课时19 函数中的构造问题（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) 课时冲关19函数中的构造问题 学生用书P273 [基础训练组] 解析：B[构造函数F(x)=xf(x), 1.己知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且 因为f(x)为奇函数，所以F(一x)=一xf(一x) f(.x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不 =xf(x)=F(x),所以F(.x)为偶函数， 等式f(x)>2x3十2x的解集为 因为当x<0时，xf(x)十f(x)<0,即F(x)<0, A.{xlx>-2} B.{x|x>2} 所以x<0时，函数F(x)单调递减，x>0时，函 C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2} 数F(x)单调递增， 解析：B[令函数g(x)=f(x)-2x3-2x,则 因为f(-1)=0,所以F(-1)=(-1)f(-1)=0. g(x)=f(x)-6.x2-2>0,所以g(.x)在R上 F1)=0.因为f(x)>0,所以F>0, 单调递增， 因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,所以原不 所以 x>0, 或0， 所以x>1或-1≤ 等式等价于g(x)>0=g(2), F(.x)>01F(.x)<0, 所以所求不等式的解集为{xx>2}.] x<0.] 2.已知a,6e(日+且 =-51na,b In 3 4.f(x)在(0，十o∞)上的导函数为f'(x),xf'(x) >2f(x),则下列不等式成立的是 () =-31nb,lh2=-21nc,则 A.20242f(2025)>20252f(2024) A.b<c<a B.c<b<a B.20242f(2025)<20252f(2024) C.a<c<b D.a<b<c C.2024f(2025)>2025f(2024) 解析：A[设函数f(x)=xlnx,f(x)=1+lnx, D.2024f(2025)<2025f(2024) 当x∈（日+∞x)>0,此时fx)单羽递 解析：A[令g(x)=2(x>0),则g(x)上 增，当x∈（0，)f)<0,此时fx)单洞运 'f()-2xf(a)if'(a)-2f(x) 减，由题h5=-51na,n3=-3nb,2 a b xf'(x)>2f(x),.g'(x)>0, -2lhc,得ana=吉n吉bnb=nclnc g(x)在(0，十∞)上单调递增， g(2024)<g(2025),即f2024<f2025 =n=1n,为<<<，所以 2024 20252 .20242f(2025)>2025f(2024).] 5.设a=1n3,b=√3ln2,c=√21n3,则a、b、c的大 且a,6c∈（日+）所以u>c>≥6.] 小关系是 A.a>b>c B.b>c>a 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(-1)=0, C.c>a>b D.c>b>a 当x<0时，xf(x)十f(x)<0,则使得f(x)>0 成立的x的取值范围是 解析：D[枸造函数f(x)=21n工，其中x>0, A.(-∞，-1)U(0,1) 则f(.x)=2(1-lnx) B.(-1,0)U(1,+∞) C.(-o∞，-1)U(-1,0) 当0<x<e时，f'(x)>0,所以函数f(x)在 D.(0,1)U(1,+∞) (0,e)上单调递增， ·438· 主题二第三章导数及其应用 因为0<√2<3<e,则f(√2)<f(√3)， 100x10107>0, 2 1 即2nE<2n5,即in2<2in3 √2 √3 所以(b+1)2>(c+1)2, 所以b<c, 又周为6=102-1>0c=>0, 因为35=243<256=2，故51n3<8ln2,即ln3 所以b+1>c十1，即b>c,所以c<b<a.] Inn2ah 8.设函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，f'(x)是函 因此，c>b>a.] 数f(.x)的导函数，f(.x)+(xlnx)f(x)>0,则 下列不等关系正确的是 ( 6.已知a=e-3,b=ln(eπ-2e),c=r-2,则 ( A.f(3)log23>f(2) B.)in A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a C.f(3)>2f(9) 解析：A[由a=e"-3,b=ln(er-2e), 解析：A[函数f(x)的定义域为(0，+∞)，则 即a=er-)-1,b=ln(er-2e)=ln(π-2)十1， 令f(x)=e1-x(x>1),则f(x)=e1-1>0 f(r)+(zlnx)f(x)>0f(x)+f(x)Inx> 在(1，十∞)上恒成立， 0,令g()=f(x)lnx,x>0,则g(x)=f(x) 故f(x)在(1，十∞)上单调递增， +f(.x)lnx>0,即g(x)在(0，+oo)上单调 则有f(r-2)=ex2)-1-(x-2)>f(1)=0,即 递增， a>c,g(x)=In x-x+1(x>1), 对于A,g(3)>g(2),即f(3)ln3>f(2)ln2台 则g)=子-1-=1<0在1+0)上恒成 f31g3>f(2),A正确：对于B,g3)> 立，故g(x)在(1，十∞)上单调递减， 则有g(π-2)=ln(π-2)+1-（π-2）<g(1) g1),即f3)1n答>f1)ln1=0,B不正确；对 =0,即b<c,故b<c<a.] 于C,g(3)<g(9),即f(3)ln3<f(9)ln9= 1 7.设a=21.01b=1.02-1,c=10则（) 2f(9)ln3台f(3)<2f(9),C不正确；对于D, A.a<b<c B.c<a<b (大g.中f传)n<fI血1=0，有 C.b<a<c D.c<b<a 解析：D[令f(x)=lnx,g(x)=√x-l, 2传)大0=f)>0.D不三残] h(x)=f(x)-g(x)=In x-vx+1, 9已知不等式x+n+>r对x1,十)止 (x=上-1=2，丘，可以判断h(x在 恒成立，则实数m的最小值为 x 2x 2x [0,4]上单调递增， 解折十mn十≥可变为r十≥ a-b=21n1.01-√/1.02+1=ln1.012-√J1.02+1 mlnx→x+e≥xm-lnxm, =ln1.0201-√1.02+1>ln1.02-√1.02+1 再变形可得，ex-lne"≥xm-lnxm, =h(1.02)>h(1)=0, 设f(x)=x-lnx(x>0),原不等式等价于 所以a>b, f(e')≥f(x"),因为f(x)=1-1=x-1,所 o+1-(e+12=1.02-（+) 以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上 22 1202-200 1 100101101100×1011012 单调递增，而x>1,e=1∈(0,1)， ·439· 高考总复习数学(BS) 当m<0时，0<xm<1,所以由f(e)≥f(xm), 可得er≤xm, 因为x>l,所以lnex≤lnxm→m≥ In 设p(x)=一n (x>1),g(x)=-nr- (In x)? 由图象可知，不等式f(x)≤sinπx在[一3,3] ,所以函教(x)在(1，c)上单调递增，在 上的解集为[-2,0]U[2,3]. 答案：[-2,0]U[2,3] (e,十o∞)上单调递减，所以p(x)mmx=p(e)= [能力提升组] -e,即-e≤m<0. 11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导 当m=0时，不等式2+是≥1在x1,+∞) 函数为f(x),且当x<0时，2f(x)+xf'(x) 上恒成立； <0,则不等式(x-2024)2f(x-2024)- f(-1)<0的解集为 ( 当m>0时，xm>1,无论是否存在m∈ A.（-∞，2025) (0,+∞)，使得f(e)≥f(xm)在x∈(1，十o∞) B.(2023,2025) 上恒成立，都可判断实数m的最小值为一e. C.(-∞，2025)U(2023,+∞) 答案：一e D.(-∞，2023)U(2025,+∞) 10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2十x)= 解析：D[令F(x)=x2f(x), f(-x),且当x∈[0,1]时f(x)>元，则不等式 F'(x)=2xf(x)+x2f(x)=x[2f(a)+ f(.x)≤sin元x在[-3,3]上的解集为 xf(x)],当x<0时，2f(x)十xf'(x)<0, 解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以当x<0时，F'(x)=x[2f(x)+xf(x)] 则f(-x)=-f(x),且f(0)=0, >0,即F(x)在(-∞，0)上是增函数， 所以f(2十x)=f(-x)=-f(x), 由题意f(x)是定义在R上的偶函数，所以 则f(4十x)=-f(.x+2)=f(x), f(-x)=f(x),所以F(-x)=(-x)2f(-x) 所以函数f(x)为周期为4的函数，且图象关 =x2f(x)=F(x),所以F(（x)是偶函数，在 于x=1对称. (0,十∞)递减，所以F(.x-2024)= 令g(x)=f(x)-元x,x∈[0,1]， (x-2024)2f(x-2024),F(-1) 则g'(x)=f'(x)-r>0, =(-1)2f(-1)=f(-1),即不等式等价为 所以函数g(x)在[0,1]上单调递增， F(x-2024)<F(-1),所以x-2024|>1, 所以当x∈[0,1]时，g(x)≥g(0)=0, 所以x<2023或x>2025.] 即f(x)≥πx. 设h(x)=sin-r.x,x∈[0,1]， 12.已知可导函数f(x)是定义在(-受·受)上的 则h'(x)=πc0sπx-π=π(c0sπx-1)≤0， 奇函数.当x∈（0，)时，f(x)+f(x)tan 所以函数h(x)在[0,1]上单调递减， 则当x∈[0,1]时，h(x)≤h(0)=0, >0,则不等式cosx·f+)十sinx 即sinπxπx, f(-x)>0的解集为 所以f(x)≥sinπx在[0,1]上恒成立， A（-,-) &(-若 结合对称性可画出函数f(x)和y=sinπx在 [-3,3]上的简图，如图所示： c.（--) D.(0) ·440· 主题二第三章导数及其应用 解桥：D[当xe(o,时，f)+(x)ian 由f(2ax)≥f(lnx),知2ax≥lnx,即入≥ >0,则cos af(x)十f(x)sinx>0, 2x 则函数i血f()在(0，)上单诩递培，又可 设g(x)=,x∈(0，十0)，求导g(x) 2.x 导画数)是定义在（会，登）上的奇画数 2(1-ln2,令g'(x)=0,得x=e, 4x3 则mf()是（）上的偶数，且在 当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当0<x <e时，g'(x)>0,g(x)单调递增； (-受0上单调递减， ∴g(x)在x=e处取得极大值，且为最大值， 2 g(c)mx=g(e)=Inc=1 2e-2e 由 <-x< 可得e(吾0 2 所以A≥品时，不等式-2数>≥0恒成主， 2入 则x+∈(o,)-x(o) 答案品 则（吾0）时，不等式msr…+) 14.若关于x的不等式alnx+1≤x(e-a)(a∈ R)恒成立，则a的取值范围是 sinx·f(-x)>0, 解析：alnx十l≤x(e-a),整理为xe-a.x 可化为sm(+)·(+) alnx-l≥0，其中xe'=ex·e'=e+hx,故 sin(-x)·f(-x), e+hr-a(x+lnx)-l≥0，令x+lnx=t∈R, 又由画鼓mf()在(0，)上单润递增，且 则e-at-1≥0，f(t)=e-at-1,注意到 f(0)=0,其中f'(t)=e-a,当a=1时，令 xe(,}+e(0,受) f'(t)>0,解得t>0,令f'(t)<0,解得t<0,则 则有受>x+>->0， f(t)≥f(0)=0,满足题意； 当a>1时，令f(t)>0,得t>lna,令f(t)<0, 解之得-至<<0.] 得tlna,则f(t)=e'-at-1在(lna,+o∞) 13.已知>0，对任意的x∈(0，+∞)，不等式 上单调递增，在（一o∞，lna)上单调递减，且 ”一安≥0恒成立则入的最小值为 lna>0,f(0)=0,所以当t∈(0，lna)时， f(t)<f(0)=-0,不合题意，舍去； 解析：对于任意x∈(0，十∞)，入>0，不等式 故不满足题意，舍去； e2加-1≥0恒成立， 2λ 当0<a<1时，令f(t)>0,得t>lna,令 .对于任意x∈(0，十o∞)，2λe2r≥lnx台 f'(t)<0,得t<lna,所以f(t)在(-∞，lna) 2λxe2≥xlnx=lnx·ehr,即2λxe2≥lnx· 上单调递减，在(lna,十o∞)上单调递增，且lna er恒成立， <0,f(0)=0,所以当t∈(1na,0)时，f(t)< 当0<x≤1时，2λxe2r>0≥lnx·enr; f(0)=0,不合题意，舍去；当a≤0时，f(-1) 当x>1,lnx>0, =e1十a-1<0,故不合题意，舍去. 设f(x)=xe,则f(x)=e(1十x)>0,所以 综上，a的取值范围是{1}. f(x)=xe在x∈(0，十o∞)上单调递增， 答案：{1》 ·441…