福建省泉州市南安华侨中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

南安华侨中学2026年秋季第一次月考高三年段数学科试卷 (总分150分，考试时间120分钟) 一.单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确)。 1.设集合A={x|-4<x<3},B={x|x≤2}，则A∩B=() A.（-0,2] B.（-0,3) c.（-4,3) D.（4,2] 2r(得引是sn0>9的( A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 已知sma-ae0引sna+ A.-② B. c.-72 D.72 5 5 10 4面数2“2的部分图象可能是( A. B. 5.函数y=√x2-4x的单调递增区间为() A.2,+o) B.[4,+oo) C.（-0,2] D.（-0,0] 6.已知函数f()=e-e,若正实数m,n满足f(2m)+f(n-5)=f(0),则2+ ,的最小值是() m n+l 9 B. > 6 C.4 0. 2 3a-2 x+ -,x≥1， 7.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则实数a的取值范围为() (a+2)x-4,x<1 A别 [别 c.（-2,1 「12 D.23 8、已知f)是定义域为(-∞，u(0,+o)的奇函数，函数g()=(x)+,f0=-l,当名>名≥0时， xx2f(x)-x>xxf(x)-x2恒成立，则( A.g(x)在(0，+oo)上单调递增 B.g(x)的图象与x轴有3个交点 c.f(3)+f(-2)<log42 D.不等式g(x)>0的解集为(-1,0)U(0,1) 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法不正确的有( ) A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0 B.函数f()-=在(，U(L+o)上是单调减函数 c.若函数y=f(2x+)的定义域为[2,3引，则函数f(x)的定义域为 别 D.将y=f(2x)的图象向右平移号个单位，可得y=f(2x-1)的图象 10.已知函数fW=方inr+V6cws 22 ,则( f)的图象向右平移汇个单位长度后得到函数)=一cosx的 B.f在0.a上有3个零点，则实数a的取值范围是， 3’3 c.f)的单调递减区间为2+工，2m+7匹1ke乙 6 6 D.f(x)的图象与g(x)=sin(x+ 2匹)的图象关于y轴对称 3 11,设正实数x,y,满足x+2y=y,则下列结论正确的是( A.x+y的最小值为3+2√2 B.y的最小值为8 C. 1+1≥3 4,1、1 x-2y-12 D.7+722 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分)。 x+3,x≤1 12.已知函数f(x)=了4 4>1，若fa)=2,则a= 13.函数f)-cos(2x+p0<p<列的图象向左平移名个单位后与函数y=-0s2x的图象重合，则P 14.定义在R上的偶函数f(x)满足f(I+x)=fI-x),当x∈[0,1]时，f(x)=-x+1,设函数g(x)=e-，,-1<x<3, 则f(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为 四、解答题：（本题共5大题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。 15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosC+ccos A= 23 -bcos B. 3 (1)求角B的大小： (2)若a=12,D为BC的中点，且AD=3,求b的值. 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，对角线AC与BD交于点O,PA⊥平面ABCD, E为PD的中点 (1)证明：PB/平面AEC; 2)设AP=1,AD=V5,AB=3 2 求PB到平面AEC的距离。 E AI- B 1.5分》已知函数对任意y∈R,总有e+/0)=fx+),且当x>0时，)<0，f0=号 (1)先求f(O)的值，然后判断函数(x)的奇偶性，并加以证明； (2)判断函数(x)在其定义域上的单调性，并加以证明； (3)求函数f(x)在[-3,3]上的最小值. 18.(17分)已知函数f()=5 sin xcos-cox+2 (1)若a为锐角， f-求cosa的值： (2)在△ABC中，若f(B)=1,AC=25,D是AC的中点，且BD=3,求△ABC的面积； 3)者对于任意xe[及引听位周)f位1恒成立，求a的取值范围 19.17分)如图，在半径为6、圆心角为的扇形的半径0A上任取一点P,过P且平行于半径OB的直线与 弧AB交于点Q. (1)若P为OA的中点，证明：Q不是弧AB的中点： (2)求△OPQ周长的最大值： (3)作QH⊥OB,垂足为H,求四边形OPQH面积的最大值. A H B2026年秋季第一次月考高三年段数学科试卷参考答案 一、单选题每题5分，共40分。 3 6 D D B B 二、多选题每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分.) 9 10 11 ABC ACD ABD 1.D 【详解】解：A∩B={x|-4<x≤2}=（-4,2]. 2.A 【详解】由正弦函数代)血x的性质，可得，在兮受上单调递增， 所以mr>m5,即当0e爱时，可得s如0 32 之，即充分性成立： 反之：若sm8>9,可得子+2m<0<+2keZ,所以必要性不成立， 2 所以0写孕r售到是血0心9充分不必要条件 2 3. 【详解】因为a0因此esa>0, 由同角三角函数基本关系式sina+os2a-1,且sna-?,得cosa--sina- 根据正弦和角公式sin + sincos-3xV巨，4巨7W5 4 4525210 4.B r 【详解】解：因为f()2x2:定义域为xe(,0U0,+o) 且）上≠所必心)为通数，函数图象关原对称，敌A、C排除又因为 f0-22号>0，所以D排除 5.B【详解】由x2-4x≥0解得x≤0或x≥4，所以函数y=Vx2-4x的定义域为(-o,0小U[4,+∞)， 设1=x2-4x,函数y=Vt在[0，+∞)上单调递增，二次函数y=x2-4x=(x-2)2-4的开口向上，对称轴为直线 x=2,则二次函数在(-∞，0]上单调递减，在[4，+∞)上单调递增， 由复合函数的“同增异减”的性质，可知函数y=√x2-4x的单调递增区间为[4，+∞). 6.D 【详解】由f(x)=e*-e,xeR,则f(-x)=e-e=-(e-e）=-f(x),故f(x)是定 义在R上的奇函数，由f(2m)+f(n-5)=f(0)=0,得f(2m)=-f(n-5)=f(5-n),由y=e,y=-e 为增函数，知f(x)=e-e是增函数，所以2m=5-n,即2m+(n+1)=6, m n+1 1 2(n+1)2m 3 5+2 ,即m=2,n=1时等号成立， m n+l 当且仅当2u+12 m n+ 则2+ m n+l 一的最小植是2 7.B【详解】分段函数f(x)在R上单调递增，需同时满足以下条件： 当x<1时，一次函数f(x)=(a+2)x-4单调递增，故斜率a+2>0,解得a>-2; 当x≥1时，函数f四=x+30-2单调递增，分两类讨论： 当3a-2≤0即a≤2时，函数y=x+0-二在(0，+o)上单调强 满足在l,+o)上单调递增的要求； ②当3a-2>0即a>名时，对勾函数y=x+k>0)的单调递增区间为V反，+w), 3 做需Ba-2平方得3a-2≤1，解得a≤L,结合a?得}头0≤① 分段点x=1处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即(a+2)×1-4≤1+30-2， 化简得a-2≤3a-1,解得a≥ 。 将述条件取交柔，得口的取值范国为[宁 8.C 【详解】当x>x>0时，由xxf(x)-x>xxf()x可得[f(x)厂f(x]>x-为，不等式 5[/)小》-与两边同时除以钱可得))小名名所以。H号)产片即 8(3)g(),所以，函数g()=f(x)+在(0，+∞)上为减函数，A错： 函数8()的定义域为(，0U0+),8()=f(+=-f)8,所以，函数&()为奇函数， 因为g()=f()+1=-1+1=0,则g(-1)=-g()=0,因为函数g(x)在(0，+0)上为减函数，则该函数在(-0,0) 上为减函数，所以，函数g(x)在(0，+o)和(-o,0)上各有1个零点， 因此，g(x)的图象与x轴有2个交点，B错： 因为酒数g)在Qm)上为减数，由g)<g2)将)+<2)+分 所以1)+f-2)=fe-fQ)<3}名e2,c对 当x>0时，函数g(x)在(0，+∞)上为减函数，由g(x)>0=g(1)可得0<x<1, 当x<0时，函数g(x)在(-o,0)上为减函数，由g(x)>0=g(-I)可得x<-1, 因此，不等式g(x)>0的解集为(-o,-1)U(0,1),D错. 9.ABC【详解】选项A,反例，函数f)=为奇函数，但f(O)不存在，即fO)=0不成立，A错误；选 项B,反例，取x=0,x2=2,则f(x)=f(0)=-1,f(x2)=f(2)=1, 于是有x<x,f(x)<f(x),这与减函数的定义矛盾，B错误： 选项C,令2x+1=t,则函数y=f(2x+)可化为y=f), 因为函数y=f(2x+1)的定义域为[2,3]，所以2≤x≤3，所以5≤2x+1≤7，即5≤t≤7， 所以函数f()的定义域为[5,7]，即函数f(x)的定义域为[5,7]，C错误： 选限D,将运数y=2)的图象向有平移个单位，可得y=(》 的图象，即y=f(2x-1)的图象，D 正确. 10.ACD sin+3 。、、南数fx=与S成22以 osx=sn6x+, 对于A,fx爱=smC背=-csx,A正确： 63 对于B,当x∈0，a时，x+e5,a+,由f)在0a上有3个零点， 33 得3匹≤a+3<4π，解得红 saxih, 3 3,B错误， 对于C由+2M≤x++2kEZ,得2+5r≤2tkeZ, 32 6 6 因此f()的单调通减区间为2r+名2江+7石1ke五，C正确： 6 对于D,函数F)的图象关于y输对陈的图象对应函数为y=f()=sn(x+背 =sin[元-(x+ +251=sinx+2马，D正确 3 3 21 11.ABD【详解】由题设二+-=1且x>0,y>0, x y x V Vx y 对：对于B,2+=1 x V 22,则y8 利8，故y≥8，当且仅当x=4,y=2时取等号，B对： 11 分王八1-一=x+少一3了 :+y-3一=x+y-3 x-2y-1(c-20-)y-6+2)+22，由于x+y≥3+22， 以1。+1=X+y322,当且仅当x=2+V2,y=1+V2时取等号，C不正确 414y2+x2_4y2+x24y2+x2 对于D.因为2夕（列“(+24矿+++，4 +4y' 因为5+4y≥2压少=4，当且仅当-华，即x=4,y=2时取等号， y x \y x yx 4,11 11 441+ 44.2,当且仅当x=4,y=2时取等号，故D正确 y x 12.-1或2 【详解】当a≤1时，f(a)=a+3=2,解得a=-1, 当a>1时，f(a@)=4=2,解得a=2,综上，a=-1或2 2r2 13.33 【详解】-cos2x=c0s(2x+), f+}-m2+pm2x+肾* 因为平移后图象重合，故3+p=元+2km,k∈Z,因为0<p<元，故p= 2元 3 14.4 【详解】由题意，函数f(x)满足fI+x)=f(I-x)可知， 函数f(x)的图像关于直线x=1对称，又函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图像关于y轴对称，由函数 g(x)=e-可知，函数g(x)的图像关于直线x=1对称， 画出函数f(x)与g(x)的图像如图所示： yf(x) y=g(x) 设图中四个交点的横坐标为七，x,3,x4,由图可知，x+x4=2,x+x2=2, 所以函数f(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为4. 15.【解析】(1)由acosC+ccos 4=25 -bcos B, 3 根据正弦定莲得.s血4casC+inCeos4-25 in ooB,则sn(4+C）-5如8-25 sin co, 3 在aABC中，inB>0,则cosB=3，又B∈0，则B=3 6 (2)由a=12,D为BC的中点，则BD=DC=6, 在a1BD中，由余弦定理得c0sB-B+DD,则5c2+62- -,解得c=3√5， 2AB·BD 2c.6 在aBC中，由余弦定理得=+c2-2 osB=12+35-2x12x35x5=63,则6=3V7. 2 16.【详解】(1)证明：连接EO,因为四边形ABCD为矩形， 所以点O为BD的中点，又点E为PD的中点，所以EO/PB, 因为EOc平面AEC,PBc平面AEC,所以PBII平面AEC; (2)法一：由题意，可以A点为原点建立如图所示空间直角坐标系A-2, 到4ao.c很50Qc-(很5oE-5 设平面AEC的法向量为n=(x,y,z), [n4C=3x+5y=0 则 4证=5y+20可取i=25.), 2y+22=0 由(1)知PB/平面AEC, B “.PB到平面AEC的距离为B到平面AEC的距离， 则AB在法向量n上的投影长度为 B,列3，放PB到平面ABC的距离为 4 法二：由(1)知PB/I平面AEC, ∴.PB到平面AEC的距离为B到平面AEC的距离， E 在△AEC中， =1 D 由PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,故PA⊥CD, B 由底面ABCD为矩形，则AD⊥CD,又AD∩PA=A,AD、PAc平面PAD, 故CD⊥平面PAD，,又PDc平面PAD,故CD⊥PD, 2 v21 +12- 13 2 ∴.cos∠EAC= 2 V21,则sin∠EAC= 27 2x 7 ×1 2 故5r号4 E:Csn/E4C-5, 2 由V=V-,Vs-c-亏S.C2 ixixx3xix1- 32 22 8 1 h=V 3 设B到平面AEC的距离为h,·Vnc=气Sch=气× -h= 3 32 6 8 ,解得h=4 故PB到平面AEC的距离为， 17.【详解】(1)由已知f(x)+fy)=f(x+y), 令x=y=0,得f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 函数f(x)是奇函数. 证：令y=-x,得f0)=f)+f(-x), 所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=f(x),故f(x)是奇函数. (2)f(x)是R上的减函数，证明如下： 设x,x2是任意的两个实数，且x<x2,则x一x>0, 因为x>0时，fx)<0,所以f(x2-x)<0, 所以f(x2)-f(x)=f(x2)+f(-x)=f(x2-x)<0, 所以f(x)<f(x).所以f(x)是R上的减函数. (3)由(2)可知f(x)是R上的减函数，所以f(x)在[-3,3]上也是减函数， 所以f)在[-3,31上的最小值为f),而f)=f0+f2)=3f0=3x(号=2 所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值为-2. 6 18.【详解】(1)f(x)=V5 sin xcosx--cos2x+ 1-5n 2-2 sin 2r-1+cos2x 1 v3 sin 2x-cos2x=sin 2x- 2 +22 6 因为a为锐角0a号则-<a-名所以m0 6 ue引哥图-9故 cos@- non)ong)ng “632326 2)由D知，f)-sm2x},所以f(@-sm〔2B君)1， A 又Be(O,m),所以2B-∈ π11π 6’6 所以2B-亚=匹，解得B=亚 62 又品=+0)，则 B 觉-岗+2慌+)岗+岗+)， 设BA=C, Bc=a,则3-e2+ca+a),即d2+ac+c2=36. 由余弦定理得，AC2=a2+c2-2 accos.∠ABC,即20=a2+c2-ac. 两式联立可得ac=8。 所以-sAnC*8-2 )后引ml行)周m,行+)m经*}m+引， 原不等式可化为asinx-cosx≥1对任意x []机成立 则不等式可化为a≥+cos二对任意xe 元2元 恒成立，即a≥ 1+cosx 23 sinx 即可 sinx 令8()=1+c0sx 2cos2x 1 ,则8(x)= sinx 2sin c0s2 c到6o加风 所以a的取值范围为[1，+∞). 19.【详解】(1)证明：已知扇形半径OQ-0A=6,∠A0B-于PQ08,故<0PQ--号罗 兀2兀 设∠POQ=6,则∠OQP=元-0，在VOPQ中由正弦定理 OP 00 sin∠DOP sin∠OPg' 6sin (-日 代入得OP= 3 2π =43sin sin 3 若P为OA中点，则OP=3,得sin 若Q是弧AB中点，则0-石此时sm 6≠4’于屑 因此Q不是弧AB的中点. (2)由正弦定理得PQ-O00-45sn 2π sin ,周长L=OP+P0+O0, 3 代入得L=45sm管0片45sn0+6, 2 6 因此周长最大值为Lmx=4W3×1+6=6+45. (3)设a=∠00B-号0，a∈0，QH10B,故0H=6sna,0H-6csa,OP-4N5sna.四边形0r0H 为直角梯形， 43sin 由梯形面积公式得s=(P吧+O π-a+6cosa L×QH= 3 2 ×6sina' 化简得S=36 sinacosa-6W3sin2a, 利用三角恒等变换S=18sin2a+3√5cos2a-3W3, 由辅助角公式得18sin2a+35cos2a的最大值为V182+(332=3√39， 因此面积最大值为Sx=3v39-3W3=3√3（√3-1）.