘了 的位置要先由球心条件反算。二是判断截面形状时只看到 就说平行四边形，还要看另一组对边不平行。三是梯形面积公式里用了斜边长而不是高。 【答案】AC 例2（多选·★★★★☆） 已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（ ） A. 球的表面积为 B. 当四面体体积最大时， C. 当时，的最大值为 D. 当时，的最小值为 【切入点】四条棱分成两组相等，先看底面 与侧面 是不是直角三角形 ——直角一出现，外接球的球心立刻可以定。 A 项：【关键】由 、 得 、，故 、，于是 的中点是四面体的外接球心 ，半径 ，表面积 ，A 对。 B 项：当 平面 时体积最大，此时 ，表面积 ，，由 得 ，而 ，B 错。 当 时，过 的截面随平面转动而变，其中 的面积最大为 ，最小则由 到棱的距离决定，为 。 C 项：把截面绕定直线 转动，当它同时过 与 的中点时面积取到最大值 ，C 对。 D 项：同一转动过程中，当截面垂直于 时面积取到最小值 ，D 对。 故选 ACD。 【易错】一是没有看出两个直角，外接球心就定不下来。二是把 当成内切球半径 ，四边形 是正方形，。三是截面面积的最值只算了一个方向，过定直线的截面要转动着看。 【答案】ACD 变式2-1（单选·★★★☆☆） 若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】过顶点的截面是等腰三角形，腰长固定（就是母线），只有顶角在变，所以面积是顶角的正弦乘以一个常数。 【关键】侧面展开图的半径为 、圆心角为 ，故弧长为 ，底面直径 。轴截面的两腰为 、底为 ，顶角 满足 ，故 。于是过顶点的截面的顶角能取到 ，此时面积 。故选 D。 【易错】一是直接取轴截面的面积当最大值。二是没有验证轴截面顶角大于 ——若轴截面顶角很小， 的最大值就取不到 。三是把展开图的「半径」当成底面半径。 【答案】D 例3（填空·★★★☆☆） 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 【切入点】条件 两边各有两项，展开之后二次项会成对抵消，剩下的是一次方程。 【关键】把正四面体嵌进正方体里，取 、、、，此时每条棱长都是 。设 ，则 ，。两者相等即得 ，所以所有满足条件的点构成平面 。它与四条棱的交点分别是 、、、，构成一个正方形，两条对角线都是 ，面积为 。 【易错】一是把平方和当成二次式就放弃，没有意识到两边项数相同、二次项会抵消。二是定点坐标选得不方便，嵌进正方体是最省事的取法。三是求出平面后没有回到图上找交点，直接写个方程就交卷。 【答案】 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【切入点】与例 3 完全同型：把正四面体补成正方体，再让平方和相等。 【关键】正四面体棱长 ，补成棱长为 的正方体，取 、、、。设 ，由 展开得 。平面 与四条棱的交点分别是 、、、，构成正方形，边长 ，周长为 。故选 C。 【易错】一是补正方体时棱长算错，正四面体棱长 对应正方体棱长 。二是算出 之后忘了回到四条棱上找交点。三是把周长当成面积。 【答案】C 动点的轨迹 动点题的路径是固定的三步：先把条件翻译成一个几何对象，再把它与几何体的表面求交，最后在平面图形里量长度。 第一步的「翻译」只有四种基本款。到定点的距离等于定值，轨迹是球面；与一条定直线所成的角等于定值，轨迹是圆锥面；对一条定线段张成的角是直角，轨迹是以这条线段为直径的球面；到两个定点的距离之比等于定值，轨迹是阿波罗尼斯球面。这四种都是「空间里的一张曲面」，所以翻译之后问题就从「求轨迹」变成了「求交线」。 第二步是求交。曲面与几何体的某个面相交，得到的当然是平面图形：球面与该平面相交得圆，圆锥面与该平面相交得圆或双曲线的一支（高中阶段通常给出的是圆）。所以要先算「球心（或顶点）到这个面的距离」，再用勾股定理求出交线圆的半径。 第三步才是量长度。交线圆常常被这个面本身截断（比如被三角形的三条边截掉几段），这时要数清楚「每一侧截去多少圆心角」。正三角形每个角截去 （当圆心到边的距离恰为半径的 倍时）或 ，于是剩下的圆心角是 减去三倍的那一个角。 反过来说，如果算出来的圆整个都在面内，就不需要截断，直接取圆周长。判断的标准是：圆心到各条边的距离都不小于圆的半径。字节精准教育联盟-14 就是最漂亮的一个例子 ——圆的半径恰好等于中心到边的距离，圆正好内切于三角形，所以交线就是整个圆。 两处容易错。一是把「轨迹」当成一条线，忘了它在几何体的表面上还要再被截一次。二是算完圆的半径就直接乘 ，没有检查圆有没有被面的边界截掉。 例4（单选·★★★☆☆） 已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是定值，而 垂直于底面，所以 是直角三角形， 也是定值 —— 轨迹就是圆。 【关键】由 平面 得 。在直角三角形 中，。所以点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆在正方形 内的部分。正方形的内角为 ，故轨迹长度为 。故选 C。 【易错】一是没有先说明 是直角三角形。二是把「圆的四分之一」算成半个或整个圆 —— 是正方形的一个顶点，圆只落在正方形的内角里。三是把 直接当成 里的 ，却忘了乘圆心角所占的比例。 【答案】C 变式4-1（填空·★★★★☆） 在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为_____． 【切入点】 里有一条动直线 ，要把它转到「 垂直于一个含 的平面」上，才会出现直角轨迹。 【关键】由 平面 得 ；又 、 给出 ，故 。于是 平面 ，。由 且 得 平面 ，所以 。即点 在平面 内、且 ，故 在以 为直径的圆上；又 在 内，只取四分之一。轨迹长为 。 【易错】一是没有先把 平面 证出来，就得不到 这个直角。二是把整圆或半圆当轨迹， 只覆盖圆的四分之一。三是把直径 当半径。 【答案】 变式4-2（多选·★★★★☆） 正方体棱长为1，、分别为、中点，点在正方体的表面上运动，且满足。记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 是矩形 B. 所围图形的面积为 C. 点与所围成的空间几何体的体积是 D. 点线段，所在平面与平面的夹角余弦值范围为 【切入点】 在表面上动、且 ，先找一个垂直于 的平面，轨迹就是这个平面与表面的交线。 【关键】取 、 的交点 ，由 是 的中点得 ，故 平面 、。过 作 交 、 于 、，再过 、 作竖直棱交顶面于 、，则 是垂直于 的矩形，轨迹 就是它。 A 项：由上面的构造， 是矩形 ，A 对。 B 项：由 得 ，于是 、，，配上竖直边 ，面积 ，B 对。 C 项：点 到平面 的距离为 ，体积为 ，与选项给的 不符，C 错。 D 项：两平面的夹角余弦随 在线段 上移动而连续变化，两端分别取到 与 ，故取值范围为 ，D 对。 故选 ABD。 【答案】ABD 例5（单选·★★★☆☆） 截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一。当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形。已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是定值， 是定点，所以点 在以 为球心的球面上； 又要在三角形 内，轨迹就是球面与平面 的交线圆被三角形截断后的弧。 【关键】、、 两两垂直且都为 ，故底面正三角形 的边长为 。设 的中心为 ，由等体积法 得 ，于是交线圆半径 。作 于 ，，，故每一边截去 ，剩下的圆心角为 ，弧长为 。故选 A。 【易错】一是没有先求 到平面 的距离。二是把 当成 ，它是用等体积法算出来的 。三是圆心角直接取 ，没有减去三条边截去的部分。 【答案】A 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为______． 【切入点】 是定比，这是阿波罗尼斯球的情形；把它平方展开，二次项同样会成对抵消，剩下球面。 【关键】以 为原点、 为 轴建系，则 、。设 ，由 整理得 ，即 在以 为球心、 为半径的球面上。 到侧面 的距离为正四面体的高 ，故交线圆半径为 。又 的中心 到边的距离 ，，故每一边截去 ，剩余圆心角 ，弧长 。 【易错】一是把定比条件直接当成「到两定点的距离相等」。二是忘了 到侧面 的距离是正四面体的高。三是圆心角用 减三倍时，要把「截去的那个小角」算对（这里是 ）。 【答案】 变式5-2（填空·★★★☆☆） 如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，，以D为球心，1为半径作球，则该球的球面与面ABC（三角形及其内部）的交线长度为___． 【切入点】三个两两垂直的棱 ⇒ 三棱锥的两个面都是直角三角形，且 在平面 上的投影恰好是三角形 的中心。 【关键】由 、、 两两垂直且都为 得 ， 是边长为 的正三角形。由等体积法 得 。因为 ，球与平面 相交，交线圆半径 。又 在平面 上的投影是 的中心，它到各边的距离也是 ，恰好等于圆的半径 ——所以整个圆都在三角形内，交线就是圆本身，长为 。 【易错】一是没有检查 与 的大小关系，若 则球与平面根本不相交。二是求出圆半径就乘 ，忘了判断圆是否被三角形的边截断 ——本题恰好内切，不用截。三是把 当成球的半径。 【答案】 例6（填空·★★★★☆） 已知四棱柱中，底面是平行四边形，，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______． 【切入点】 与 所成的角固定，而 ，所以 与 的夹角固定 ——这是一条动直线绕着一条定直线转，轨迹是圆锥的侧面。 【关键】因为 ，所以直线 与 所成的角为 ；又 底面，故点 的轨迹是以 为轴、母线与轴成 的圆锥面与四棱柱表面的交线。底面半径为 。在侧面 与 上，轨迹分别是线段 、，其中 ，故 。在顶面 上，轨迹是以 为圆心、 为半径的圆的 （因为 ），弧长 。故总长为 。 【易错】一是没想到「与定直线成定角」对应圆锥面。二是侧面上的轨迹是线段不是弧，因为侧面 是矩形，圆锥面与它相交得两条直母线的片段。三是顶面上只取了圆的 ，比例由 决定，不能想当然取一半。 【答案】 折叠中的不变量与计算 翻折题的题眼只有一个：折痕。折痕是一条直线，图形分居两侧，翻折时一侧固定不动，另一侧绕折痕旋转。所以读题第一步是把折痕那条线找出来，第二步是问自己：折痕两侧各自有什么垂直关系。 翻折过程中，长度和角度分成两类。折痕同侧的线段长度、夹角都不变；折痕两侧的元素，其距离与夹角会随翻折的位置改变。特别是：折痕上任取一点，它到两侧图形的连线分别垂直于折痕 ——这两条连线的夹角就是二面角的平面角。把这句话用足，大部分题就不用建系了。 最常用的是一组「折痕上的垂线」。若在折痕上有一点 ，两侧各有一条垂线 、，那么 折痕、 折痕，而折痕本身垂直于平面 。于是折痕 ⟂ 平面 ，平面 就是那个「垂直于折痕的截面」，所有与折痕有关的角都落在这个截面里。 另一种常见的结构是「某个顶点处三条棱两两垂直」。折起之后，如果某个顶点发出的三条棱两两垂直，那么这个三棱锥可以补成长方体，体积是三条棱乘积的六分之一，外接球的直径就是三条棱的平方和开方。这类题不必建系，直接套这两个结论。 如果题目给了折起后的某个长度，最省力的做法是向量分解：把连接折痕两侧的向量写成三段之和，其中两段的长度和方向都固定，中间那一段沿折痕，三段之间还互相垂直。取模平方后只剩一个含二面角的交叉项，解出这个角，一切就都知道了。 两处容易错。一是把折痕找错了，把「沿着某条线翻折」看成了「绕某个点旋转」。二是忘了折痕同侧的长度才不变，把折痕两侧的线段长度也当成定值。 例7（单选·★★★☆☆） 已知矩形中，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 D. 对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 【切入点】翻折过程中要判断某两条直线能否垂直，办法是反设：假设它们垂直，看会不会推出与已知长度矛盾。 【关键】过 、 分别向 作垂线，垂足记为 、。因为 、，，所以 与 不重合。A 项：若 ，结合 得 平面 ，从而 ，与 矛盾，A 错。B 项：若 ，结合 得 平面 ，于是 ；而 ，以 为斜边、 为直角边的直角三角形存在，所以这样的位置存在，B 对。C 项：若 ，结合 得 平面 ，于是 ；但 是矩形中较长的边， 使得这样的位置不存在，C 错。故选 B。 【易错】一是没有先把 与 不重合这件事说清楚。二是反设后只推到「有垂直关系」就停手，必须推到与已知长度矛盾（或验证确实能做到）才下结论。三是把「存在」与「恒成立」混为一谈。 【答案】B 例8（多选·★★★☆☆） 已知菱形中，，，现将沿对角线折起至，连接，形成三棱锥，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角的大小为时，平面平面 B. 在折起的过程中，存在某个位置使 C. 时，三棱锥的体积为 D. 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【切入点】折痕是 ，取 的中点 ，则 、，所以 就是二面角的平面角 —— 整道题只有一个变量 。 【关键】菱形边长为 且 ，故 、 都是正三角形。取 的中点 ，以 为原点建系：、、、。 B 项：由 得 ，落在 内，故存在这样的位置，B 对。 C 项：由 得 ，此时 ，C 对。 D 项： 最大时 ，球心为 ，，表面积 ，D 对。 A 项： 时两个平面的法向量数量积为 ，A 错。 故选 BCD。 【易错】一是没有意识到 就是二面角的平面角，把一个自由的翻折当成了没法定量的运动。二是把「存在」类选项当成「恒成立」来判断。三是求外接球时把球心放在了底面上。 【答案】BCD 变式8-1（多选·★★★☆☆） 如图，在矩形中，为中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 二面角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 【切入点】把 、 折到重合于 ，说明 同时垂直于 与 ——顶点 处出现了一组两两垂直的棱。 C 项：【关键】由折叠知 、，故 平面 ；又 、，，C 对。 B 项：，，，B 对。 D 项： 的外接圆半径 ，由 平面 得 ，D 对。 A 项：若 ，结合 得 平面 ，从而 ，与 矛盾，A 错。 故选 BCD。 【易错】一是没有发现 处三棱两两垂直。二是求外接球时把球心放在了平面 上， 平面 时球心在过 外心的垂线上，故 。三是判断 A 项时只算了 与 的数量积就下结论。 【答案】BCD 变式8-2（多选·★★★☆☆） 在边长为 2 的正方形 中， 是 的中点， 是 的中点，将 ，， 分别沿 ， 折起，使 三点重合于点 ，则（ ） A. B. 三棱锥 的体积为 C. 三棱锥 的外接球的表面积为 D. 点 到平面 的距离为 【切入点】三个角同时折起、三个顶点重合于一点，这种题目的标准结论是：重合点处有三条两两垂直的棱，于是可以补成长方体。 A 项：【关键】正方形边长为 ，、 分别是 、 的中点，折起后 、、 重合于 ，则 、、，且 、、。所以 平面 ，，A 对。 B 项：，与选项给的 不符，B 错。 C 项：三棱锥的外接球就是棱长 、、 的长方体的外接球，，表面积 ，C 对。 D 项：、，，，由 得 ，D 对。 故选 ACD。 【易错】一是没有抓住「三点重合 ⇒ 三条棱两两垂直」。二是外接球忘记用长方体的直径公式。三是求点到平面距离时用等体积法算错了 的面积。 【答案】ACD 例9（多选·★★★★☆） 如图1，梯形中， 分别是边的中点，将沿向上翻折至，如图2，则（ ） A. 在翻折过程中和可能平行 B. 到平面的距离的最大值为 C. 直线和所成角可能为 D. 若平面平面，则三棱锥的外接球的表面积是 【切入点】翻折后 的位置由两个长度条件定住：、。这两个条件把 限制在一条直线上，再加上 的长度， 的轨迹就清楚了。 【关键】以 为原点建系：、、、。设 ，由 得 ，由 得 ，两式相减得 。 A 项：若 ，由 得 ，与 的可行范围矛盾，故 A 错。 B 项： 到平面 的距离就是 ，把 代回得 ，它在 处取最大值 ，故 ，B 对。 C 项：直线 与 所成角的余弦为 ，而 的取值范围使该余弦落在 ，对应角取不到 ，C 错。 D 项：翻折过程中 ，当平面 平面 时 取到 这一档，此时三棱锥的外接球半径为 、表面积为 ，D 对。 故选 BD。 【答案】BD 变式9-1（多选·★★★★☆） 如图，矩形中，分别为的中点。现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为8 B. 存在某个位置使 C. 三棱锥外接球半径为3 D. 直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为 【切入点】折痕是 ，矩形被分成两个直角三角形，两个三角形的外接圆圆心都在 的中点 ——这一点直接把外接球定下来了。 【关键】。 A 项：当平面 平面 时体积最大，此时高 ，，，A 对。 C 项： 与 都是直角三角形，两个面的外接圆圆心都是 的中点，故球心就是 的中点，，C 对。 D 项： 被球截得的弦长为 ，其中 是球心到 的距离；极端位置 时弦长为 ，另一端趋近于直径 ，故取值范围为 ，D 对。 B 项：翻折过程中恒有 平面 ，故 不成立，B 错。 故选 ACD。 【易错】一是求最大体积时没有先判断「面面垂直时高最大」。二是外接球的球心位置没找对 ——两个面的外接圆圆心重合时，球心就是那个重合点。三是把弦长的取值范围当成闭区间，两端都是极限位置、取不到。 【答案】ACD 变式9-2（单选·★★★★☆） 在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】折痕是 。分别在折痕两侧作垂线 、，把连接两侧的向量 拆成三段，取模平方就只剩一个含二面角的交叉项。 【关键】在 中，、、，故 、； 是斜边中点，故 ， 是等边三角形。取 的中点 ，则 、。过 作 于 ，则 、，结合 得 。因为 、、，故 、；而二面角 -- 的平面角是 ，即 与 的夹角为 。由 取模平方：，解得 ，。所以点 到平面 的距离 ，体积 。故选 D。 【易错】一是没有把 拆成三段，直接建系会绕远。二是三段之间互相垂直这件事要逐条说明。三是交叉项里是 而不是 ，因为两条垂线分居折痕两侧。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $ 截面、折叠与动点 立体几何 · 专题篇 作截面 用平面去切一个几何体，切出来的那个多边形叫截面。截面的边是平面与几何体各个面的交线，所以找截面就是找交线：平面与哪个面相交，就在那个面上画一条线。 最省事的两种情况。一是平面与一组平行的面相交，两条交线一定平行 ——正方体、长方体、棱柱的上下底面平行，平面切过去，在上面和下面留下的两条线就是平行的，这常常直接告诉我们截面的对边平行。二是平面与同一个平面内的两条线相交，用「同平面内两直线相交」把它们接起来。把这两条用足，截面的形状就定下来了。 还有一类题不给平面，只给动点满足的一个等式。这类等式多半是「两边项数相同的平方和相等」，比如 。把它展开，二次项会成对抵消，剩下的是一次方程 ——这就是截面所在平面的方程。再把四个顶点关于这个平面分分类，看平面从哪几条棱穿过去，穿过的点就是截面的顶点。 截面定下来之后，算量就是平面几何的事了。判断形状看边长与对角关系：对边平行是平行四边形，再加一个直角是矩形，再加邻边相等是菱形。算面积可以把它拆成几个三角形分别求和，也可以先求一条对角线，再乘上两条平行边之间的距离。 截面把几何体分成两块时，体积比往往比面积好算。先把截面的各个顶点在棱上的位置定出来，再用「棱台」「锥体」的体积公式分别算，或者用割补法。正方体被一个平面切出的两块，常有一块是棱台，公式里那个平方根不要漏。 两处容易错。一是把「轴截面」当成普通的截面 ——轴截面是描述旋转体的固定说法（圆锥的轴截面就是过轴的那个等腰三角形），它不涉及「用平面去切」的作图过程。二是只找到部分交线就下结论，截面其实还没画完，漏掉一条边形状就判错了。 例1（多选·★★★☆☆） 已知正四面体的棱长为2，点在棱上（不含端点），过点作平行于和的截面，则下列结论正确的有（ ） A. 截面面积的最大值为1 B. 当点为中点时，三棱锥内切球的半径为 C. 直线与平面所成角为 D. 异面直线与所成角的取值范围 变式1-1（多选·★★★☆☆） 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 变式1-2（多选·★★★☆☆） 如图，在棱长为1的正方体中，，过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面记为S，若三棱锥的外接球球心，则（ ） A. B. S为五边形 C. S的面积为 D. S分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为 例2（多选·★★★★☆） 已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（ ） A. 球的表面积为 B. 当四面体体积最大时， C. 当时，的最大值为 D. 当时，的最小值为 变式2-1（单选·★★★☆☆） 若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 例3（填空·★★★☆☆） 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 动点的轨迹 动点题的路径是固定的三步：先把条件翻译成一个几何对象，再把它与几何体的表面求交，最后在平面图形里量长度。 第一步的「翻译」只有四种基本款。到定点的距离等于定值，轨迹是球面；与一条定直线所成的角等于定值，轨迹是圆锥面；对一条定线段张成的角是直角，轨迹是以这条线段为直径的球面；到两个定点的距离之比等于定值，轨迹是阿波罗尼斯球面。这四种都是「空间里的一张曲面」，所以翻译之后问题就从「求轨迹」变成了「求交线」。 第二步是求交。曲面与几何体的某个面相交，得到的当然是平面图形：球面与该平面相交得圆，圆锥面与该平面相交得圆或双曲线的一支（高中阶段通常给出的是圆）。所以要先算「球心（或顶点）到这个面的距离」，再用勾股定理求出交线圆的半径。 第三步才是量长度。交线圆常常被这个面本身截断（比如被三角形的三条边截掉几段），这时要数清楚「每一侧截去多少圆心角」。正三角形每个角截去 （当圆心到边的距离恰为半径的 倍时）或 ，于是剩下的圆心角是 减去三倍的那一个角。 反过来说，如果算出来的圆整个都在面内，就不需要截断，直接取圆周长。判断的标准是：圆心到各条边的距离都不小于圆的半径。字节精准教育联盟-14 就是最漂亮的一个例子 ——圆的半径恰好等于中心到边的距离，圆正好内切于三角形，所以交线就是整个圆。 两处容易错。一是把「轨迹」当成一条线，忘了它在几何体的表面上还要再被截一次。二是算完圆的半径就直接乘 ，没有检查圆有没有被面的边界截掉。 例4（单选·★★★☆☆） 已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（填空·★★★★☆） 在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为_____． 变式4-2（多选·★★★★☆） 正方体棱长为1，、分别为、中点，点在正方体的表面上运动，且满足。记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 是矩形 B. 所围图形的面积为 C. 点与所围成的空间几何体的体积是 D. 点线段，所在平面与平面的夹角余弦值范围为 例5（单选·★★★☆☆） 截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一。当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形。已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为______． 变式5-2（填空·★★★☆☆） 如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，，以D为球心，1为半径作球，则该球的球面与面ABC（三角形及其内部）的交线长度为___． 例6（填空·★★★★☆） 已知四棱柱中，底面是平行四边形，，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______． 折叠中的不变量与计算 翻折题的题眼只有一个：折痕。折痕是一条直线，图形分居两侧，翻折时一侧固定不动，另一侧绕折痕旋转。所以读题第一步是把折痕那条线找出来，第二步是问自己：折痕两侧各自有什么垂直关系。 翻折过程中，长度和角度分成两类。折痕同侧的线段长度、夹角都不变；折痕两侧的元素，其距离与夹角会随翻折的位置改变。特别是：折痕上任取一点，它到两侧图形的连线分别垂直于折痕 ——这两条连线的夹角就是二面角的平面角。把这句话用足，大部分题就不用建系了。 最常用的是一组「折痕上的垂线」。若在折痕上有一点 ，两侧各有一条垂线 、，那么 折痕、 折痕，而折痕本身垂直于平面 。于是折痕 ⟂ 平面 ，平面 就是那个「垂直于折痕的截面」，所有与折痕有关的角都落在这个截面里。 另一种常见的结构是「某个顶点处三条棱两两垂直」。折起之后，如果某个顶点发出的三条棱两两垂直，那么这个三棱锥可以补成长方体，体积是三条棱乘积的六分之一，外接球的直径就是三条棱的平方和开方。这类题不必建系，直接套这两个结论。 如果题目给了折起后的某个长度，最省力的做法是向量分解：把连接折痕两侧的向量写成三段之和，其中两段的长度和方向都固定，中间那一段沿折痕，三段之间还互相垂直。取模平方后只剩一个含二面角的交叉项，解出这个角，一切就都知道了。 两处容易错。一是把折痕找错了，把「沿着某条线翻折」看成了「绕某个点旋转」。二是忘了折痕同侧的长度才不变，把折痕两侧的线段长度也当成定值。 例7（单选·★★★☆☆） 已知矩形中，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 D. 对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 例8（多选·★★★☆☆） 已知菱形中，，，现将沿对角线折起至，连接，形成三棱锥，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角的大小为时，平面平面 B. 在折起的过程中，存在某个位置使 C. 时，三棱锥的体积为 D. 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 变式8-1（多选·★★★☆☆） 如图，在矩形中，为中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 二面角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 变式8-2（多选·★★★☆☆） 在边长为 2 的正方形 中， 是 的中点， 是 的中点，将 ，， 分别沿 ， 折起，使 三点重合于点 ，则（ ） A. B. 三棱锥 的体积为 C. 三棱锥 的外接球的表面积为 D. 点 到平面 的距离为 例9（多选·★★★★☆） 如图1，梯形中， 分别是边的中点，将沿向上翻折至，如图2，则（ ） A. 在翻折过程中和可能平行 B. 到平面的距离的最大值为 C. 直线和所成角可能为 D. 若平面平面，则三棱锥的外接球的表面积是 变式9-1（多选·★★★★☆） 如图，矩形中，分别为的中点。现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为8 B. 存在某个位置使 C. 三棱锥外接球半径为3 D. 直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为 变式9-2（单选·★★★★☆） 在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为（ ）。 A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $