第14课时 函数的零点与方程的解 专项训练-2027届高三数学一轮复习

第14课时 函数的零点与方程的解 1．函数f(x)＝e2x＋5x－2的零点所在区间为(　　) A．(－1，0)　　 B． C． D． 2．函数f(x)＝xcos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 4．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 5．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　) A．x1x2<0 B．x1x2＝1 C．x1x2>1 D．0<x1x2<1 6．已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b 7．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　) A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 8．已知函数f(x)＝－ln x＋a在(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－2，ln 2－1) C．(－∞，2) D．(1－ln 2，2) 9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，2] B．(1，2) C．(0，1) D．[1，＋∞) 10．已知函数f(x)＝－－，则函数f(x)的所有零点之和为(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 11．【多选题】设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b可取的值可能是(　　) A．0 B． C． D．1 12．已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)，k∈Z上，则实数k＝________． 13．给定方程＋sin x－1＝0，有下列四个命题： p1：该方程没有小于0的实数解； p2：该方程有有限个实数解； p3：该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解； p4：若x0是该方程的实数解，则x0>－1. 其中的真命题是________． 14．[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 15．【多选题】已知函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝k，且x1<x2<x3，则下列说法正确的有(　　) A．f(x)的值域为[－4，＋∞) B．k的取值范围为(－4，－3] C．x3∈(e－2，e－1] D．x2＋x3＝0 16．【多选题】已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　) A．ea＋ln b>2 B．ea＋ln b<2 C．a2＋b2<3 D．ab<1 17．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的所有零点所构成的集合为________ 18.函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. （1）求b，c的值； （2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围. 19.（2026·甘肃天水模拟）已知函数f（x）＝log2（2＋x）－log2（2－x）. （1）判断f（x）的奇偶性； （2）若关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 参考答案 1．答案　B 解析　∵f(0)＝－1<0，f＝－>0，且f(x)＝e2x＋5x－2为增函数，∴f(x)＝e2x＋5x－2的零点所在区间为.故选B. 2．答案　D 解析　f(x)＝xcos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0，2π]上的根为，，，，共4个，故原函数有5个零点． 3．答案　C 解析　由题可知f(x)在(1，2)单调递增，所以f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3. 4．答案　D 解析　方法一(图象法)：令f(x)＝0，得x＝ln x．作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点． 方法二(函数零点存在定理法)：当x∈时，函数f(x)的图象是连续的，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在上单调递减．又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点． 5．答案　D 解析　作出函数y＝10x与y＝|lg(－x)|的图象，如图所示．因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1<x1<0，则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1<0，所以lg(x1x2)<0，即0<x1x2<1，故选D. 6．答案　C 解析　由已知条件得f(x)的零点可以看成y＝2x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，g(x)的零点可以看成y＝ex的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，在同一坐标系内分别画出y＝2x，y＝ex，y＝ln x，y＝4－x的函数图象，如图所示，知c>a>b.故选C. 7．答案　B 解析　方法一：由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x>0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B. 方法二：作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B. 8．答案　B 解析　由题意，f′(x)＝－－＝－，所以当1<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，它在(1，2)内有零点，则f(1)f(2)＝(2＋a)(1－ln 2＋a)<0，解得－2<a<ln 2－1，故选B. 9．答案　A 解析　因为函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1，2]． 10．答案　B 解析　由题意知x≠0，f′(x)＝＋＝＋>0，所以f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增， 又因为f(2)＝－1<0，当x→＋∞时，f(x)→，所以f(x)在(2，＋∞)上必存在唯一的零点， 因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(x)＋f(－x)＝－－＋＋－＝＋－1＝0， 所以f(x)为奇函数，则f(x)在(－∞，－2)上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知f(x)的所有零点之和为0.故选B. 11．答案　BCD 解析　函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，当x≤0时，f(x)＝(x＋1)ex， 则f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0]上单调递增，且f(－2)＝－，f(0)＝1，f(－1)＝0， 当x→－∞时，f(x)→0， 从而可得y＝f(x)的图象如图所示， 通过图象可知，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，则b∈(0，1]． 12．答案　3 解析　易知函数f(x)＝2lg x＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，又因为f(3)＝2lg 3＋3－4＝2lg 3－1＝lg 9－1<0，f(4)＝2lg 4＋4－4＝2lg 4>0，即f(3)f(4)<0，则函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(3，4)上，即k＝3. 13．答案　p3，p4 解析　由＋sin x－1＝0，得sin x＝1－，令f(x)＝sin x，g(x)＝1－，在同一坐标系中画出两函数的图象如图，由图象知：p1为假命题，p3，p4为真命题，而由于g(x)＝1－单调递增，且g(x)恒小于1，即g(x)图象以直线y＝1为渐近线，f(x)＝sin x∈[－1，1]，故在区间(0，＋∞)上，两者的图象有无穷多个交点，所以p2为假命题． 14．答案　B 解析　在同一直角坐标系下作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，故f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，故选B. 15．答案　BC 解析　作出函数f(x)的图象如图， 由图象可知函数f(x)的值域为R，故A错误；函数y＝x2＋2x－3图象的对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1，－4)，对于函数y＝－2＋ln x，当y＝－4时，x＝e－2，当y＝－3时，x＝e－1，因为互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝k，且x1<x2<x3，故k的取值范围为(－4，－3]，故B正确；由题可知－2＋ln x3∈(－4，－3]，所以x3∈(e－2，e－1]，故C正确；因为x2，x3不一定关于y轴对称，所以x2＋x3＝0不一定成立，如当x2＝0，x3＝e－1时，满足题意，但x2＋x3≠0，故D错误．故选BC. 16．答案　CD 解析　由f(x)＝0，g(x)＝0得ex＝2－x，ln x＝2－x，即可得ea＝2－a，ln b＝2－b，即有ea＋ln b＝4－(a＋b)，又函数y＝ex与y＝ln x互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y＝ex，y＝ln x，y＝2－x的图象，如图所示， 则A(a，ea)，B(b，ln b)，且a≠b. 由反函数性质知A，B关于(1，1)对称，则a＋b＝2，ea＋ln b＝2，ab<＝1，∴A、B错误，D正确． ∵f′(x)＝ex＋1>0，∴f(x)在R上单调递增，且f(0)＝－1<0，f＝－>0，∴0<a<，∵点A(a，ea)在直线y＝2－x上，即ea＝2－a＝b，∴a2＋b2＝a2＋e2a<＋e<3，∴C正确．故选CD. 17．答案　 解析　由题意知f(f(x))＝－1，所以f(x)＝－2或f(x)＝，则函数y＝f(f(x))＋1的零点就是使f(x)＝－2和f(x)＝的x的值．解f(x)＝－2，得x＝－3或x＝；解f(x)＝，得x＝－或x＝. 从而函数y＝f(f(x))＋1的所有零点构成的集合为. 18. 解析 （1）由题意知2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴∴ （2）由（1）知f（x）＝x2－5x＋6. ∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6， 依题意得解得－＜m＜0， 故实数m的取值范围是. 19. 解析 （1）f（x）为奇函数，理由如下： 由题意得解得－2＜x＜2，即函数f（x）的定义域为（－2，2），故定义域关于原点对称. 又f（－x）＝log2（2－x）－log2（2＋x）＝－f（x）， 故f（x）为奇函数. （2）由f（x）＝log2（a＋x）， 得log2（2＋x）－log2（2－x）＝log2（a＋x）， 所以＝a＋x，所以a＝－x＝－x＝＋（2－x）－3， 故方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋（2－x）－3在区间（－2，2）上有两个不同的实数根， 即函数y＝a与y＝＋（2－x）－3在区间（－2，2）上的图象有两个交点. 设t＝2－x，x∈（－2，2），则y＝＋t－3，t∈（0，4）. 作出函数y＝＋t－3，t∈（0，4）的图象，如图所示. 当1＜a＜2时，函数y＝a与y＝＋t－3，t∈（0，4）的图象有两个交点，即关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是（1，2） 学科网（北京）股份有限公司 $