第三章 勾股定理基础过关自测卷-2026-2027学年苏科版八年级数学上册《知识解读·题型专练》

第三章 勾股定理基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．3，5，7 B．5，13，13 C．7，24，25 D．15，16，5 2．如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．一个直角三角形的一条直角边长12，斜边长13，则另外一条直角边长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C．D． 5．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，在数轴上点A 表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 7．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 8．如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（    ） A． B． C． D． 9．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为，的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法正确的是（     ） A．拼接前后图形的总面积改变 B．拼接后大正方形的边长 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．在中，，，，则的长为_____ ． 12．2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 13．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管的长度为（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则这根吸管露在外面最短是__________. 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．小区里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被居民踏出了一条小路（如图），已知，则居民走小路比沿草坪边缘走近多少米？ 16．如图所示的一块草地．已知，，，，且，求这块草地的面积． 17．如图，在中，，点是延长线上的点，连接． (1)若，，，求的长； (2)若平分，，，求的面积． 18．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 19．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 20．有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 21．数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 勾股定理基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．3，5，7 B．5，13，13 C．7，24，25 D．15，16，5 【答案】C 【分析】验证各选项中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方，即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意； C、∵，，∴，∴能组成直角三角形，故选项符合题意； D、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意． 2．如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得，． 3．一个直角三角形的一条直角边长12，斜边长13，则另外一条直角边长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：一个直角三角形的一条直角边长12，斜边长13，则另外一条直角边长为． 4．勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 5．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 6．如图，在数轴上点A 表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由勾股定理得 ∴在数轴上点A 表示的实数是． 7．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 8．如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 9．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 10．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为，的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法正确的是（     ） A．拼接前后图形的总面积改变 B．拼接后大正方形的边长 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】D 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A．由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法错误，不符合题意； B．∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法错误，不符合题意； C．拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，不符合题意； D．∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，符合题意． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．在中，，，，则的长为_____ ． 【答案】5 【详解】解：在中，，，， ． 12．2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里和海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 13．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管的长度为（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则这根吸管露在外面最短是__________. 【答案】 【分析】要让这根吸管漏在外面的部分最短，就需要让吸管在罐体内的部分长度达到最大值，当吸管从上方小圆孔斜插到下底面的边缘时，罐内的吸管长度最长，此时这条线段是直角三角形的斜边，一条直角边为圆柱的高，另一条直角边为圆柱的底面半径，因此根据勾股定理，可以解得吸管在罐内的最长长度，用总长度减去罐内的最长长度即为露在外面的最短长度． 【详解】解：根据勾股定理，吸管在罐内的最长长度为， 吸管的总长度为， 吸管露在外面的最短长度为． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．小区里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被居民踏出了一条小路（如图），已知，则居民走小路比沿草坪边缘走近多少米？ 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，然后计算与的差即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴居民走小路比沿草坪边缘走近． 16．如图所示的一块草地．已知，，，，且，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，首先利用勾股定理求出，然后证明，然后求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴这块草地的面积． 17．如图，在中，，点是延长线上的点，连接． (1)若，，，求的长； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)4 (2)54 【分析】（1）利用勾股定理求出，，然后求解即可； （2）首先利用角平分线的性质定理得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：过作交于点，如图， 平分，， ， ． 18．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 19．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2) 解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）略 20．有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受台风影响． 理由： 已知，，， 满足， 根据勾股定理逆定理，可得是直角三角形，且． 过点C作于D， 利用直角三角形的面积公式：， 代入数值计算：， 解得． ∵台风影响范围是以内，， 即点C到台风移动路线的最短距离小于台风影响半径， ∴海港C会受台风影响． (2)台风影响该海港的持续时间为7小时． 【分析】（1）首先根据三角形三边长度，用勾股定理逆定理判断的形状，确定为直角过点作的垂线段，利用直角三角形面积的两种计算方法求出到的最短距离，再将该距离与比较，判断海港是否受影响． （2）若受影响，以为圆心、为半径作圆，该圆与交于两点，计算两点间的弦长，再用弦长除以台风速度，得到影响持续时间． 【详解】（1）略． （2）解：设台风中心在上的E点时，（海港C刚进入受影响状态），移动到F点时，（海港C刚脱离受影响状态）， 则就是台风影响海港时台风中心移动的路程． 在中，由勾股定理得： 由等腰三角形三线合一（），可得． 已知台风速度为， 因此影响持续时间为：． 21．数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)；； (2)证明：由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (3) 【分析】（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设 ，故，又在中,由列式计算得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $