第3章 勾股定理单元自测培优卷- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理单元自测培优卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：苏科版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为边长的直角三角形的第三边长为（   ） A．5 B．7 C． D．或5 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x，y的值，再分两种情况结合勾股定理计算直角三角形第三边长． 解：∵，，且 ∴， 解得， 分两种情况讨论： ①若，均为直角边，第三边为斜边 由勾股定理得，第三边长为 ②若为斜边，为直角边，第三边为另一条直角边 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为或． 2．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】由题意可知，，由阴影部分的面积，可知阴影部分的边长为7，进而得出，再利用勾股定理，求出，即可求解． 解：由题意可知，， 阴影部分的面积是49， 阴影部分的边长为7， ， ， 即大正方形的边长是13． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．线段的顶点、均在格点上，若点也在图中的格点上，且是以为腰的等腰三角形，则点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算的长，分和两种情况，结合网格特点寻找满足条件的格点C的个数． 解：由图可知，网格小正方形边长为1， 根据勾股定理得：， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况讨论： 若，在网格中，满足的格点C需满足为长为3、宽为1的矩形的对角线， 观察图形，点A左侧3格，上方1格处有一点， 则满足的格点C有1个； 若，在网格中，满足的格点C需满足为长为3、宽为1的矩形的对角线， 观察图形，点B右侧1格、上方3格处有一点，点B左侧1格、上方3格处有一点， 则满足的格点C有2个， 综上所述，满足条件的点C共有个． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，证明是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 解：如图，过点作于点， 依题意， ∴，， ∴ ∵折叠 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 5．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，一圆柱体底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，沿将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：如图所示，沿将圆柱侧面展开， 由题意得，， 线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故选：D． 6．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可. 解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 7．（25-26八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理得到． 由正方形的面积公式得到，，由勾股定理得到，于是得到，因此，而，得到，即可得到是定值． 解：∵正方形的面积为x，正方形的面积为y， ∴，， ∵， ∴， ∵H是边上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的面积为定值， ∴是定值． 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级下·吉林·阶段检测）如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质；根据勾股定理求得的长，进而根据平移的性质可得，即可求解． 解：在中，，， ， 将沿方向平移得到，点是的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ． 10．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段检测）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》，该诗词翻译后的示意图中，表示秋千的绳索，，，则该秋千的索长______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理解即可． 解：设，则， 在中，， ∴ ， 解得， 故答案为：． 11．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 12．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， 购买地毯需花费（元）． 13．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 【答案】 【分析】连接，易得，进而得到，根据垂线段最短得到当时，最小，此时的值最小，三线合一结合勾股定理进行求解即可． 解：连接， ∵等边，，是的平分线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， 又∵点是上的动点， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 14．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是______．    【答案】/ 【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， 的取值范围是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 15．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，已知等腰中，，，点O为的中点，将绕点O顺时针方向旋转到，点E、A、D、C在同一直线上，与相交于点G，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和的度数，利用邻补角定义求出的度数，根据旋转的性质得出的度数，进而证明，在中利用含度角的直角三角形性质求出的长，最后利用等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的性质及勾股定理即可求出的长． 解：连接， ，， ， 点、、、在同一直线上， ， 由旋转的性质得， 在中，， ， 在中，，， ， ，点为的中点， ， 即， ∵， ， 在中，， ， （负值舍去）． 16．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，是边长为7的等边三角形，D，E分别为，上两点，连接，交于点F，连接，若，，则______． 【答案】 【分析】作于点，证明，推出，推出，，再证明，得到，在中，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 解：作于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：，负值舍去， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17.（6分）（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）如图，在中，，于．若，， （1）求的长度； （2）求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边； （2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高． （1）解：，，， ． （2）解：，，，， ， ， 解得． 18.（6分）（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． （1）若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． （2）请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 【答案】（1），或；（2） 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． （1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 19.（8分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． （1）求证：是直角三角形； （2）如图，若D为的中点，求证：； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得，证明，即可证明结论. 解：（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， . 20.（8分）（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，，，若，． （1）求证：； （2）若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，从而证明勾股定理． 【答案】（1）证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴，，． ∵四边形为直角梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）先根据“”证明，得到，根据，得到，从而，即可得证结论； （2）根据得到，，．由四边形为直角梯形，得到，又，即可得出，化简得． 解：（1）略 （2）略 21.（8分）（25-26八年级上·湖南长沙·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． （1）根据以上操作，求风筝的垂直高度； （2）如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 【答案】（1）米；（2）米 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）由题意可得，，，根据勾股定理求出，即可； （2）由题意可得，，求出，根据勾股定理求出，即可得到他应该往回收线的距离． （1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， ∴（米）， 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该往回收线米． 22.（8分）（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． （1）求证：； （2）求的长； （3）求的面积． 【答案】（1）证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2） （3）6 【分析】（1）利用即可证明； （2）可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，据此根据三角形的面积公式求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵是的中线， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 23.（8分）（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知：在中，，，，左右作平行移动的等边三角形的两个顶点、始终在射线上，射线、射线分别与射线相交于点、． （1）如图1，当点与点重合时，点恰好在斜边上，求的周长； （2）如图2，当顶点、都在线段上时，图中是否存在与线段始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； （3）假设点与点的距离为，求与的重叠部分的面积．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）结论： 证明：，由（1）可知：， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】（1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长； （2）由（1）可知：，进一步得到，再证明，利用，即可证明； （3）求出，，根据与的重叠部分的面积，即可求解． （1）解：在中，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的周长为； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， ∴ ∴, ∴， ∵， ∴ 由（2）可得 ∴， ∴， ∴与的重叠部分的面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理单元自测培优卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：苏科版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为边长的直角三角形的第三边长为（   ） A．5 B．7 C． D．或5 2．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2026·陕西宝鸡·二模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．线段的顶点、均在格点上，若点也在图中的格点上，且是以为腰的等腰三角形，则点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（    ） A．2 B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，一圆柱体底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 7．（25-26八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级下·吉林·阶段检测）如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 10．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段检测）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》，该诗词翻译后的示意图中，表示秋千的绳索，，，则该秋千的索长______． 11．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 12．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 13．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 14．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是______．    15．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，已知等腰中，，，点O为的中点，将绕点O顺时针方向旋转到，点E、A、D、C在同一直线上，与相交于点G，若，则的长为______． 16．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，是边长为7的等边三角形，D，E分别为，上两点，连接，交于点F，连接，若，，则______． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17.（6分）（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）如图，在中，，于．若，， （1）求的长度； （2）求的长度． 18.（6分）（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． （1）若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． （2）请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 19.（8分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． （1）求证：是直角三角形； （2）如图，若D为的中点，求证：； 20.（8分）（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，，，若，． （1）求证：； （2）若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，从而证明勾股定理． 21.（8分）（25-26八年级上·湖南长沙·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． （1）根据以上操作，求风筝的垂直高度； （2）如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 22.（8分）（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． （1）求证：； （2）求的长； （3）求的面积． 23.（8分）（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知：在中，，，，左右作平行移动的等边三角形的两个顶点、始终在射线上，射线、射线分别与射线相交于点、． （1）如图1，当点与点重合时，点恰好在斜边上，求的周长； （2）如图2，当顶点、都在线段上时，图中是否存在与线段始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； （3）假设点与点的距离为，求与的重叠部分的面积．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $