第7讲 函数与方程专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

函数与方程 零点存在定理、零点个数与含参零点的分类 一、函数与方程 零点存在定理与零点个数 端点异号只保证零点个数是奇数。适用条件是：函数在闭区间上连续、两端点的函数值异号。结论：该区间内的零点个数必为奇数 ——至少一个，也可能是三个、五个。由来：图象要从 轴的一侧走到另一侧，来回穿越的次数只能是奇数。所以光看到异号，还不能说「只有一个」。 转化之后只看三样，不必把图完整画出来。适用条件是：方程已经拆成「不含参数的曲线等于一条水平直线」。结论：交点的个数只由三样东西决定 ——单调区间、极值点、两端的走向；把这三样写清楚就能直接读出参数分几类，不必真的作图。由来：水平直线上下平移时，交点数只会在「等于某个极值」和「等于某一端的极限值」这两类位置发生变化。 互为反函数的对称性。适用条件是：两条曲线互为反函数（图象关于直线 对称），而所截的直线自身也关于 对称（把 与 互换后方程不变，如 、）。此时两个交点关于 对称、坐标互换，于是「两个零点之和为定值」「两个零点之积为定值」这类结论立刻出来。 递推型函数要逐段数。适用条件是：函数满足 （）这种把定义域一段一段放大或缩小的关系。此时每一段上的图象形状都相同、只整体放大了 倍，零点要一段一段地数。其中两类段最容易漏：解析式与直线量级相当的那一段（可能一个交点也没有），以及直线取值为负、函数取值为非负的那一段（直接判无交点）。 三次函数的零点个数看极值符号。适用条件是：函数为三次函数 —— 它的零点个数与判别式无关，三次函数根本没有判别式。判定只看两极值的符号：极大值大于零且极小值小于零时有三个零点；某一极值恰好为零时恰有两个零点（图象在极值点处与 轴相切）；两极值同号时只有一个零点。 例1（单选·★★★★☆） 定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】递推式 把定义域切成一段一段，每段上 的形状都是「二次函数乘一个倍数」。所以先写出每段的解析式，再逐段数交点。 【关键】反复代入得 ，取 ，则 （）。于是 。 【关键】要数的零点就是当 的解。在区间 上令 ，方程成为 。记 。 【关键】 时：，（ 时为 ，往后更大）。又 在 上由负变正， 先减后增，最小值 。所以每一段上恰有一个零点。 【关键】逐段清点。 对应 ，共 段，得 个零点。 对应 ：，而 时 、，所以 恒成立，这一段没有零点。 对应 ：此时 ，方程 解得 （ 不在这一段内），得 个零点。 对应 ：此时 ，而 ，两边符号不同，不可能相等，没有零点。 零点总数为 。选 B。 【易错】两处最容易漏。一是 这一段恰好没有零点，顺手跟着前面的规律多算一个就错了；二是 上左边非负、右边为负，直接判无交点即可，不必逐段代入。 【答案】B 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知在处取得极小值．（1）求在处的切线方程；（2）若，讨论零点的个数． （1）【切入点】「在 处取得极小值 」这一句话给出两个条件：导数在 处为零，并且 。两个条件定两个参数。 【关键】。由 得 ；代入 得 ，即 ，解得 ，。 【关键】验一下取到的确实是极小值：，，在 上 ，在 上 ，所以 处取极小值，与题设相符。 ，，切线方程为 ，即 。 （2）【切入点】 的零点就是方程 的根，也就是水平直线 与曲线 的交点。所以先把曲线的走势定下来，再数交点。 【关键】，零点为 。 时 ，递增； 时 ，递减； 时 ，递增。 极大值 ，极小值 。两端 时 ， 时 。 【结论】按直线 的水平位置分三类： 或 时，直线恰好与图象在极值点处相切，交点数为 ； 或 时，交点数为 ； 时，交点数为 。 【易错】直线是 而不是 ，不等号方向会整体反过来，写答案前把界值代回去对一下： 给出 ，正好是极小值，说明这一档确实是相切的情形。 【答案】① ；② 当 或 时有两个零点，当 或 时有一个零点，当 时有三个零点 例2（填空·★★★★☆） 设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______． 【切入点】零点方程 里， 与 总是成对出现。两边同除以 ，整式就只剩 这一个变量。 【关键】除以 得 。记 ，即 。 【关键】要凑出题目里那三个括号，先看它的形状 —— 括号里是 ，也就是 ，所以换一个变量：记 ，即 。代入并展开：，即 ，合并同类项得 。所以 。 【关键】接下来要弄清「 的一个值对应几个零点」。记 ，则 ，。所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。 再看两端： 时 ，； 时 ，。于是 时方程 只有一个解（落在 一侧）； 时有两个解（一个在 内、一个大于 ）。 【关键】题设 ，说明 对应单根的那一侧，而 是同一个值，两个正零点共用它。 所以所求式子 。答案为 。 【易错】本题的关卡是认清「三个零点、两个取值」： 的方程只有两个根，零点却有三个，说明 单独占一个值，、 共用另一个值。看出这一点，目标式里那三个括号自动配成「同一个值出现两次」的结构，韦达定理一步收口。若只盯着 而不换成 ，目标式根本凑不出来。 【答案】16 变式2-1（多选·★★★★☆） 已知函数有三个零点，则（ ） A. 若成等差数列，则成等比数列 B. 若成等比数列，则成等差数列 C. 若成等差数列，则数列的公差为 D. 若成等比数列，则数列的公比为 【切入点】三个零点都满足 ，把它写成 ，问题变成水平直线 与曲线 有三个交点。先定曲线的走势，再逐个选项翻译条件。 【关键】记 ，，符号由 与 共同决定。 时两者都为负，，递增； 时 ，递减； 时 ，递增。 时 ，且 时 、 时 ； 时最小值 。要有三个交点必须 ，此时 、、。 【关键】这是本题的枢纽：三个零点都满足 ，把 与 的式子相乘再除以 的式子，得 。于是「」与「」互为充要条件 —— 这一条同时管着 A、B 两个选项。 【A】若 成等差，则 ，由枢纽等式得 ，即 成等比（三者都为正）。A 正确。 【C】再算公差。由 ， 写成 ；代入 得 ，整理为 。两边除以 ，记 ，得 ，解得 。 筛根： 而 ，所以需要 ，即 ，故 。又由 得 ，所以 。公差 。 而 ，所以 ，即 ，与题给的正号差一个符号。C 错误。 【B】若 成等比，则 ，代回枢纽等式得 ，即 ，所以 成等差。B 正确。 【D】此时 仍是 ，。公比 ，而 ，所以 。D 正确。 选 ABD。 【易错】A 与 C 的前提同为等差，但 A 只问「是否成等比」，C 还要把公差算出来，两者难度差得多 —— 不要因为 A 对了就默认 C 也对。另外 要用 筛掉一个，题给的 就是筛根的依据。 【答案】ABD 例3（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）求的单调区间；（2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. （1）【切入点】求单调区间，先写定义域，再解导数的符号。本题定义域限制很要紧 —— 有 ，所以 。 【关键】。分母恒为正，符号完全由 决定。所以 时 ，单调递减； 时 ，单调递增。 （2）【切入点】要求的是较大零点处的切线，可 的取值事先并不知道。好在 一算就是零，先把 抓住，再判断它是大的那个还是小的那个。 【关键】，所以 是零点。又由（1）知极小值 ，所以除 之外还有零点，且它落在 一侧。 【关键】把另一个零点夹住。取 ：（因为 ），而 ，由单调性知另一个零点在 内，它小于 。 所以 ，。切点是 ，斜率 ，切线方程为 ，即 。 【易错】本题最容易错在「 与 谁是 」。零点 到底算大算小，取决于另一个零点的位置 —— 必须用单调性和特殊值把另一个零点夹在 内，才能断定 。直接假设「 是较大的那个，所以不是 」就错了。 【答案】(1) 单调递减区间为，单调递增区间为；(2) 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的极值；（3）当时，判断零点个数，并说明理由． （1）【切入点】 时解析式最简单，先求函数值与导数值，再套点斜式。 【关键】 时 ，。，。切点 、斜率为 ，所以切线是水平线 。 （2）【切入点】 时 里既有对数又一次项，符号不好直接看。但它的导数好写 —— 对 再求一次导，用单调性反过来定符号。 【关键】。记 ，则 。因为 且 ，所以 恒成立， 在 上单调递减。 【关键】，而 单调递减，所以 时 、 时 。于是 在 上递增、在 上递减，在 处取极大值 ，没有极小值。 （3）【切入点】判断零点个数，先降次。，把方程两边除以 不改变根的个数，原来的三次式就变成一次式加对数。 【关键】 即 。记 ，则 的零点个数就是 的零点个数。 。因为 ，所以 ，且 时 、 时 。所以 在 上递增、在 上递减，最大值 。 【关键】最大值符号决定一切。记 ，把最大值写成 ，研究 。。 时 ，所以 ， 递减，。 【结论】，等号只在 ，即 时成立。 时最大值恰为 ，只有 这一处取到，所以 有一个零点； 时 ，最大值都小于零， 恒为负，所以 没有零点。 【易错】第（3）问的关键是「先除以 再求 的最大值」，把「数零点」换成「判一个数的符号」。另外 用到了 这一条 —— 若 的范围放宽到大于 ， 能取到大于 的值， 就不再单调，结论要重新分类。 【答案】(1) ；(2) ，无极小值；(3) 当时有一个零点，当时无零点 由零点个数求参数范围 分界点只有两个来源。适用条件是：分离后得到的函数由初等函数构成、定义域是若干区间的并。此时分类的分界值只可能来自两处 ——导数的分子为零、以及定义域的端点，不必每一类都完整重算一遍符号表。 水平渐近线那一档，参数的端点写开区间。适用条件是：分离后的曲线在某一端趋于一个有限值（也就是有一条水平渐近线）。结论：这个有限值就是「恰好一个零点」的临界值，而曲线永远达不到它，所以对应的参数端点一定取不到，写成开区间。由来：极限值取不到，当且仅当它不在函数的值域内。同理，两端都趋于正无穷时，分界由极值给出，那一档通常也取不到。 分离参数不是唯一的路。适用条件是：方程两边都容易画出图象。此时直接数交点更快，一边是指对幂函数、一边是直线时尤其如此 ——分离参数要先求导再定单调性，直接画图省掉这两步。 参数是某个式子的整体时，先换元。适用条件是：参数只以「某个式子的整体」出现（比如某个式子的平方、某个式子的对数）。此时把它换成一个新字母，方程就降成一次或二次，再用二次函数的判别式与根的分布定范围，比求导省力得多。 零点个数是偶数时，先查对称性。适用条件是：函数是偶函数、奇函数，或关于某个点中心对称。此时零点成对出现，「个数为偶数」这件事本身就能筛掉一批参数取值；反过来，若 是零点，总个数必为奇数。 例4（填空·★★★★☆） 已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则 的取值范围是______． 【切入点】 是取整符号， 只与 的小数部分有关。先把所有零点写清楚，再把「 内恰有两个零点」翻译成 满足的不等式组。 【关键】把 写成 ，其中 是小数部分，则 。令 得 ，所以零点是全体 （）—— 每隔 出现一个。 【关键】题目给的是区间 ，那么开区间要非空，必有 ，即 。「恰有两个零点」说明这两个零点相邻，记作 与 。逐个盯两端。 左端 ：不能落在第一个零点右边，也不能跑到更左边去，所以 。 右端 ：必须越过第二个零点，但不能越过第三个，所以 ，也就是 。 【关键】两段区间要有公共部分，这就对 提了要求。由 得 ；由 得 。所以 ，整数 只能取 或 。 【关键】 时两段是 与 ，取交得 。 时两段是 与 ，交集只剩下一个孤点 。 【结论】。答案为 。 【易错】 的两个不等式都要列，只列一个会整支漏掉。另外 时交集退化成一个孤点 —— 这种「边界恰好卡住」的情形最容易漏，写完两段之后一定要回头检查端点。 【答案】 变式4-1（填空·★★★★☆） 设，函数.若恰有一个零点，则 的取值范围是_______. 【切入点】根号里带参数，先把定义域定下来，再把方程改写成「 等于某个函数」的形状，用直线与曲线的交点个数来数零点。别忘了 先要分类。 【关键】 即 。右边要非负，所以 ，即 或 ；左边要求 。 【关键】先清掉 。 时 恒成立，所以 要求 。此时 ，方程成为 ，平方得 ，与 矛盾，所以 时没有零点。 时 ，定义域是 。令 ：，平方得 ，即 ，解得 ，符合 。所以 时恰有一个零点。 【关键】再看 。 给出 或 ，与 或 组合，分成三段来数。 第一段 ：方程化为 。记 ，，所以 在 上递减、在 上递增。两端： 时 （从小于 的一侧）， 时 ，。于是 时这一段有 个解， 时只有 个解。 第二段 （这一段非空要求 ）：方程还是 ，只不过 。 在 上单调递减（），值域是 。要让 落进来，需要 ，即 恒成立。所以 时这一段恰有 个解。 第三段 ：方程化为 ，记 ，，所以 在 上递减、在 上递增。，， 时 （从下方）。这一段的值域是 ： 有 个解， 或 有 个解，其余是 个。 【关键】把三段加起来，看总数什么时候等于 。：第一段 个，总数为 ；：第一段 个、第三段 个，总数为 ；：第一段 个、第三段 到 个，总数不小于 。 ：第一段 个、第三段 个、第二段是空的，总数为 ； 时第二段又多出 个，总数变成 。 【结论】 时恰有一个零点；再加上单独算过的 ，答案为 。 【易错】三处最容易漏。一是定义域在三段里还要与根号的限制取交，所以 时中间夹出来的那一段必须单独算；二是第三段里 时 ，而 ，所以值域的上界由 决定，不能想当然地取渐近值；三是 要单独讨论，它不属于 的任何一类。 【答案】. 例5（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求 的取值范围． （1）【切入点】求单调区间，先写定义域，再解导数的符号。有 ，所以定义域是 。 【关键】。 时， 使 ，所以 ， 在 上递增，没有递减区间； 时令 得 ，在 上递增、在 上递减。 （2）【切入点】「在 上有且仅有两个零点」要拆成三件事：最大值点落在区间内部、最大值大于零、右端点的函数值为负。三件事凑齐，零点才恰好是两个。 【关键】 时 在 上单调递增，至多一个零点，不合题意。所以 。最大值点是 ，要落在 内部，需要 ，即 。 【关键】左端不用额外约束： 时 ，所以 ，左边天然有一个零点。最大值 ，要大于零就得 。 【关键】还要管住右端。若 ，右端会再冒出一个零点，总数变成三个。所以需要 ，即 ，解得 。 【结论】三个条件 、、 取交，得 。 【易错】条件要凑齐三个，少任何一个都会算错。尤其 这一条：它保证右端不再多出一个零点，很多人只写「最大值大于零」就把答案放成了 。另外 时 是免费的，不必再写成 （ 根本不在定义域内）。 【答案】(1) 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.；(2) 变式5-1（解答·★★★★☆） 设函数.（1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标；（2）若有两个零点，求的取值范围. （1）【切入点】「切线过定点」的做法是固定的：先用导数值写出切线方程，再把方程整理成关于 的式子，看哪一个点恒满足它。 【关键】（），，。切线方程为 ，整理成 。 不论 取何值， 时右边恒为零，所以切线恒过定点 。 （2）【切入点】先求导，看清导数的形状再动手分类。 【关键】，。分母与 都是正的，符号完全由 决定。 时 恒成立， 在 上递减，至多一个零点，不合题意。 时， 上 递减、 上 递增。 【关键】极小值 。 两端： 时 ，； 时 与 都比常数项强，。两端都向上，所以有两个零点的条件就是极小值小于零：，即 。 【结论】这个不等式的两根是 与 ，开口向上，解得 或 ，与 取交得 。 【易错】极小值的化简有两步容易卡： 之后 ，再提公因式 ，漏掉这一步就写不出因式相乘的形状。另外「两端都趋于 」这句话必须说，否则「极小值小于零」只是必要条件。 【答案】(1) 证明见解析，；(2) 变式5-2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程；（2）若在上有2个零点，求的范围． （1）【切入点】切线与 轴平行，说的就是斜率为零，用导数列一个方程。 【关键】。由 得 。此时 ，切点是 ，切线是水平线 。 （2）【切入点】分离参数。 即 ，在 上 、，两边除以 得 。 【关键】记 ，。在 上 递减、在 上 递增，最小值 。 两端： 时 ； 时 。两端都朝上，所以直线 与曲线有两个交点，只需要 严格大于最小值。 【结论】。 【易错】两端都趋于 正是答案左端取开区间的原因： 时直线恰好与曲线在最低点相切，只有一个交点，所以这个值要剔出去。 【答案】(1) ；；(2) 例6（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若是函数的极值点，求 的值；（2）在（1）的条件下，若函数有两个零点，求实数 的取值范围． （1）【切入点】「 是极值点」给出的第一个条件是导数在那一点为零。求导时注意 是乘积，要用积的求导法则。 【关键】。因为 ，由 得 ，即 ，所以 。 【关键】代回去验一下取到的是极值： 时 ，在 上为负、在 上为正，符号由负变正，所以是极小值点，符合题意。 （2）【切入点】 有两个零点，先分离参数。分离前检查分母： 时 ，所以 不是零点，可以除以 。 【关键】 即 。记 （），问题变成直线 与曲线 有两个交点。 【关键】求导：。分母恒正，符号只看分子 ，零点为 与 。所以 在 上递增、在 上递减、在 上递减、在 上递增。 【关键】把关键值与四端走向列出来。，。 时分子与分母都为负，所以 ； 时 ， 时 ； 时 。 于是四段的值域分别是： 上为 ； 上为 ； 上为 ； 上为 。 【结论】要恰好两个交点： 时第一段与第二段各给一个，共两个； 时第三段与第四段各给一个，共两个。其余位置要么一个要么没有。所以 或 。 【易错】两处分界点的取法不一样。 时只有 一个解（第二段的值域是开区间，取不到 ）； 时只有 一个解（第三段同样取不到这个端点值）。所以两个界值都不在答案里，两端都是开区间。 【答案】(1) ；(2) 或 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. （1）【切入点】求切线，先求导数值得斜率，再求函数值定切点。 【关键】，。，，切线方程为 ，即 。 （2）【切入点】 即 。因为 ，两边除以 不改变根的个数，得 。记 ，。 【关键】。在 上， 恒成立，、，所以符号只由 决定： 时 递增， 时 递减。 最大值 。 【关键】两端的走向要分别判断。把式子拆成 ： 时两项都趋于 ，而且 相对 可以忽略，所以 ； 时 ，所以 。 于是 在 上的值域是 （递增段）并上 （递减段）。 【结论】要恰好两个交点： 时递增段一个、递减段一个； 时递增段那个取不到（ 只能逼近 ），只剩一个； 时两个交点并成 一个； 时也只有一个。所以 。 【易错】把 拆成 是判断左边走向的关键：直接看 看不出方向，拆开后能看出第一项占主导，极限是 而不是别的数。 【答案】(1) ；(2) 变式6-2（解答·★★★★☆） 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. （1）【切入点】先用切线条件把 定出来 —— 切点与 轴上交点的坐标都是已知的，合起来就是一个只含 的方程。 【关键】，，。切线方程 。令 ，得 。题设它与 轴交于 ，所以 ，解得 。 【关键】此时 （），。分母为正，所以 与 上 递增， 上 递减。 （2）【切入点】 即 ，数的是直线 与曲线的交点。三个交点要求直线夹在极小值与极大值之间。 【关键】极大值 ，极小值 。两端： 时 ，； 时 。 【结论】要有三个交点，需要 ，两边同乘 并把区间端点对调，得 。 【易错】两边同乘 时不等号方向要翻，写答案前把界值代回去对一下： 对应 ，正好是极大值，说明这一档确实是相切的情形，取不到。 【答案】① 递增区间 和 ，递减区间 ；② 例7（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）对任意，是的必要条件，求的最小值；（2）对任意，函数存在两个零点.求的取值范围； （1）【切入点】先把「必要条件」这句话翻译清楚：「 是 的必要条件」意思是后者能推出前者，即对任意 都有「 推出 」。取 就得 ，而 是任意的，所以 在 上单调递增。 【关键】。在 上单调递增，等价于 恒成立，即 对一切 成立。 记 ，（），所以 递减，。要让 不小于 在 上的每一个值，只需要 。所以 的最小值是 。 （2）【切入点】「对任意 都有两个零点」先把零点方程整理一下，注意 的定义域不含 。 【关键】 即 ，也就是 。记 ，。因为 ，令 得 ：在 上递减、在 上递增，两端 都趋于 。所以 恰有两个零点，等价于极小值 。 【关键】但 的零点要成为 的零点，还得避开 那一点。，若 即 ，则 也是一个零点，此时 只剩一个零点，不合题意。所以先把 排除。 【关键】，即 要对任意 成立。记 ，，所以 在 上递增、在 上递减，最大值 。 【结论】要让 比 的每一个值都大，必须 。所以 的取值范围是 。 【易错】 处的排除最容易被漏掉。 的零点只有在 时才是 的零点，而 恰好把 变成一个零点，此时 只剩一个零点。去掉这一档，答案才写成开区间 而不是 。 【答案】(1) 1；(2) 变式7-1（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）函数有两个零点，求的取值范围；（2）若直线为函数的一条切线，求的值；（3）函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． （1）【切入点】 的符号决定导数的符号，先分类，再用「极小值小于零」作为两个零点的条件。本题的巧妙之处在于极小值能算成一个很干净的形式。 【关键】。 时 恒成立， 单调递增，至多一个零点，不合题意。 时令 ，由 得 。在 上 递减、在 上 递增，所以 是极小值。 【关键】两端 时 主导，，所以有两个零点等价于极小值小于零。注意 这条关系，代进去能大幅化简： 。 因为 ，所以 等价于 ，即 。所以 。 （2）【切入点】切线已知，斜率就已知；设切点，把「斜率相等」与「切点既在曲线上又在切线上」写成方程组。 【关键】切线 即 ，斜率是 。设切点 ，则 ，且 。 由第一式得 ，代入第二式：。两边都有 ，消去后得 ，即 。 【关键】令 ，方程成为 。记 ，，在 上 ，所以 单调递增。而 ，所以 是唯一解，，代回得 。 （3）【切入点】先化简 ，把可以抵消的项消掉，再找一条能整体放缩的不等式。 【关键】（）。先单独看 ：，在 处为零，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。 于是 ，从而 。 【关键】记 ，，在 处为零，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。 【结论】要让 恒成立，需要 ，即 ，解得 。反过来验一下： 时 ，确实不满足。所以 。 【易错】第（1）问的关键是「先把 满足的关系 抓在手上」，再用它把 化简成 ；硬算的话会很乱。第（3）问用的是「 的变形」，放缩之后只需处理一次函数，但放缩的方向要对准 —— 必须是往小放，才能收到「恒成立」。 【答案】① ；② ；③ 变式7-2（解答·★★★★★） 已知函数．（1）讨论的单调性．（2）已知是函数的两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）， 是的导函数．证明：． （1）【切入点】讨论单调性，先写定义域（），再看导数的符号，最后按 的符号分类。 【关键】，。 时 ，， 在 上递增； 时令 得 ，在 上递增、在 上递减。 （2）（ⅰ）【切入点】有了单调性，零点个数就只由最大值与两端的走势决定。 【关键】 时 一路递增，零点至多一个，凑不出两个。 时最大值是 ；两端： 时 而 ，所以 ； 时 主导，。 两端都向下，所以有两个零点的条件就是最大值大于零：，即 ，解得 。 （ⅱ）【切入点】要证的式子里出现了 与 的加权平均，而两个零点满足的等式是 。把这两条相减，就能把 用 、 表示出来。 【关键】由 与 相减得 ，即 。 于是 。 要证它小于零，两边同乘正数 ，等价于证明 。 【关键】令 ，分子分母同除以 ，要证的式子变成 ，也就是 。 记 ，。。 【关键】 的符号还看不出来，再求一次导。记 ，。因为 ，分子是一次函数且斜率为负，在 上它的值小于 处的值 ，所以 ， 在 上递减。 于是 ，所以 在 上递减，，原不等式成立。 【易错】要证的式子里出现分式与对数混在一起，第一步必须把分母乘过去、把 整体换成 ，否则没法构造出只含一个变量的函数。另外第二次求导之后判断符号靠的是「一次函数在区间端点处的值」，这一步要把 用上。 【答案】(1) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．；(2) （ⅰ）； （ⅱ）证明：是函数的两个零点，则有①，②， ①-②得，即， ， 因为有两个零点，所以不单调， 因为，得， 所以． 若要证明成立， 只需证， 即证，令，则， 则不等式只需证， 即证， 令， ，令， 令，因为，得在上单调递减， 得，得，即在上单调递减， 得，得，即在上单调递减， 所以有， 故有，不等式得证． 变式7-3（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）讨论在上的单调性；（2）若，证明：；（3）设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围． （1）【切入点】先求导，把分子整理成一个一次式，再按一次式的零点是否落在定义域内分类。 【关键】， 时分母恒正，符号只看分子 。 时，，所以 ， 在 上递增； 时分子为 ， 递减； 时分子在 上恒为负， 也递减。 时分子是一次函数且斜率为负，在 处为零，所以 在 上递增、在 上递减。 （2）【切入点】 时 ，要求的是一条链式不等式。先把不等式的中间项换成它的相反数，让形状变成「 介于两个分式之间」，再换元。 【关键】 时 。要证 ，即证 ，也就是 。 令 ，上式成为 ，分两半来证。 右半：设 ，。，所以 递减，，即 。 左半：设 ，。，所以 递增，，即 。两半合起来，原不等式成立。 （3）【切入点】先化简 ，会发现对数项正好抵消，只剩两个简单项。再把两个零点的问题化成「一条水平直线与一条曲线有两个交点」。 【关键】。 即 。记 ，，所以 在 上递增、在 上递减，最大值 。 两端： 时 ； 时 。所以要有两个交点，需要 ，且交点横坐标满足 。 【关键】题目要求 ，先看等号成立时 是多少。设 ，由 得 ，即 ，所以 ，此时 。 【关键】再看 变化时两个零点怎么动。 在 上递增，所以 随 增大而增大； 在 上递减，所以 随 增大而减小。因此 越小， 越小而 越大，比值 越大。 于是「」等价于 ，解得 。所以 。 【易错】第（3）问的难点不在求导，而在「 变小会让两个零点怎么动」这一步。必须把两条单调支分开说：左支递增所以 跟着 同向动，右支递减所以 反向动，两边一夹才能断定比值单调。另外等号成立时的 要单独算，它是分界值而不是答案的一部分。 【答案】(1) 结论见解析；；(2) 证明见解析；(3) 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与方程 零点存在定理、零点个数与含参零点的分类 一、函数与方程 零点存在定理与零点个数 端点异号只保证零点个数是奇数。适用条件是：函数在闭区间上连续、两端点的函数值异号。结论：该区间内的零点个数必为奇数 ——至少一个，也可能是三个、五个。由来：图象要从 轴的一侧走到另一侧，来回穿越的次数只能是奇数。所以光看到异号，还不能说「只有一个」。 转化之后只看三样，不必把图完整画出来。适用条件是：方程已经拆成「不含参数的曲线等于一条水平直线」。结论：交点的个数只由三样东西决定 ——单调区间、极值点、两端的走向；把这三样写清楚就能直接读出参数分几类，不必真的作图。由来：水平直线上下平移时，交点数只会在「等于某个极值」和「等于某一端的极限值」这两类位置发生变化。 互为反函数的对称性。适用条件是：两条曲线互为反函数（图象关于直线 对称），而所截的直线自身也关于 对称（把 与 互换后方程不变，如 、）。此时两个交点关于 对称、坐标互换，于是「两个零点之和为定值」「两个零点之积为定值」这类结论立刻出来。 递推型函数要逐段数。适用条件是：函数满足 （）这种把定义域一段一段放大或缩小的关系。此时每一段上的图象形状都相同、只整体放大了 倍，零点要一段一段地数。其中两类段最容易漏：解析式与直线量级相当的那一段（可能一个交点也没有），以及直线取值为负、函数取值为非负的那一段（直接判无交点）。 三次函数的零点个数看极值符号。适用条件是：函数为三次函数 —— 它的零点个数与判别式无关，三次函数根本没有判别式。判定只看两极值的符号：极大值大于零且极小值小于零时有三个零点；某一极值恰好为零时恰有两个零点（图象在极值点处与 轴相切）；两极值同号时只有一个零点。 例1（单选·★★★★☆） 定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知在处取得极小值．（1）求在处的切线方程；（2）若，讨论零点的个数． 例2（填空·★★★★☆） 设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______． 变式2-1（多选·★★★★☆） 已知函数有三个零点，则（ ） A. 若成等差数列，则成等比数列 B. 若成等比数列，则成等差数列 C. 若成等差数列，则数列的公差为 D. 若成等比数列，则数列的公比为 例3（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）求的单调区间；（2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的极值；（3）当时，判断零点个数，并说明理由． 由零点个数求参数范围 分界点只有两个来源。适用条件是：分离后得到的函数由初等函数构成、定义域是若干区间的并。此时分类的分界值只可能来自两处 ——导数的分子为零、以及定义域的端点，不必每一类都完整重算一遍符号表。 水平渐近线那一档，参数的端点写开区间。适用条件是：分离后的曲线在某一端趋于一个有限值（也就是有一条水平渐近线）。结论：这个有限值就是「恰好一个零点」的临界值，而曲线永远达不到它，所以对应的参数端点一定取不到，写成开区间。由来：极限值取不到，当且仅当它不在函数的值域内。同理，两端都趋于正无穷时，分界由极值给出，那一档通常也取不到。 分离参数不是唯一的路。适用条件是：方程两边都容易画出图象。此时直接数交点更快，一边是指对幂函数、一边是直线时尤其如此 ——分离参数要先求导再定单调性，直接画图省掉这两步。 参数是某个式子的整体时，先换元。适用条件是：参数只以「某个式子的整体」出现（比如某个式子的平方、某个式子的对数）。此时把它换成一个新字母，方程就降成一次或二次，再用二次函数的判别式与根的分布定范围，比求导省力得多。 零点个数是偶数时，先查对称性。适用条件是：函数是偶函数、奇函数，或关于某个点中心对称。此时零点成对出现，「个数为偶数」这件事本身就能筛掉一批参数取值；反过来，若 是零点，总个数必为奇数。 例4（填空·★★★★☆） 已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则 的取值范围是______． 变式4-1（填空·★★★★☆） 设，函数.若恰有一个零点，则 的取值范围是_______. 例5（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求 的取值范围． 变式5-1（解答·★★★★☆） 设函数.（1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标；（2）若有两个零点，求的取值范围. 变式5-2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程；（2）若在上有2个零点，求的范围． 例6（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若是函数的极值点，求 的值；（2）在（1）的条件下，若函数有两个零点，求实数 的取值范围． 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 变式6-2（解答·★★★★☆） 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 例7（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）对任意，是的必要条件，求的最小值；（2）对任意，函数存在两个零点.求的取值范围； 变式7-1（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）函数有两个零点，求的取值范围；（2）若直线为函数的一条切线，求的值；（3）函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 变式7-2（解答·★★★★★） 已知函数．（1）讨论的单调性．（2）已知是函数的两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）， 是的导函数．证明：． 变式7-3（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）讨论在上的单调性；（2）若，证明：；（3）设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $