第3章勾股定理 3.1～3.2 周测2026-2027学年苏科版数学八年级上册

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 八年级上册数学周练 第3章 勾股定理（3.1～3.2） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•杨浦区期末）·【A】如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 2．（2025秋•沭阳县期末）·【A】勾股定理最早被记载于我国古代数学著作《周髀算经》中，下列各组数中（　　）是“勾股数”． A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 3．（2026春•海淀区校级期中）·【A】下面各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，9 C．6，12，13 D．7，24，25 4．（2026春•涡阳县期末）·【A】以下列长度（单位：cm）为三边，能构成直角三角形的是（　　） A．1、2、3 B．、、 C．2、3、4 D．4、5、6 5．（2026•安徽模拟）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 6．（2026•西湖区校级一模）·【B】通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，点P为矩形ABCD所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2恒成立．如图2，在△ABC中，AB＝4，，点D在△ABC内，且∠ADC＝90°，，则边AC的最小值为（　　） A．3 B． C．4 二．填空题（共6小题） 7．（2026春•华龙区期末）·【A】如图，点O在数轴原点处，数轴上的点A的坐标是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上截取AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为　 　 ． 8．（2026春•芜湖期末）·【A】勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　 　 ． 9．（2026春•岚山区期中）·【B】勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《周脾算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为　 　 ． 10．（2026春•海陵区校级期末）·【B】将邻边长分别为2，的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无剩余纸片）．有下列数：①；②2；③；④；⑤．其中，可以作为一个等腰三角形的腰长的是　 　 （填序号）． 11．（2026春•新华区校级月考）·【B】如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 　 　 ． 12．（2025春•咸丰县期末）·【B】如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•望江县期末）·【A】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，CE是AB边上的中线． （1）若∠B＝54°，求∠ECD的度数． （2）若AB＝10，BC＝6，求DE的长． 14．（2026春•同步）·【A】给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断方桌面的角是直角？ 15．（2026春•市中区校级单元）·【B】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）下面是直立的长方体火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现的证明勾股定理的一种思路． 如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，此时∠FAC＝90°，AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积完成勾股定理的证明． 【结论应用】 （2）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5km，CH＝1.2km，HB＝0.9km．已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路CH比路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3） △ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 16．（2026春•青羊区校级期中）·【B】【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝ 　 　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝ 　 　 ； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 17．（2026•拱墅区一模）·【B】【阅读理解】定义：我们把满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c叫做一组勾股数．如3，4，5就是一组勾股数．小智同学利用图形探索勾股数的一般形式． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB．设CD＝m，AC＝n（m＜n），BD＝p，BE＝q（其中m，n，p，q都为正整数）．易得DE＝m，AE＝n．由△DEB∽△ACB，可得，即，化简后，获得了关于直角三角形三边关系的漂亮结论：AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）． 【尝试探究】 （1）当m＝1，n＝4时，求AC：BC：AB． （2）设a＝n2﹣m2，b＝2mn，c＝n2+m2，根据前面的定义判断a，b，c是否为一组勾股数，说明理由． 【变式提升】 （3）小智发现，变换m，n的值，能得到无数组勾股数；也可以根据勾股数还原m，n的值，构造相应的图形．若已知一组勾股数a＝7，b＝24，c＝25，求m，n的值． 18．（2026春•海淀区校级月考）·【B】在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC 的三边长分别是，和2，因为，所以△ABC是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”． 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法　 　 ；（填“正确”或“错误”） （2）已知△ABC的其中两边长分别为1、2，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为　 　 ； （3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的代数式表示其周长． 19．（2025秋•兴隆县期末）·【C】如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 20．（2026春•长乐区期末）·【C】阅读材料，解答问题： 背景 如图，在勾股定理的学习过程中，我们知道，把4张全等的直角三角形纸片拼成以弦长c为边长的正方形“弦图”，利用图形面积的不同计算方法可以验证直角三角形的勾股定理：a2+b2＝c2． 应用 （1）其他图形的计算，可以通过转化为直角三角形解决问题．如△ABC是等边三角形，且边长为4，则可求出△ABC的面积． 探究 （2）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，请利用勾股定理推导出a，b，c之间的等量关系． 验证 （3）参考用“弦图”验证勾股定理的证明方法，请用n个如图所示的三角形，画出拼图并利用面积的不同算法，验证探究（2）中得出的含60°角的三角形三边a，b，c之间的等量关系． 请完成材料中应用、探究、验证的解答过程． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D D B D B 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•杨浦区期末）·【A】如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【解答】解：由题意，第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， …， 第九个三角形的斜边长， ∴这海螺图形周长l， ∵34， ∴13＜1014， ∴周长l的整数部分是13． 故选：B． 2．（2025秋•沭阳县期末）·【A】勾股定理最早被记载于我国古代数学著作《周髀算经》中，下列各组数中（　　）是“勾股数”． A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】D 【解答】解：A．，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B．三个数不是正整数，0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； C．22+32≠42，故2，3，4不是勾股数，不符合题意； D．72+242＝252，故7，24，25是勾股数，符合题意， 故选：D． 3．（2026春•海淀区校级期中）·【A】下面各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，9 C．6，12，13 D．7，24，25 【答案】D 【解答】解：A、∵22+32＝4+9＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴以2、3，4为三角形的三边，不是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵62+82＝36+64＝100，92＝81， ∴62+82≠92， ∴以6、8，9为三角形的三边，不是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵62+122＝36+144＝180，132＝169， ∴62+122≠132， ∴以6、12、13为三角形的三边，不是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵72+242＝49+576＝625，252＝625， ∴72+242＝252， ∴以7、24，25为三角形的三边，是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 4．（2026春•涡阳县期末）·【A】以下列长度（单位：cm）为三边，能构成直角三角形的是（　　） A．1、2、3 B．、、 C．2、3、4 D．4、5、6 【答案】B 【解答】解：A、∵1+2＝3， ∴1，2，3不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵（）2+（）2＝3，（）2＝3， ∴2+（）2＝（）2， ∴，，能作为直角三角形三边长， 故B符合题意； C、∵22+32＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴2，3，4不能作为直角三角形三边长， 故C不符合题意； D、∵42+52＝41，62＝36， ∴42+52≠62， ∴4，5，6不能作为直角三角形三边长， 故D不符合题意； 故选：B． 5．（2026•安徽模拟）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【解答】解：由题意，过C作CH⊥AB于H， 设AC＝x，则BC＝2x， ∴ABx，则ADABx． ∴根据面积法可得，CHx． ∴AHx． ∴DH＝AD+AHx． ∵CD，DH2+CH2＝CD2， ∴（x）2+（x）2＝（）2， ∴x＝2． ∴BC＝2x＝4． 故选：D． 6．（2026•西湖区校级一模）·【B】通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，点P为矩形ABCD所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2恒成立．如图2，在△ABC中，AB＝4，，点D在△ABC内，且∠ADC＝90°，，则边AC的最小值为（　　） A．3 B． C．4 【答案】B 【解答】解：以AD、CD为边作矩形ADCE，连接BE、DE，如图所示： 则AC＝DE， 由题意得：BD2+BE2＝BA2+BC2， 即（）2+BE2＝42+（）2， 解得：BE＝3． 当B、D、E三点共线时，DE最小， ∴AC的最小值＝DE的最小值＝BE﹣BD＝32． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．（2026春•华龙区期末）·【A】如图，点O在数轴原点处，数轴上的点A的坐标是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上截取AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵直线l⊥OA， ∴∠OAB＝90°， ∵OA＝3，AB＝2， ∴， ∵以点O为圆心，OB长为半径作弧交数轴正半轴于点C， ∴， 因此数轴上点C表示的数为． 8．（2026春•芜湖期末）·【A】勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　（11，60，61）　 ． 【答案】（11，60，61） 【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 9．（2026春•岚山区期中）·【B】勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《周脾算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为　110　 ． 【答案】110． 【解答】解：延长AB与KL相交于点O，延长AC与ML相交于点P，如图所示， 由题意得，， 又∵∠FOB＝∠BAC＝90°，∠CBF＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∠ABC+∠OBF＝90°， ∴∠ACB＝∠OBF， 在△ABC和△OFB中， ， ∴△ABC≌△OFB（AAS）， 同理可得，△ABC≌△PCG≌△LGF≌OFB， ∴GP＝FL＝AC＝4，LG＝OF＝AB＝3， 又∵PM＝CH＝AC＝4，KO＝EB＝AB＝3， ∴ML＝4+4+3＝11，KL＝3+3+4＝10． ∴长方形KLMJ的面积为：KL•ML＝10×11＝110． 故答案为：110． 10．（2026春•海陵区校级期末）·【B】将邻边长分别为2，的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无剩余纸片）．有下列数：①；②2；③；④；⑤．其中，可以作为一个等腰三角形的腰长的是　①②③⑤　 （填序号）． 【答案】①②③⑤． 【解答】解：如图所示： 则其中一个等腰三角形的腰长可以是①；②2；③；⑤，而不可以④． 故答案为：①②③⑤． 11．（2026春•新华区校级月考）·【B】如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AC2+BC2＝42+32＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积， ∴AC•BCAC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE， ∴3×4＝4CD+5DE， 解得：CD＝DE， 故答案为：． 12．（2025春•咸丰县期末）·【B】如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　45°　 ． 【答案】45°． 【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F， 由题意得： AB2＝12+32＝10， AE2＝12+22＝5， EB2＝12+22＝5， ∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAE＝45°， ∵BD∥EC， ∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC， ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴∠AFD＝∠ADF， ∵∠AFD是△ABF的一个外角， ∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°， ∴∠ADB﹣∠ABD＝45°， 故答案为：45°． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•望江县期末）·【A】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，CE是AB边上的中线． （1）若∠B＝54°，求∠ECD的度数． （2）若AB＝10，BC＝6，求DE的长． 【答案】（1）∠ECD的度数为18°； （2）DE的长为1.4． （2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用面积法求出CD的长，最后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝54°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝36°， ∵∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线， ∴CE＝BEAB， ∴∠BCE＝∠B＝54°， ∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝18°， ∴∠ECD的度数为18°； （2）在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6， ∴AC8， ∵△ABC的面积AB•CDAC•BC， ∴AB•CD＝AC•BC， ∴10CD＝8×6， 解得：CD＝4.8， ∵CEAB＝5， ∴DE1.4， ∴DE的长为1.4． 14．（2026春•同步）·【A】给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断方桌面的角是直角？ 【答案】根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角． 【解答】解：如图所示： （1）在射线PM上量取PA＝3cm，确定A点，在射线PN上量取PB＝4cm，确定点B； （2）连接AB得△PAB； （3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角． 理由：∵PA＝3cm，PB＝4cm，PA2+PB2＝32+42＝52． 若AB＝5cm，则PA2+PB2＝AB2， 根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角． 15．（2026春•市中区校级单元）·【B】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）下面是直立的长方体火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现的证明勾股定理的一种思路． 如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，此时∠FAC＝90°，AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积完成勾股定理的证明． 【结论应用】 （2）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5km，CH＝1.2km，HB＝0.9km．已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路CH比路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 【答案】（1）∵S梯形BCFG＝S△AFG+S△AFC+S△ACBababc2＝abc2， S梯形BCFG•（FG+BC）•BG（a+b）（a+b）a2+abb2， ∴abc2a2+abb2， 整理得：a2+b2＝c2； （2）新路CH比路CA少0.1千米； （3）8． （2）先求出∠CHA＝90°，再利用勾股定理求出AC的长度，减去CH的长度即可； （3）在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，则CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，则102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，解得：y＝6，利用勾股定理即可得出CH＝8． 【解答】解：（1）由题意，∵S梯形BCFG＝S△AFG+S△AFC+S△ACBababc2＝abc2， S梯形BCFG•（FG+BC）•BG（a+b）（a+b）a2+abb2， ∴abc2a2+abb2， 整理得：a2+b2＝c2； （2）∵∠CHB＝90°， ∴∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， ∴AC1.3（千米）， ∴AC﹣CH＝0.1km， 答：新路CH比路CA少0.1千米； （3）如图， 设AH＝y， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21， 由勾股定理可得CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2， 解得：y＝6， ∴AH＝6， ∴CH8． 16．（2026春•青羊区校级期中）·【B】【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝ a2+b2+2m2 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝ 　　 ； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　m ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】（1）a2+b2+2m2；；； （2）； （3）24． （2）根据Rt△ABC的面积为6，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出Rt△ABC的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含m的式子表示，即可得到m的最大值； （3）设图2中与墙平行的边AB长xm，垂直于墙的边AD长ym．根据（1）中得到的结论：，那么a+b≥2，进而可得所有虚线的和为2x+4y，根据2x+4y≥2，整理可得所有虚线和的最小值． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°． ∴AC2＝AD2+CD2＝a2+m2，BC2＝CD2+BD2＝m2+b2． ∴AC2+BC2＝a2+b2+2m2． ∵AC2+BC2＝（a+b）2， ∴a2+b2+2m2＝a2+b2+2ab． 整理得：m2＝ab． ∴m． 设CE是Rt△ABC的斜边上的中线． ①若△ABC为一般的直角三角形， 则CE＞CD． ②若△ABC为等腰直角三角形． 则CE＝CD． 综上CE≥CD． ∴m． 故答案为：a2+b2+2m2，，m； （2）∵Rt△ABC的面积为6， ∴AB•CD＝6． ∴•m＝6． ∵m， ∴m2≤6． ∵m＞0， ∴m． ∴m的最大值为． （3） 设图2中与墙平行的边AB长xm，垂直于墙的边AD长ym． ∵面积为32平方米， ∴xy＝18． 由（1）得：， ∴a+b≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥24． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为24米． 17．（2026•拱墅区一模）·【B】【阅读理解】定义：我们把满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c叫做一组勾股数．如3，4，5就是一组勾股数．小智同学利用图形探索勾股数的一般形式． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB．设CD＝m，AC＝n（m＜n），BD＝p，BE＝q（其中m，n，p，q都为正整数）．易得DE＝m，AE＝n．由△DEB∽△ACB，可得，即，化简后，获得了关于直角三角形三边关系的漂亮结论：AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）． 【尝试探究】 （1）当m＝1，n＝4时，求AC：BC：AB． （2）设a＝n2﹣m2，b＝2mn，c＝n2+m2，根据前面的定义判断a，b，c是否为一组勾股数，说明理由． 【变式提升】 （3）小智发现，变换m，n的值，能得到无数组勾股数；也可以根据勾股数还原m，n的值，构造相应的图形．若已知一组勾股数a＝7，b＝24，c＝25，求m，n的值． 【答案】（1）15：8：17； （2）是勾股数，理由如下： 由题意得，a2+b2＝（n2﹣m2）2+（2mn）2＝n4﹣2m2n2+m4+4m2n2＝n4+2m2n2+m4＝（n2+m2）2＝c2， ∵m，n为正整数，且m＜n， ∴a，b，c均为正整数，是一组勾股数； （3）m＝3，n＝4． （2）依据题意得，a2+b2＝（n2﹣m2）2+（2mn）2＝n4﹣2m2n2+m4+4m2n2＝n4+2m2n2+m4＝（n2+m2）2＝c2，又m，n为正整数，且m＜n，故a，b，c均为正整数，是一组勾股数，从而得解； （3）依据题意，由n2﹣m2＝7，n2+m2＝25，则2n2＝32，则n＝4；2m2＝18，则m＝3，即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，当m＝1，n＝4时， ∴AC：BC：AB＝（n2﹣m2）：2mn：（n2+m2）＝（16﹣1）：8：（16+1）＝15：8：17； （2）是勾股数，理由如下： 由题意得，a2+b2＝（n2﹣m2）2+（2mn）2＝n4﹣2m2n2+m4+4m2n2＝n4+2m2n2+m4＝（n2+m2）2＝c2， ∵m，n为正整数，且m＜n， ∴a，b，c均为正整数，是一组勾股数； （3）由n2﹣m2＝7，n2+m2＝25， ∴2n2＝32，则n＝4；2m2＝18，则m＝3． ∴2mn＝24＝b，符合题意． 18．（2026春•海淀区校级月考）·【B】在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC 的三边长分别是，和2，因为，所以△ABC是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”． 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法　正确　 ；（填“正确”或“错误”） （2）已知△ABC的其中两边长分别为1、2，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为　或　 ； （3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的代数式表示其周长． 【答案】（1）正确； （2）或； （3）周长为：． （2）分三种情况讨论求解并进行验证即可； （3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果． 【解答】解：（1）设等边三角形三边长分别是a，b，c，则a＝b＝c， ∴a2+b2＝2c2． ∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确， 故答案为：正确； （2）设另一边长为x， ①12+22＝2x2，解得x，符合题意； ②12+x2＝2×22，解得，符合题意； ③x2+22＝2×12，解得x＝0（不合题意，舍去）； 故答案为：或； （3）∵x＜y＜z， ∴x2＜y2＜z2， ∴y2+z2＞2x2，x2+y2＜2z2， ∴x2+z2＝2y2， ∵x2+y2＝z2， ∴y2z2， ∴x2z2． ∴zx，yx． ∴周长为：（1）x． 19．（2025秋•兴隆县期末）·【C】如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【答案】见试题解答内容 （2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可； （3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t； ②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12（cm），易求得t； ③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， ∵∠B＝90°， PQ2（cm）； （2）解：根据题意得：BQ＝BP， 即2t＝8﹣t， 解得：t； 即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； （3）解：分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ ∴BQ＝AQ， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10（cm）， ∴CQ＝AQAC＝5（cm）， ∴BC+CQ＝11（cm）， ∴t＝11÷2＝5.5秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12（cm）， ∴t＝12÷2＝6秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE4.8（cm） ∴CE3.6cm， ∴CQ＝2CE＝7.2cm， ∴BC+CQ＝13.2cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 20．（2026春•长乐区期末）·【C】阅读材料，解答问题： 背景 如图，在勾股定理的学习过程中，我们知道，把4张全等的直角三角形纸片拼成以弦长c为边长的正方形“弦图”，利用图形面积的不同计算方法可以验证直角三角形的勾股定理：a2+b2＝c2． 应用 （1）其他图形的计算，可以通过转化为直角三角形解决问题．如△ABC是等边三角形，且边长为4，则可求出△ABC的面积． 探究 （2）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，请利用勾股定理推导出a，b，c之间的等量关系． 验证 （3）参考用“弦图”验证勾股定理的证明方法，请用n个如图所示的三角形，画出拼图并利用面积的不同算法，验证探究（2）中得出的含60°角的三角形三边a，b，c之间的等量关系． 请完成材料中应用、探究、验证的解答过程． 【答案】（1）； （2）a2+c2＝b2+ac； （3）用3个含60°角的三角形拼成一个边长为a+c的等边三角形ABC，如图3所示： 则△DEF是一个边长为b的等边三角形， 过点A作AH⊥BC于点H，FK⊥DE于点K，ET⊥BC于点T， ∴∠AHB＝∠FKE＝∠ETB＝90°， 根据等边三角形性质得：BHBC，EKDE， 在Rt△AHB中，∠AHB＝90°， 由勾股定理得AH， ∴S△ABCBC•AH， 在Rt△FKE中，∠FKE＝90°， 由勾股定理得：FK， ∴S△DEFDE•FK， 在Rt△ETB中，∠ETB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BET＝30°， ∴BTBE， 由勾股定理得：ET， ∴S△BDEBD•ET， ∵S△ABC＝3S△BDE+S△DEF， ∴， 整理得：a2+c2＝b2+ac． （2）过点A作AN⊥BC于点N，在Rt△ANB中，根据∠BAN＝30°得BNAB，再由勾股定理得AN，则CN，在Rt△ACN中，由勾股定理得AC2＝AN2+CN2，即，整理得a2+c2＝b2+ac； （3）用3个含60°角的三角形拼成一个边长为a+c的等边三角形ABC，则△DEF是一个边长为b的等边三角形，过点A作AH⊥BC于点H，FK⊥DE于点K，ET⊥BC于点T，先由勾股定理求出AH得S△ABCBC•AH，再由勾股定理求出FK得S△DEFDE•FK，在Rt△ETB中，根据∠BET＝30°得BTBE，由勾股定理得ET，进而得S△BDEBD•ET，然后由S△ABC＝3S△BDE+S△DEF得，整理得a2+c2＝b2+ac． 【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，如图1所示： ∴∠AMB＝90°， ∵△ABC是等边三角形，且边长为4， ∴AB＝BC＝4， ∵AM⊥BC于点M， ∴BM＝1/2BC＝2， 在Rt△AMB中，∠AMB＝90°， 由勾股定理得：AM， ∴△ABC的面积为：BC•AM； （2）过点A作AN⊥BC于点N，如图2所示： ∴∠ANB＝∠ANC＝90°， 在Rt△ANB中，∠ANB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAN＝30°， ∴BNAB， 由勾股定理得：AN， ∴CN＝BC﹣BN， 在Rt△ACN中，∠ANC＝90°， 由勾股定理得：AC2＝AN2+CN2， ∴， ∴b2＝a2+c2﹣ac， 即a2+c2＝b2+ac； （3）用3个含60°角的三角形拼成一个边长为a+c的等边三角形ABC，如图3所示： 则△DEF是一个边长为b的等边三角形， 过点A作AH⊥BC于点H，FK⊥DE于点K，ET⊥BC于点T， ∴∠AHB＝∠FKE＝∠ETB＝90°， 根据等边三角形性质得：BHBC，EKDE， 在Rt△AHB中，∠AHB＝90°， 由勾股定理得：AH， ∴S△ABCBC•AH， 在Rt△FKE中，∠FKE＝90°， 由勾股定理得：FK， ∴S△DEFDE•FK， 在Rt△ETB中，∠ETB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BET＝30°， ∴BTBE， 由勾股定理得：ET， ∴S△BDEBD•ET， ∵S△ABC＝3S△BDE+S△DEF， ∴， 整理得：a2+c2＝b2+ac． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $