第8讲 函数与方程 专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数与方程 函数与导数 · 专题篇 零点所在区间的判定 一、零点存在定理：两端异号 若 在 上连续、且 ，则 内至少有一个零点。 做题就是把选项给的每个小区间的两端代进去算符号，异号的那个就是答案。 二、先判单调性，零点至多一个 递减、 递增，两者之差就递减；递增（或递减）函数最多一个零点。 先判单调再用异号定区间，结论才严密 —— 只靠异号只能说「至少一个」。 三、端点值算不出来就估算 对数式比较，用「真数与底数比」或两边化成同底；指数式用相邻的整数幂夹逼。 不必算出精确值，看出符号就够了。 四、「大致区间」只要找到一个 选项给的区间很粗，找到异号的两端就停，不必去找出全部零点。 例1（单选·★★☆☆☆） 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ） A. B. C. D. 零点个数与图象交点 一、先把 拆成两个熟悉的函数 零点个数就是 与 两个图象的交点个数。 常用的拆法：对数与一次比、指数与二次比、绝对值和分段函数与水平线比。 二、每段各自定单调区间与端点符号 求导定出单调区间，在每个单调区间内最多一个零点；再看两端符号，异号就有一个、同号就没有。 多次函数则看极值点：极值异号时该区间内有两个零点。 三、带参数先定参数的范围 条件里出现的那个参数，要先用别的办法把它夹在一个小区间里，再拿这个范围去判符号。 四、分段函数的零点要分段数 分段函数先画草图，看水平线 与每一段交几次，再相加。 对数段上「」这类对称关系，来自 的等值点互为倒数。 例3（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知，，若函数在区间上至少有一个零点，则的最小值是______ 变式3-2（单选·★★★★☆） 定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 例4（单选·★★★☆☆） 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式4-2（单选·★★★☆☆） 设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 例5（填空·★★★☆☆） 函数的零点个数为___________ 变式5-1（单选·★★★☆☆） 设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-2（单选·★★★★☆） 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 变式5-3（单选·★★★★☆） 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-4（多选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 变式5-5（填空·★★★★☆） 已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______ 零点的和、积与大小比较 一、同构型：三个零点比大小 、、 与同一条直线 的交点横坐标，在同一个坐标系里一画就看出顺序。 别忘了 与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，交点的横坐标之和为定值。 二、对称型：交点的坐标成对相加 若两条曲线都关于同一点 对称，则它们的交点也成对关于这一点对称，每对的横坐标之和为 、纵坐标之和为 。 交点的个数是偶数时，直接把对数乘以一半即可。 三、韦达定理型：把零点看作方程的根 零点就是方程的根，两根之和与两根之积可以直接用韦达定理写出，不必解出根。 换元之后出现二次方程时，也要用韦达定理把两根的关系找出来。 四、反函数型：一个零点换到另一个 与 互为反函数时，交点 与 成对出现，于是 这类关系成立。再把目标式写成对勾函数求最值。 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，则方程的所有实数根之和为________ 例7（多选·★★★★☆） 已知函数的零点分别为，则有（ ） A. B. C. D. 变式7-1（填空·★★★☆☆） 设分别是与的零点，则的取值范围是___________ 变式7-2（单选·★★★☆☆） 设函数和的零点分别为，其中。当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★☆☆） 设方程的两个根为，，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. e D. 变式8-1（单选·★★★★☆） 已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则 = （ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 变式8-2（单选·★★★★☆） 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则 = （ ） A. 8 B. C. 12 D. 变式8-3（填空·★★★★☆） 设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______ 变式8-4（填空·★★★★☆） 已知，若关于的方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围为_________ 变式8-5（多选·★★★★☆） 已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 最大值为 由方程有解求参数范围 一、第一步：把「零点个数」翻成「交点个数」 有几个根，就是曲线 与 轴有几个交点。 带参数时写成 ，即曲线与水平线 的交点。 二、分离参数是最省事的一条路 能把 单独解到一边就解，得到 ，问题转成「水平线与 交几次」。 求导定出 的单调区间与极值，再把水平线上下平移看交点个数。 三、韦达定理与判别式管二次的形状 含二次因式的，用判别式判「有没有两个不同实根」，用两根之积的符号判「同号还是异号」。 「恰有两个正根」要同时用：两根之积为正、两根之和为正、判别式为正。 四、多条曲线的题先看奇偶性 函数带绝对值或对称结构时，先判奇偶性，可以只研究一半再翻倍。 外层是 的复合方程，先解外层的 把 定下来，再逐段数根 —— 每一段都要单独确认。 例9（填空·★★☆☆☆） 关于的方程有实数根，则的取值范围为________ 变式9-1（填空·★★★☆☆） 已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________ 变式9-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例10（填空·★★★☆☆） 函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________ 变式10-1（填空·★★★★☆） 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________ 变式10-2（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_____ 变式10-3（填空·★★★☆☆） 若函数有6个零点，则a的取值范围为_____ 例11（单选·★★★☆☆） 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 变式11-1（填空·★★★☆☆） 若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________ 变式11-2（单选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式11-3（填空·★★★☆☆） 已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与方程 函数与导数 · 专题篇 零点所在区间的判定 一、零点存在定理：两端异号 若 在 上连续、且 ，则 内至少有一个零点。 做题就是把选项给的每个小区间的两端代进去算符号，异号的那个就是答案。 二、先判单调性，零点至多一个 递减、 递增，两者之差就递减；递增（或递减）函数最多一个零点。 先判单调再用异号定区间，结论才严密 —— 只靠异号只能说「至少一个」。 三、端点值算不出来就估算 对数式比较，用「真数与底数比」或两边化成同底；指数式用相邻的整数幂夹逼。 不必算出精确值，看出符号就够了。 四、「大致区间」只要找到一个 选项给的区间很粗，找到异号的两端就停，不必去找出全部零点。 例1（单选·★★☆☆☆） 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数里带 ，端点值能直接算出来 —— 逐段代入看符号。 【关键】依次算出各整数点的值：、、、。 而 ，且 在 上连续，由零点存在定理知零点在 内。故选 C。 【易错】、、 三点都是负的，说明零点在 的右边 —— 要一直算到出现变号为止，只算一两个点定不下区间。，别把 当成 。 【答案】C 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数里有个待定参数 ，先用已知点把它定下来。 【关键】点 在 上，所以 ，得 ，即 ，于是 。 与 在 上都递增，所以 在 上递增。再由 得 ；由 得 。所以零点在 内。故选 C。 【易错】 里的 不必算出数值 —— 知道它小于 就能判断整个式子的符号。反过来 里的 只要知道大于 ，加上 一定为正。 【答案】C 变式1-2（单选·★★★☆☆） 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 递增、 也递增，两项同向，整体递增。 【关键】 与 在 上都递增，所以 在 上递增。又 ，，所以 ，由零点存在定理得零点在 内。故选 B。 【易错】 的正负要说明理由：，而 ，所以这个对数大于 —— 直接写「」而不给依据是不严密的。两个单调项都是递增的，所以整体递增，零点至多一个。 【答案】B 例2（单选·★★☆☆☆） 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两项一个是指数、一个是根式，单调方向相反，先判出整体的单调性。 【关键】 在 上递减， 在 上递增，所以 在其定义域上递减。再看端点：、、。由 、 及零点存在定理，零点在 内。故选 B。 【易错】 的两个指数底数不同、指数也不同，不能直接比 —— 但 与 同底，底数在 内时指数越大值越小，所以前者更大，相减得正。判单调只是用来保证「零点至多一个」，定区间仍靠异号。 【答案】B 变式2-1（单选·★★★☆☆） 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】对数与一次函数之差先增后减，要先找到它的最大值点。 【关键】定义域为 。求导得 ，所以 在 上递增、在 上递减。再看端点：；，由 得 ，所以 。由零点存在定理得一个零点在 内。故选 C。 【易错】 与 的符号都要比较真数与底数的幂： 给出 ； 给出 ，从而 。本题的零点有两个（先增后减），题目只问「一个零点」，找到 这一支即可。 【答案】C 变式2-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个幂的底数与指数都不一样，逐段代端点值看符号最省事。 【关键】把各选项的端点代进去：；两个底数都在 内、指数相同，底数越小值越大，所以 ，即 。同理 ；底数相同、都在 内，指数越小值越大，所以 。由 、 得零点在 内。故选 B。 【易错】两个端点值都靠比较幂的大小：在 内，底数越小、幂越小（指数为正），指数越小、幂越大。这两条方向相反，要分清哪一次用的是哪一条。选项 A、C、D 的端点不必细算 —— 只要 这一对异号，就已经锁定了答案。 【答案】B 零点个数与图象交点 一、先把 拆成两个熟悉的函数 零点个数就是 与 两个图象的交点个数。 常用的拆法：对数与一次比、指数与二次比、绝对值和分段函数与水平线比。 二、每段各自定单调区间与端点符号 求导定出单调区间，在每个单调区间内最多一个零点；再看两端符号，异号就有一个、同号就没有。 多次函数则看极值点：极值异号时该区间内有两个零点。 三、带参数先定参数的范围 条件里出现的那个参数，要先用别的办法把它夹在一个小区间里，再拿这个范围去判符号。 四、分段函数的零点要分段数 分段函数先画草图，看水平线 与每一段交几次，再相加。 对数段上「」这类对称关系，来自 的等值点互为倒数。 例3（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】三次函数求导就能定出两个极值点，先在极值点上算函数值。 【关键】，所以 在 和 上递增、在 上递减， 是极大值、 是极小值。由 知 满足 ；画图或试值可知 落在 内，于是 ，。两端符号： 时 ， 时 。三个单调区间各有一个零点，共 3 个。故选 D。 【易错】 的范围必须先从 里定出来，否则 与 的符号都判不了。 递增、 递减，两者只有一个交点，由 时 、 时 可知这个交点在 内。 【答案】D 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知，，若函数在区间上至少有一个零点，则的最小值是______ 【切入点】「至少有一个零点」只要求存在，把 看成一个点，则条件是一个关于 、 的线性约束。 【关键】 在 上至少有一个零点，由零点存在定理，只要 ，即 。把 看作坐标平面上的点，这个条件表示它落在两条直线 与 之间的带状区域（含边界）。而 表示点 到原点的距离平方，最小值在离原点最近的那条直线上取得 —— 即原点到直线 的距离的平方：；但还要检查垂足是否落在线段上：垂足为 ，它满足 ，确实在带内。所以最小值为 。 【易错】本题的问法是「至少有一个零点」，只需 ，不要去讨论判别式与对称轴。用点到直线距离时一定要回验垂足落在允许区域内，否则最小值可能取在端点。 【答案】 变式3-2（单选·★★★★☆） 定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是倍增递推 ，先把它在每个单位区间上的表达式写出来。 【关键】由递推得 （， 为整数）。于是 ，零点个数就是 与直线 的交点个数。在每个单位区间 上， 是一段抛物线、 是一条直线，两者最多交 次；由左端函数值为 、右端函数值为 而直线端点值约为 与 ，在每个区间上恰好各有一个交点。 跨 个单位区间，但两端各要扣除不完整的一段，实际得到 个零点。故选 B。 【易错】 到 跨了 个单位区间，但抛物线在区间左端点处取 ，而直线在该处的值不为 ，所以每段只交一次；再加上两端不完整的部分要一并数清，答案才落在 。 【答案】B 例4（单选·★★★☆☆） 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】幂函数带待定指数，先用已知点定下来；再把 改写成两个熟悉函数的相等关系。 【关键】设 ，由 得 ，即 ，所以 ，。于是 等价于 （），即 。那个三次函数的导函数为 ，故它在 处取极大值 、在 处取极小值 ，两个极值异号，所以 有三个实根，即 有三个零点。故选 C。 【易错】由 得 ，解出 而不是 —— 负号容易丢。化到 之后，用「两个极值异号」判三个零点最省事，不必去解三次方程。 【答案】C 变式4-1（单选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】条件给的是 ，它正是 的符号。 【关键】由 知 在 上递增。又 是奇函数，所以 是偶函数，在 上递减，且 。由 得 。原函数 的零点，即曲线 与 的交点。右边是对数绝对值函数，以 为对称轴、在 与 处取到 ，两侧无限升高。数形结合可得交点共 个。故选 D。 【易错】 在 处单独定义成 （那时 ），所以它是偶函数而不是奇函数 —— 别被 的奇偶性带跑。右边取 （底数小于 ）是递减的，且带绝对值后两侧都趋向 ，这是能交三次的原因。 【答案】D 变式4-2（单选·★★★☆☆） 设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【切入点】 是取整函数，把它移到一边就得到 ，那是小数部分，图象是锯齿。 【关键】原方程 等价于 。左边 是周期为 的锯齿函数，值域为 ；右边 在 上递减、在 上递增，且在 处取 。数形结合可得两图象的交点个数为 ，即方程的解有 个。故选 B。 【易错】左边是分段的锯齿，每一段 内是一条斜率为 的线段；右边在每个锯齿段内单调，所以每段最多交一次，逐段数才不会重不会漏。 【答案】B 例5（填空·★★★☆☆） 函数的零点个数为___________ 【切入点】 由对数与绝对值拼接，看图象最快。 【关键】 的零点个数等于 与 两图象的交点个数。在同一坐标系里画： 是顶点在 的折线，左支从 起向下； 过 且递增。 时 而 ，无交点； 时 ，仍无交点； 时 、 递减到 ，两者交叉一次； 时 线性递增，而 递增慢得多，从 起步，最终仍会被直线超过，交叉一次。所以共有 个交点，即函数有 个零点。 【易错】 那一段一定要交代「最终被超过」 —— 增长比一次函数慢，所以直线迟早反超，这一步不说明就漏掉一个交点。两个零点分别落在 和 内。 【答案】2 变式5-1（单选·★★★☆☆） 设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 有四个零点，即折线与水平线交四次，先画图。 【关键】记 ，它在 、 处为 ，在 处取极大值 。水平线 与它交四次，需要 。此时四个交点关于 与 对称：、。所求式子为 ，由 ，记 ，则原式等于 。由 可定出 的取值范围，进而得原式的取值范围为 。故选 A。 【易错】用对称性把两侧的点配对是本题的关键 —— 与 关于 对称、 与 关于 对称，这样四个变量就只用两个表示。「四个交点」的条件给出 ，这是 取值范围的来源。 【答案】A 变式5-2（单选·★★★★☆） 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【切入点】外层是 ，内层是一个分段函数 —— 先把外层的解全部求出来。 【关键】令 ，则原方程化为 。当 时由 得 或 ；当 时由 得 或 。再由 得 分别等于 、、、 这四类值。逐类数根： 与 都大于 的最大值 ，各在 的对数段上给 个根； 在分段的两段上共给 个根； 在 段给 个、在 的二次段上由 无实根，合起来共 个根。故选 D。 【易错】外层解出的 有四个值，每一个都要回代数根，少一类就少几个根。二次段 的判别式为负，这一段给不出根 —— 这一步要交代清楚，否则会把答案数大。 【答案】D 变式5-3（单选·★★★★☆） 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】分段函数 + 水平线交四次，用对称性把四个根配对。 【关键】当 时由 去绝对值平方，整理得 ，所以 ，结合两根都为负得 。当 时由 得 （等值点互为倒数）。于是 ，而由 可把 写成 。换元后利用单调性求范围，得所求落在 。故选 C。 【易错】 而不是 —— 两根都在 上、同为负，所以乘积为正。对数段上的关键等式是 ，它来自 取等值时 互为倒数。 【答案】C 变式5-4（多选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 【切入点】先画分段函数的草图，定出四个根各自所在的区间。 【关键】由图象可知 ，且 （二次段关于 对称）。A 项：、，所以 ，A 项写的「等于 」不成立，A 项错误。B 项：由 得 的上界小于 ，需逐项核验才能定，按图象 的范围不含 ，B 项错误。C 项：由对数段 得 ；构造 （）并求导，可得 ，据此可判断 C 项所写的不等式不成立，C 项错误。D 项：把 与 代入，整理后用基本不等式可得最小值为 ，D 项正确。故选 D。 【易错】四个根的区间要靠图象的对称性与端点定出来：二次段给出 ，对数段给出 与 的倒数关系。判断结论时要一项一项算，别因为 A 项「看着像」就选上。 【答案】D 变式5-5（填空·★★★★☆） 已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______ 【切入点】四根之和的范围，靠对称性把四个根两两配对。 【关键】 的图象与 交四次，由图可知 。设四根从小到大为 。二次段 （）的对称轴是 ，所以 。对数段上 ，即 ，得 。所以 ，而由 与 得 。又 限定了 、 的取法，综合得四根之和的取值范围为 。 【易错】 是 取等值的直接推论，也是把两个大根并成一个量的关键。二次段的两根关于 对称（不是 ），所以要用的等式是 。 【答案】 零点的和、积与大小比较 一、同构型：三个零点比大小 、、 与同一条直线 的交点横坐标，在同一个坐标系里一画就看出顺序。 别忘了 与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，交点的横坐标之和为定值。 二、对称型：交点的坐标成对相加 若两条曲线都关于同一点 对称，则它们的交点也成对关于这一点对称，每对的横坐标之和为 、纵坐标之和为 。 交点的个数是偶数时，直接把对数乘以一半即可。 三、韦达定理型：把零点看作方程的根 零点就是方程的根，两根之和与两根之积可以直接用韦达定理写出，不必解出根。 换元之后出现二次方程时，也要用韦达定理把两根的关系找出来。 四、反函数型：一个零点换到另一个 与 互为反函数时，交点 与 成对出现，于是 这类关系成立。再把目标式写成对勾函数求最值。 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个函数的零点都解不出来，但把 移过去就能看成「三个图象与同一条直线的交点」。 【关键】、、 分别是 、、 与直线 交点的横坐标。也可以直接代值： 在 处为 ，所以 ； 在 处为 ，所以 ；、，所以 。于是 。故选 A。 【易错】 与 都能直接代出来，不必画图；只有 要借零点存在定理夹出「在 与 之间」。三个函数都是增函数，所以各自的零点唯一。 【答案】A 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，则方程的所有实数根之和为________ 【切入点】 是三次式，先配方成关于 的形式，让它显出奇偶性。 【关键】令 ，则 。方程 即 （其中 ）。记 （奇函数），则 ，（）。由 的奇偶性与单调性可知 的图象关于点 中心对称，于是方程 的根成对关于 对称；再数出根共 个，其中一个是 本身，另外两个关于 对称，横坐标之和为 。所以所有实根之和为 。 【易错】先把 的中心对称点找出来（这里是 ）再数根，比硬解两次三次方程快得多。根成对时，还有可能多出落在对称中心上的单个根，要单独加上。 【答案】 例7（多选·★★★★☆） 已知函数的零点分别为，则有（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个函数都含 的结构，先作代换 把它们并成同类。 【关键】令 ，三个方程分别化为 、、，即三个图象与 的交点。A 项：由 得 ，所以 ，A 项正确；由图象可看出 ，C 项正确、D 项错误。B 项： 与 互为反函数，它们的图象关于 对称，又都与直线 相交，两份交点关于原点成对出现，于是 与 互为相反数，即 ，B 项正确。故选 ABC。 【易错】A 项「」是三个里最好的抓手 —— 三次方程 只有 一个实根，直接算出。B 项靠反函数关于 对称： 与 的交点必在 上成对出现，所以两点关于 对称。 【答案】ABC 变式7-1（填空·★★★☆☆） 设分别是与的零点，则的取值范围是___________ 【切入点】两个零点都解不出来，但它们所在的方程里有互为反函数的一对函数。 【关键】由 是 的零点得 ，即 ；再由 是 的零点得 。 与 互为反函数，所以 ，即 。令 ，则 。由 定出 的取值范围，再用对勾函数的单调性得 ；结合 的实际范围（）知该式在 内取值。 【易错】 是本题的枢纽，它来自反函数关于 对称：一个交点是 ，对称过来就是 ，所以另一个自变量的值恰是 。最后取值域时要把 的范围代准，不能只写对勾函数的最小值。 【答案】 变式7-2（单选·★★★☆☆） 设函数和的零点分别为，其中。当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与上一题同型，只是目标式换成了 。 【关键】由 是 的零点得 ；由 是 的零点得 。 与 互为反函数，交点关于 对称，所以 ，即 。于是 （）。由 可定出 ，而 在 上递减，所以它在 上递减，最小值在 处取到：；再由 时趋向 ，得取值范围为 。故选 C。 【易错】先由反函数得 ，再换元 —— 这一步把两个未知量并成一个，是这类题的固定动作。对勾函数 的拐点在 ，而 的实际范围是 ，落在递减段上，所以最小值出现在区间右端。 【答案】C 例8（单选·★★★☆☆） 设方程的两个根为，，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. e D. 【切入点】对数方程里左右都带 ，先把左边的 收进对数里。 【关键】由 得 ，由对数函数单调得 ，即 。设 、 是这个关于 的二次方程的两根，由韦达定理 ，所以 ，即 。于是 。故选 A。 【易错】关键一步是把 当整体看成一个二次方程 —— 给出的是 ，而不是两根之积。求出 之后，立方和公式里只剩一项，直接得 。 【答案】A 变式8-1（单选·★★★★☆） 已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则 = （ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 【切入点】条件 说的是 的图象关于某一点中心对称，先把这个点找出来。 【关键】由 得 的图象关于点 对称。再看 ； 是奇函数（ 换成 后取相反数），所以 的图象也关于点 对称。两条曲线关于同一个点对称，它们的四个交点两两配对：、，、。所以四个点的横坐标之和为 ，纵坐标之和为 。故选 D。 【易错】 里那个常数 不能丢 —— 去掉它之后剩下的部分才是奇函数，正是这个 让两条曲线共享同一个对称中心。四个交点成两对，纵坐标之和是 而不是 。 【答案】D 变式8-2（单选·★★★★☆） 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则 = （ ） A. 8 B. C. 12 D. 【切入点】条件是 ，它直接给出 的对称中心。 【关键】由 得 ，所以 的图象关于点 对称。再看 ，由 与 代换可验证 ，所以 的图象也关于点 对称。两条曲线同中心对称，交点两两配对，每对的横坐标之和为 、纵坐标之和为 。交点共 个（成 对），所以所有横坐标之和为 。故选 A。 【易错】 的对称中心要验证而不只是猜：把 换成 ，算出 才能确认。交点是 个，所以配成 对，横坐标之和为 而不是 。 【答案】A 变式8-3（填空·★★★★☆） 设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______ 【切入点】函数里 与 成对出现，先把 记成一个整体。 【关键】 有三个零点，等价于方程 有三个实根。两边同除以 并记 ，整理可得一个关于 的二次方程，它的两根 、 满足 。再由 求导可得它在 处取最大值，结合「只有三个零点」定出 与 的对应关系，于是所求式子等于 。 【易错】换元的目标是让两个 落进韦达定理，所以除 是必须的一步。最后求的是 ，它正好是 ，不必分别算出两个 。 【答案】 变式8-4（填空·★★★★☆） 已知，若关于的方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围为_________ 【切入点】「两个不相等的正实根」把 的范围先卡死，再用韦达定理写出目标式。 【关键】先排除 （那时方程变为 ，无解）。由两根之积 得 ；再由判别式 得 。由韦达定理 、，所以 。由 得 ，即 ，所以 ，取值范围为 。 【易错】「两个不相等的正实根」要同时用三条：两根之积为正、判别式为正，再加上开口方向推出的 。目标式写成 之后，范围完全由 决定，不要再去解方程。 【答案】 变式8-5（多选·★★★★☆） 已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 最大值为 【切入点】分段函数 + 水平线交四次，先画草图定出 的范围。 【关键】作出 的图象可知四个交点要求 ，A 项正确。B 项：左段是 ，由 、 得 、，于是 、，两者相等，B 项正确。C 项：右段是 ，由 得 、，所以 ；由 得它在 内，不在 内，C 项错误。D 项：把 与 代入，整理后用基本不等式可得最大值为 ，D 项正确。故选 ABD。 【易错】B 项的关键是把 、 用 表示出来：对数段取绝对值后两个根对应的对数一正一负，所以 、 一个含 、一个含 。C 项算出的是 ，与选项写的区间没有公共部分，不能因为「看起来接近」就选。 【答案】ABD 由方程有解求参数范围 一、第一步：把「零点个数」翻成「交点个数」 有几个根，就是曲线 与 轴有几个交点。 带参数时写成 ，即曲线与水平线 的交点。 二、分离参数是最省事的一条路 能把 单独解到一边就解，得到 ，问题转成「水平线与 交几次」。 求导定出 的单调区间与极值，再把水平线上下平移看交点个数。 三、韦达定理与判别式管二次的形状 含二次因式的，用判别式判「有没有两个不同实根」，用两根之积的符号判「同号还是异号」。 「恰有两个正根」要同时用：两根之积为正、两根之和为正、判别式为正。 四、多条曲线的题先看奇偶性 函数带绝对值或对称结构时，先判奇偶性，可以只研究一半再翻倍。 外层是 的复合方程，先解外层的 把 定下来，再逐段数根 —— 每一段都要单独确认。 例9（填空·★★☆☆☆） 关于的方程有实数根，则的取值范围为________ 【切入点】一元二次方程有实根，直接用判别式，不必讨论对称轴。 【关键】方程 有实数根，即判别式不小于零：。解得 或 。 【易错】判据是 而不是 —— 「有实数根」允许两个根相等。解 时两边开方要带绝对值，写成 或 ，不能只写一半。 【答案】 或 变式9-1（填空·★★★☆☆） 已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________ 【切入点】 的零点个数不好直接数，先把带 的项分离出来，看新函数的奇偶性。 【关键】 等价于 。记 ，它是 上的奇函数（把 换成 ，分子分母同时变号）。所以 有 个零点，等价于 有 个点取到值 —— 由奇函数知这要求 在 上恰有一个零点。求导得 的符号，分类讨论 的取值并借零点存在定理定出单调性，得 。 【易错】把参数分离成 之后，用奇偶性把「三个零点」减半是本题最省事的一步 —— 奇函数在原点两侧的形状相同，三个零点意味着右侧一个、左侧两个（含原点）。边界值 取开还是取闭，要用零点存在定理核一遍。 【答案】 变式9-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里有 的两次调用，先看 有没有对称性可以把记号脱掉。 【关键】 在 上递增，且 —— 把 换成 代进去，两项的分式相加恰好为 ，所以 。原方程 即 。由 单调递增，函数记号可以脱掉：，即 。记 ，求导得 ，所以 在 处取极小值、在 处取极大值 。要三个不同根，水平线要落在极小值之上、极大值之下，得 。故选 A。 【易错】 这个性质必须自己验证，题目没有直接给；有了它才能把右边的 换成 的值，进而脱掉记号。三个根对应水平线夹在两个极值之间，所以要用极大值 定上界，别用别的点。 【答案】A 例10（填空·★★★☆☆） 函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________ 【切入点】参数 在 的系数上，除过去就能分离。 【关键】 即 。注意 时左边为 、右边为 ，不是根，所以可以放心地除以 ，得 。记 ，求导可得 ；因为 恒成立，所以 时 、 时 ， 在 上递增、在 上递减。再算极限与端点： 时 ， 时 ； 时 ， 时 。水平线 要与这两支各交一次，只能取 。所以 的取值范围为 。 【易错】先确认 不是根再除，这一步是分离参数的前提 —— 漏掉的话会多出一个不成立的整支。 在 的两侧走向相反：左侧趋向 、右侧趋向 ，所以 必须为正才能两侧各交一次。 【答案】 变式10-1（填空·★★★★☆） 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________ 【切入点】 有两个零点，就是水平线 与 交两次 —— 求 的值域与极值即可。 【关键】 的定义域为 ，求导得 ，所以 在 处取极小值 、在 处取极大值 。又 时 ，。画出图象可知，水平线 交两次需要 落在 或 内。所以 的取值范围是 与 的并，即 。 【易错】 要单独看： 只有 一个根，所以 不取 —— 这就是两个开区间中间断开的原因。分式函数在无穷远处趋向 ，所以每条水平线在外侧两支上各交一次。 【答案】 变式10-2（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_____ 【切入点】函数是两个绝对值之和，按 的符号分类，每类里都能看出零点在哪。 【关键】① 当 时，两项都非负，要使和为零必须两项同时为零，即 且 ，自相矛盾，无零点。② 当 时， 只有 一个零点，不合。③ 当 时，直接分析两段的零点：第二项 在 处为零、第一项 在 处为零，两处互不相同，各自给出一个零点，共两个。所以 的取值范围为 。 【易错】 与 两类都要逐个排除并说明理由 —— 尤其 时「两项都非负、和为零只能各自为零」，这句话是排除的关键。 与 这两个边界要单独检验能不能取。 【答案】 变式10-3（填空·★★★☆☆） 若函数有6个零点，则a的取值范围为_____ 【切入点】函数里带 ，是偶函数 —— 只研究 那一半再翻倍。 【关键】若 无零点，故 ，此时 是偶函数。令 ，条件变成方程 在 上有 个根（加上 的那一个）。再令 ，方程化为 ，在 上要有 个根。由两个二次因式的根分布列不等式组，解得 的取值范围为 。 【易错】偶函数意味着零点成对出现，所以 个零点对应 侧 个；若 ，原点那个要单独减去。换元 之后范围端点从开变成闭，这一步不看清楚会漏根。 【答案】 例11（单选·★★★☆☆） 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】三次函数恰有两个零点，说明一个极值恰好为零（否则一个极值同号时只有一个零点、异号时有三个）。 【关键】。若 ， 恒非负， 在 上递增，最多一个零点，不合；所以 。此时 在 处取极大值、在 处取极小值。恰有两个零点要求其中一个极值为 。把极值点代入并令其为 ，结合 可得 与 的关系，再把它代入 并换元，用导数求最小值，得 。故选 B。 【易错】「恰有两个零点」的判据是极值为零，不是「极值异号」（那是三个零点）。 那一支要先排除，否则会凭空多出一类讨论。 【答案】B 变式11-1（填空·★★★☆☆） 若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________ 【切入点】 的零点，就是曲线 与直线 的交点。 【关键】分两种情形。① 当 恒成立（即 ）时，绝对值可以去掉，零点方程化为 ，要有两个不同实根需 ，即 ；与 取交得 或 。② 当 或 时， 会变号，去绝对值得两段，分别讨论每段的根数与范围。把两类合并，得 。 【易错】分类的界线是判别式 的符号，它决定 会不会变号、绝对值能不能直接去掉。两类的区间要分别求再取并，注意端点是否包含。 【答案】 变式11-2（单选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】方程外层是 ，先解 把 定下来。 【关键】令 ，则 。把 写成分段形式： 时为 ， 时为 。 时由 得 ； 时 无解（指数恒正，）。所以原方程等价于 。 时由 得 ，这一段恒有一个根； 时由 得 ，要有解需 ，且要恰有一个 满足 —— 由 得 ，所以 ，即 。所以 的取值范围是 。故选 D。 【易错】 那一段方程无解，是因为 恒为正、乘上 也不可能为零 ——这一步要交代，否则会误以为有两个 。最后卡 时用的是 给出的 ，端点 能取到（），所以 取等号。 【答案】D 变式11-3（填空·★★★☆☆） 已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________ 【切入点】绝对值里外都有参数 ，只能按 的符号分类，每类里再去绝对值。 【关键】① 时方程化为 ，判别式为负，无解，舍去。② 时只需研究 段。此时把绝对值去掉，方程化为 。要它有两个不相等的正实根，需同时满足判别式大于零、两根之和大于零、两根之积大于零，三个条件联立解出 的一段范围。③ 时再分 的正负两段讨论，做法同上。两类合并，得 的取值范围为 。 【易错】「两个不相等的正实根」要三条一起用：判别式大于零、两根之和大于零、两根之积大于零，只用判别式会把负根也算进来。 要单独排除并说明理由 —— 这时方程退化，不是二次方程。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $