3.1 勾股定理的探究 题型专练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以题型专练为框架，通过典例引领+分层举一反三，系统覆盖勾股定理的7大应用场景，梯度设计兼顾基础巩固与思维进阶，适配新授课知识内化与能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一知识点直接应用（如基础面积计算、直角边求斜边）|典例示范核心方法，举一反三1-2题通过图形变式强化理解| |能力提升|变式应用与关联知识（如网格计算、数轴表示无理数）|结合网格、数轴等情境，训练几何直观与空间观念| |综合拓展|综合探究与实际情境（如弦图证明、动态问题）|融入赵爽弦图证明、动态问题探究，培养推理能力与创新意识|

苏科版（2024）八年级上册 3.1 勾股定理的探究 题型专练 【题型1】利用勾股定理解决图形面积问题 【典例】如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，，，则（    ） A.9 B.12 C.15 D.144 【举一反三1】如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c这3个正方形的面积和为(　　) A.10   B.15   C.22   D.12 【举一反三2】如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为      ． 【举一反三3】如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则      ． 【举一反三4】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积. 【题型2】利用勾股定理求线段长 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，BC＝12，则AB的长为（　　） A.5 B.12 C.13 D.15 【举一反三1】在Rt△ABC中．∠C＝90°，a＝5，b＝12，则点C到AB边的距离为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 　   　． 【举一反三3】如图，∠C=90°，AB∥CD，AB=5，CD=11，AC=8，点E是BD的中点，则AE的长为　　　　.  【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积． 【举一反三5】如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，AC＝13cm，CD＝5cm． 求AD的长和△ABC的面积． 【题型3】利用勾股定理在数轴上表示无理数 【典例】如图，根据尺规作图痕迹，判断点M在数轴上表示的数是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，在数轴上点O为原点，将线段OA逆时针旋转，第一次与数轴相交于点A′时，点A′所表示的数是（　　） A.﹣3 B. C.﹣4 D. 【举一反三2】如图，数轴上的点A表示的数是0，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为(　　) A.2.8   B.    C.-1    D.+1 【举一反三3】如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为　　　.  【举一反三4】如图，已知数轴上点A，O，B分别表示数－1，0，1.分别以点O，B为圆心，OB长为半径画弧，两条弧交于点C；以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为　　　　　　. 【举一反三5】在数轴上画出对应的点. 【题型4】网格中的勾股定理 【典例】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　) A.5   B.6 C.7   D.25 【举一反三1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，小方格的面积是，则图中以格点为端点且长度为的线段有（   ） A.条 B.条 C.条 D.条 【举一反三3】如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为      ． 【举一反三4】如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为1，点A，D在格点上，点B在网格线上，线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，则BD的长是　　　.  【举一反三5】操作与探究 (1)如图是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形(内部的粗实线表示分割线)，请你在网格中画出拼接成的大正方形； (2)如果(1)中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c.请你利用图中拼成的大正方形证明勾股定理. 【举一反三6】如图中均为边长为1的正方形方格，在方格纸中画一条线段AB，使得AB的长为. 【题型5】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典例】在中，，则的值为（   ） A.9 B.9或7 C.9或41 D.41 【举一反三1】在中，若，则下列式子成立的是(   ) A. B. C. D. 【举一反三2】在中，斜边，则的值为（  ） A.6 B.9 C.18 D.36 【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝　　　　. 【举一反三4】如图，中，，，点D、E在AB上，且，，垂足为F，EF的延长线与AC相交于点G． (1)在图中找出与线段CD相等的线段，并证明； (2)写出线段AE，BE，EG之间的数量关系，并证明． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，BC=3 cm，动点P从点A出发，沿射线AC，以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t s. (1)求AC的值； (2)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 【题型6】勾股定理的证明 【典例】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：      ； 【举一反三3】课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有      ．（填序号）    【举一反三4】图中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理. 【举一反三5】1876年，美国第20任总统仰菲尔德利用以下图形给出了一种证明勾股定理的方法，你能利用它证明勾股定理吗？写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 【题型7】与“弦图”有关的计算 【典例】“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现.如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成.连接FH，DF，若FH=，DF=，则大正方形ABCD的边长为(　　) A.5   B.    C.    D. 【举一反三1】某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3.若S1+S2+S3=75，则EF的长是(　　) A.2    B.4   C.5   D.5 【举一反三2】如图，以Rt△ABC的三边为边长往外画正方形，以AB，AC为边长的两个正方形的面积分别为225，289，则BC长为　　.  【举一反三3】如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，直角三角形的两直角边之比为5比12，求小正方形的面积． 【举一反三4】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2=a2+b2；(2分) (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度.(3分) 苏科版（2024）八年级上册 3.1 勾股定理的探究 题型专练（参考答案） 【题型1】利用勾股定理解决图形面积问题 【典例】如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，，，则（    ） A.9 B.12 C.15 D.144 【答案】D 【解析】在中，由勾股定理得，， ， ，， ， 故选：D 【举一反三1】如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c这3个正方形的面积和为(　　) A.10   B.15   C.22   D.12 【答案】B 【解析】 如图所示， ∵1号，2号，a三个四边形均为正方形， ∴∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠DCE=90°， ∴∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CDE中，∠CBA=∠EDC=90°，∠BAC=∠DCE，AC=CE， ∴△ABC△CDE(AAS)， ∴BC=DE， ∴AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， ∴正方形a的面积等于1号正方形的面积加上2号正方形的面积， 即Sa=S1+S2， 同理可得，Sb=S2+S3，Sc=S3+S4， ∴Sa+Sb+Sc=S1+S2+S2+S3+S3+S4=7+4+4=15. 【举一反三2】如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为      ． 【答案】10 【解析】正方形的面积等于， 即， 正方形的面积为， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ． 故答案是：10． 【举一反三3】如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则      ． 【答案】3 【解析】连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【举一反三4】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积. 【答案】 解　如图， 根据题意得BC=5，AC2=29，∠ABC=90°，AB=CD， ∴AB==2， ∴CD=2， ∴S△ADC=CD·AB=2， ∴阴影部分的面积为29-4×2=21. 【题型2】利用勾股定理求线段长 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，BC＝12，则AB的长为（　　） A.5 B.12 C.13 D.15 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， 由勾股定理得：， 所以AB13； 故选：C． 【举一反三1】在Rt△ABC中．∠C＝90°，a＝5，b＝12，则点C到AB边的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设点C到AB边的距离为x， 由勾股定理得：A， ∴A， ∵Rt△ABC的面积AB•xab， ∴13x＝12×5， ∴x， ∴点C到AB边的距离为． 故选：A． 【举一反三2】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 　   　． 【答案】14或4 【解析】（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12， ∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12， ∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25， ∴CD＝5， 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81， ∴CD＝9， ∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14； （2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得 CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25， ∴CD＝5， 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81， ∴BD＝9， ∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4． 故答案为14或4． 【举一反三3】如图，∠C=90°，AB∥CD，AB=5，CD=11，AC=8，点E是BD的中点，则AE的长为　　　　.  【答案】 5 【解析】 延长AE交DC于点F，如图， ∵点E是BD的中点， ∴BE=ED， 又∵AB∥CD， ∴∠B=∠D，∠BAE=∠DFE， ∴△ABE△FDE， ∴AE=EF，DF=AB=5， ∴CF=DC-DF=11-5=6， 又∵∠C=90°， ∴AF===10， ∴AE=EF=AF=5. 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积． 【答案】解：设AB＝x，则BC＝x﹣1， 在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2， 故x2＝52+（x﹣1）2， 解得：x＝13， 即AB＝13． ∴BC＝12， ∴SRt△ABCAC•BC5×12＝30． 【举一反三5】如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，AC＝13cm，CD＝5cm． 求AD的长和△ABC的面积． 【答案】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴A144， ∴AD12（cm）， ∵∠BAD＝45°，∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝12cm， ∴BC＝BD+CD＝17（cm）， ∴△ABC的面积为： 102（cm2）． 【题型3】利用勾股定理在数轴上表示无理数 【典例】如图，根据尺规作图痕迹，判断点M在数轴上表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】2+1＝3， ， 故选：B． 【举一反三1】如图所示，在数轴上点O为原点，将线段OA逆时针旋转，第一次与数轴相交于点A′时，点A′所表示的数是（　　） A.﹣3 B. C.﹣4 D. 【答案】B 【解析】 根据题意得，， 由旋转可知，， 所以，点A′所表示的数是， 故选：B． 【举一反三2】如图，数轴上的点A表示的数是0，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为(　　) A.2.8   B.    C.-1    D.+1 【答案】B 【解析】 ∵AB=1-0=1，BC=2，CB⊥AB， ∴AC===， ∴AD=AC=， ∴点D表示的数为. 【举一反三3】如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为　　　.  【答案】 1- 【解析】 ∵正方形的边长为1， ∴正方形的对角线为， ∴M表示的数是1-. 【举一反三4】如图，已知数轴上点A，O，B分别表示数－1，0，1.分别以点O，B为圆心，OB长为半径画弧，两条弧交于点C；以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为　　　　　　. 【答案】 －1 【解析】 如图，连接CO，BC，过点C作CE⊥AB于点E， 由作图可得BO＝BC＝CO＝1， ∴△BOC是等边三角形， ∵CE⊥AB， ∴∠CEO＝90°，OE＝BO＝×1＝， ∴CE＝. ∵点A表示的数是－1，点O表示的数是0， ∴AO＝1， ∴AE＝AO＋OE＝， ∴在Rt△ACE中，AC＝， ∴AD＝AC＝， ∴OD＝AD－AO＝－1， ∴点D表示的数为－1. 【举一反三5】在数轴上画出对应的点. 【答案】 解　如图，画一个直角边分别为3和1的直角三角形. 由勾股定理知，斜边为=.以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则A为对应的点. 【题型4】网格中的勾股定理 【典例】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　) A.5   B.6 C.7   D.25 【答案】A 【解析】 如图所示， AB==5. 【举一反三1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】观察题图，得，则， 由勾股定理，得，， ， 故选：D. 【举一反三2】如图，小方格的面积是，则图中以格点为端点且长度为的线段有（   ） A.条 B.条 C.条 D.条 【答案】A 【解析】如图所示，共4条． 故选：A． 【举一反三3】如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为      ． 【答案】 【解析】由勾股定理可得，， ∴， 由网格可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为1，点A，D在格点上，点B在网格线上，线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，则BD的长是　　　.  【答案】 【解析】 连接AC，BC，DB，CD，如图所示. ∵线段AB的垂直平分线恰好经过格点C， ∴BC=AC==， 在Rt△CBD中，BD2=BC2-CD2=26-16=10， ∴BD的长是. 【举一反三5】操作与探究 (1)如图是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形(内部的粗实线表示分割线)，请你在网格中画出拼接成的大正方形； (2)如果(1)中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c.请你利用图中拼成的大正方形证明勾股定理. 【答案】 (1)解　如图所示，即为拼接成的大正方形. (2)证明　∵S大正方形＝4×ab＋(b－a)2 ＝2ab＋b2－2ab＋a2 ＝a2＋b2， 又∵S大正方形＝c2， ∴a2＋b2＝c2. 【举一反三6】如图中均为边长为1的正方形方格，在方格纸中画一条线段AB，使得AB的长为. 【答案】 解　如图，利用AB===画出AB.(答案不唯一) 【题型5】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典例】在中，，则的值为（   ） A.9 B.9或7 C.9或41 D.41 【答案】C 【解析】解：①当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， 此时； ②当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； 综上，的值为9或41． 故选：C． 【举一反三1】在中，若，则下列式子成立的是(   ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【举一反三2】在中，斜边，则的值为（  ） A.6 B.9 C.18 D.36 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，AB为斜边， ∴==9 ∴=2=18 故选C. 【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝　　　　. 【答案】 50 【解析】 ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边. ∵AB＝5， ∴AB2＋AC2＋BC2＝2AB2＝2×52＝50. 【举一反三4】如图，中，，，点D、E在AB上，且，，垂足为F，EF的延长线与AC相交于点G． (1)在图中找出与线段CD相等的线段，并证明； (2)写出线段AE，BE，EG之间的数量关系，并证明． 【答案】解：（1）． 证明：如图，连接CE． ∵，，， ∴，． ∵，， ∴≌． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． （2）． 证明：如图，过点C作，且，连接AH，． 则，． ∵，， ∴≌． ∴，． ∴． ∴． 即． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，BC=3 cm，动点P从点A出发，沿射线AC，以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t s. (1)求AC的值； (2)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 【答案】 解　(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，BC=3 cm， ∴AC===4(cm). (2)由题意知AP=t cm， ①当AB=AP时， ∴t=5； ②当AB=BP时， ∵∠ACB=90°， ∴AP=2AC=8(cm)， ∴t=8； ③如图，当BP=AP=t cm时， 则CP=cm， 在Rt△BPC中，BP2=CP2+BC2， ∴t2=+32， 解得t=. 综上，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或8或. (3)由题意知∠BAP<90°， ①当∠APB为直角时，点P和点C重合， ∴AP=AC=4 cm， ∴t=4； ②如图，当∠ABP为直角时， 在Rt△ABP中，BP2=AP2-AB2=t2-52， 在Rt△BCP中，BP2=BC2+CP2=32+， ∴t2-52=32+， 解得t=， 综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或. 【题型6】勾股定理的证明 【典例】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故A选项可以证明勾股定理， 在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故B选项可以证明勾股定理， 在C选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， 在D选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理， 故选：D． 【举一反三1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三2】如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：      ； 【答案】 【解析】先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 【举一反三3】课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有      ．（填序号）    【答案】 【解析】由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 【举一反三4】图中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理. 【答案】 解　如图，∵S多边形ABEFG=S梯形ABDG+S梯形DEFG =b[b+(a+b)]+a[a+(a+b)] =b2+ab+a2+ab =a2+b2+ab， S多边形ABEFG=S正方形ACFG+S△ABC+S△CEF =c2+ab+ab =c2+ab， ∴a2+b2+ab=c2+ab， ∴a2+b2=c2. 【举一反三5】1876年，美国第20任总统仰菲尔德利用以下图形给出了一种证明勾股定理的方法，你能利用它证明勾股定理吗？写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 【答案】证明：由图可知，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和， 则， 所以， 所以， 即一个直角三角形的两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方． 【题型7】与“弦图”有关的计算 【典例】“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现.如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成.连接FH，DF，若FH=，DF=，则大正方形ABCD的边长为(　　) A.5   B.    C.    D. 【答案】D 【解析】 由题意得AF=DE，DH=AE，∠AED=∠DEF=90°， ∴AF-AE=DE-DH， ∴EF=EH， ∵EF2+EH2=HF2，FH=2， ∴EF=EH=2， ∵DF=， ∴DE===5=AF， ∴AE=AF-FE=5-2=3， ∴AD===. 【举一反三1】某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3.若S1+S2+S3=75，则EF的长是(　　) A.2    B.4   C.5   D.5 【答案】C 【解析】 设Rt△EBF的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则c2=a2+b2， 由题意，得S1=(a+b)2，S2=c2，S3=(a-b)2， ∴S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2， =a2+2ab+b2+c2+a2-2ab+b2 =c2+c2+c2 =3c2=75， ∴c2=25， 即EF2=25， ∴EF=5. 【举一反三2】如图，以Rt△ABC的三边为边长往外画正方形，以AB，AC为边长的两个正方形的面积分别为225，289，则BC长为　　.  【答案】 8 【解析】 ∵以AB，AC为边长的两个正方形的面积分别为225，289， ∴AB2=225，AC2=289， ∵△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°， ∴BC==8. 【举一反三3】如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，直角三角形的两直角边之比为5比12，求小正方形的面积． 【答案】解：直角三角形的两直角边之比为5比12， 设直角三角形的两直角边分别为， ， （负值舍去）， 直角三角形的两直角边分别为5，12， ∴小正方形的边长为， 小正方形的面积是． 【举一反三4】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2=a2+b2；(2分) (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度.(3分) 【答案】解　(1)大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积的和， ∵S大正方形=c2，S小正方形=，S直角三角形=ab， ∴c2=+4×ab，即c2=a2+b2. (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴由勾股定理可得AB==5， ∵CD是AB边上的高， ∴由等面积法可得S△ABC=AC·BC=AB·CD， ∵AC=4，BC=3，AB=5， ∴CD==. 学科网（北京）股份有限公司 $