3.1 勾股定理的探究（知识解读）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册《知识解读·题型专练》

3.1 勾股定理的探究（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 题型 1··利用勾股定理求边长】 1 【题型 2·以直角三角形三边为边长的图形面积】 3 【题型 3·利用勾股定理证平方关系】 6 【题型 4·勾股定理常见模型之赵爽弦图】 10 【题型 5·勾股定理与无理数】 15 【题型 6·勾股定理常见模型之斜边上的高】 19 【随堂检测】 21 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 题型 1··利用勾股定理求边长】 【例1】如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为8和15， ∴斜边长为． 【变式1-2】如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（   ） A．60米 B．80米 C．100米 D．米 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的长为100米，的长为80米， ∴米， ∴点和点之间的距离为60米． 【变式1-3】如图，在中，是边上的高，，，．则的长为（    ） A．5 B．3 C．13 D． 【答案】D 【分析】首先得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的高， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴． 【题型 2·以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例2】如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 【变式2-1】以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（  ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 【变式2-2】如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（   ） A．52 B．76 C．100 D．124 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，． 在中． 所以阴影部分的面积． 【变式2-3】如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为，和，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据图形结合勾股定理可知：大半圆的面积等于两个小半圆的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为、、，则， 由图可知，，，， ， 故选：C． 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 【题型 3·利用勾股定理证平方关系】 【例3】对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 【变式3-1】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) 证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 【变式3-2】完成下面的问题： (1)问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； (2)问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴、、、都是直角三角形， 由勾股定理可得，，，，， ∴； (2)米 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）利用勾股定理与等量代换可得，结合为的中点可得米． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，，，，都是直角三角形， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， 又∵为的中点，即， ∴， ∴米． 答：骑行小道的长为米． 【变式3-3】在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 【题型 4·勾股定理常见模型之赵爽弦图】 【例4】4如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【变式4-1】手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 【变式4-2】出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【答案】（1）； （2）， ， ； （3）24 【分析】此题考查了勾股定理的证明和完全平方公式的应用，数形结合是关键． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）根据题意得到，整理即可得结论； （3）由（2）得到，由旋转得到，求出，由得到，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． ∴由此得到等式：； 故答案为；； （2）略 （3）是直角三角形，，，，， ， 绕点顺时针旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-3】勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 【答案】(1) (2) 证明：图形的总面积可以表示为或， ， ． 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合． （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：设斜边的长为， 由题意，得：，， ， ， 小正方形的面积为：； （2）略 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【题型 5·勾股定理与无理数】 【例5】如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【详解】（1）解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． （2）解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． 【变式5-1】我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 【变式5-2】在图1和图2所示的网格中，已知每个小正方形的边长均为1． (1)图1中长方形的面积是_____，与长方形面积相等的正方形的边长是_____； (2)在图2的数轴上作出（1）中正方形所对应边长的对应数值（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)2； (2) 点P即为所求： 【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式以及算术平方根的定义求解； （2）以点O为圆心，以小正方形的对角线为半径画弧，交数轴于点P即可． 【详解】（1）解：图1中长方形的面积是； ∴与长方形面积相等的正方形的边长是； （2）． 【变式5-3】如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 如图，点为所求； (3) 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）略 （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 【题型 6·勾股定理常见模型之斜边上的高】 【例6】在中，是边上的高，，是边上一点，是的中点，连接，，若，，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意易证得，则，设，则及，进而得到、，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，据此列方程求解即可． 【详解】解： 是的外角 设，则 、 是边上的高 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： 解得或（舍去） 故答案为：4． 【变式6-1】如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，正确得出的长是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：直角三角形两直角边，， ， ， 则， 解得：． 故答案为：． 【变式6-2】在中，，是边上的高，，则等于____    【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，由，结合，可求出的长；然后利用勾股定理解得． 【详解】解： 是边上的高，，， ， 故答案为：6 【变式6-3】在中，，是斜边上的高，，，则的长为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，是斜边上的高，，， ∴， ∵， ∴ 解得， 在中，． 随堂检测 【随堂检测】 1．在中， ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 2．如图，数轴上点A所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理可得，正方形的对角线为，从而可得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理可得，正方形的对角线为：， ∴点表示的数为：． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 4．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形的面积分别为1和5，则正方形的面积为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：由图可知，正方形、的边长分别为直角三角形的两条直角边长，正方形的边长为斜边长． 正方形的面积等于边长的平方， 根据勾股定理可得： ， ， ． 5．如图，在中，，，，，那么的长为（    ）    A．1 B．2.4 C．3 D．4.8 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用三角形面积公式是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 故答案为：D． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴，即 ∴． 7．现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面的高度，则此时的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 在中，． 8.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：∵将右半部分翻转，大小不变， ∴，故C正确； ∵，故D不正确， ，故B正确， ∴ ， ∴，故A正确． 故选：D． 9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 10．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角．如图，其中，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗站立时高度_______． 【答案】 【分析】作，交于点H，根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点B作，交于点H， ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， ∴． 11．在数轴上作出表示的点． 【答案】如图，点A即为所求． 【分析】根据，再利用尺规作图即可求解． 【详解】略 12．小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．他进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．若小明牵线放风筝手到地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1)风筝的垂直高度AD的长为米； (2)他应该再放出8米线． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）依题意，得，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意，得，米， 在中，米，米， （米）， （米）， 答：风筝的垂直高度的长为米； （2）解：风筝沿方向再上升12米，则（米）， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 勾股定理的探究（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1··利用勾股定理求边长】 1 【题型 2·以直角三角形三边为边长的图形面积】 2 【题型 3·利用勾股定理证平方关系】 4 【题型 4·勾股定理常见模型之赵爽弦图】 6 【题型 5·勾股定理与无理数】 9 【题型 6·勾股定理常见模型之斜边上的高】 10 【随堂检测】 11 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 题型 1··利用勾股定理求边长】 【例1】如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式1-2】如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（   ） A．60米 B．80米 C．100米 D．米 【变式1-3】如图，在中，是边上的高，，，．则的长为（    ） A．5 B．3 C．13 D． 【题型 2·以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例2】如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【变式2-1】以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（  ） A．6 B．4 C．2 D．8 【变式2-2】如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（   ） A．52 B．76 C．100 D．124 【变式2-3】如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为，和，则为（    ） A． B． C． D． 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 【题型 3·利用勾股定理证平方关系】 【例3】对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【变式3-1】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【变式3-2】完成下面的问题： (1)问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； (2)问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 【变式3-3】在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【题型 4·勾股定理常见模型之赵爽弦图】 【例4】4如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【变式4-1】手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【变式4-2】出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【变式4-3】勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【题型 5·勾股定理与无理数】 【例5】如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-1】我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【变式5-2】在图1和图2所示的网格中，已知每个小正方形的边长均为1． (1)图1中长方形的面积是_____，与长方形面积相等的正方形的边长是_____； (2)在图2的数轴上作出（1）中正方形所对应边长的对应数值（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式5-3】如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【题型 6·勾股定理常见模型之斜边上的高】 【例6】在中，是边上的高，，是边上一点，是的中点，连接，，若，，则的长为_______． 【变式6-1】如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为______． 【变式6-2】在中，，是边上的高，，则等于____    【变式6-3】在中，，是斜边上的高，，，则的长为______． 随堂检测 【随堂检测】 1．在中， ，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点A所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 4．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形的面积分别为1和5，则正方形的面积为（    ） A． B．3 C．4 D．6 5．如图，在中，，，，，那么的长为（    ）    A．1 B．2.4 C．3 D．4.8 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面的高度，则此时的长度为（   ） A． B． C． D． 8.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 10．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角．如图，其中，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗站立时高度_______． 11．在数轴上作出表示的点． 12．小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．他进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．若小明牵线放风筝手到地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $