福建省泉州市南安第一中学2025-2026学年高三上学期第一次段考数学试题

null 南安一中2025~2026学年高三年第一次阶段考数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的虚部为     A. B. C. D. 2.已知集合，，则    A. B. C. D. 3.定义：若等比数列满足，且，则     A. B. C. D. 4.已知锐角，满足，，则的值为      A. B. C. D. 5.棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为(    ) A. B. C. D. 6.已知奇函数的定义域为R，且函数图象关于对称．当时，，则(    ) A. 1 B. C. 2 D. 7.在数列中，，且，则数列的前2025项和为(    ) A. B. C. D. 8.在非等腰中，内角满足，若关于x的不等式对任意恒成立，则角A的取值范围为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设函数，则下列结论错误的是    A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递增. 10.已知，，且，则(    ) A. ab的最大值为B. 的最大值为C. 的最小值为9 D. 的最小值为 11.已知圆锥PO的轴截面为等腰直角三角形，顶点为P，底面圆心为O，EF为底面圆的直径，，G是底面圆周上异于E，F的一个动点，下列结论正确的是      A. 圆锥PO的侧面积为 B. 当时，三棱锥的体积最大 C. 直线EG与直线PF夹角的取值范围是 D. 若二面角的大小为，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在点处的切线的斜率为          . 13.中国象棋中规定：马走“日”字.中国象棋的棋盘如图所示，若马在点A处，则走一步可到点或处，得到向量或，记棋盘的每一格为一个单位长度，当马在点B处时，它走一步所得到的所有向量之和的模为          . 14.已知直四棱柱的棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 求 若的面积为，求b的最小值. 16.本小题15分 如图，四边形CDEF为矩形，平面平面CDEF，，， 求证：平面BCF； 求直线BC与平面BEF所成角的大小. 17.本小题15分 已知数列满足，，数列是正项等比数列，且， 求，的通项公式； 从下面①②两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前n项和 ①；② 18.本小题17分 如图，在四棱锥中，平面ABCD，， 证明：平面平面 若，，，且P，A，B，C在同一个球面上，球心为 ⅰ为PC的中点，求直线DN与平面PAC所成角的正弦值; ⅱ设球O的表面与线段PD交于点异于点，求的值. 19.本小题17分 已知函数 当时，证明：， 若在上单调递增，求a的最大值. 证明：， 南安一中2025~2026学年高三年第一次阶段考数学科参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D  A C  C  B  B  D BD ACD  ABD 12. 1  13. 14.   1.【答案】A解：因为复数满足， 因此，复数的虚部为故选：A 2.【答案】D 解：由，得，即， 由，得，即，所以故选： 3.【答案】A 解：因为 因为为等比数列，所以，所以又，所以所以故选：A 4.【答案】C 解：，均为锐角，，， 由，得  ，且为锐角，， 所以， 故选： 5.【答案】C 解：如图：设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，，连接，设线段的中点为O，则O为其外接球的球心，因为等边三角形ABC的边长为3， 所以，所以球O的半径，故球O的表面积256534fab1bba658ba68a7b466293c2d故选： 6.【答案】B 解：因为函数图象关于对称，所以， 因为为奇函数，所以，所以，即， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 而，又因为当时，，所以，即，所以故选： 7.【答案】B 解：由，可得， 则由累加法可得当时，， 则当时，上式仍成立， 故，设的前n项和为， 则，从而故选： 8.【答案】D 解：在中，由，代入可得： ，所以： 整理可得：，即：， 因为非等腰，所以，，代入可得：，两边同除，可得： 在恒成立，， 即，又因为，则，所以，即， 又因为非等腰，所以，所以，故选： 9.【答案】BD 解：由周期公式知，A正确；因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误；因为，所以是函数的零点，C正确； 当，则，正弦函数在区间上先增后减，故D错误.故选：BD 10.【答案】ACD 解：对于A，，得，当且，时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当，时取等号，故B错误；对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确；对于D，，当且仅当，时取等号，故D正确．故选： 11.【答案】ABD 解：对于A，由已知可得，， 所以，则圆锥PO的侧面积，故A正确；对于B，当时，，，平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF，平面PEF，所以，此时的面积最大， 即三棱锥的体积最大，故B正确；对于C，设点G关于圆心O的对称点为H， 则直线EG与直线PF的夹角等于直线FH与直线PF的夹角，即， 所以，则，故C错误； 对于D，可知和都是等腰三角形，取EG的中点K，连接PK，OK，可知，，可知是二面角的平面角，则，可以求得， 所以，，， 故的面积为，故D正确.故选：ABD 12.【答案】1 解：因为，所以， 当时，，所以曲线在点处的切线的斜率为故答案为： 13.【答案】  解：如图，由题可知当马在点B处时，它走一步可以到点或或处，得到的所有向量为，，， 以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，， 则故答案为： 14.【答案】 解：如图：取的中点为E， 因为，直四棱柱的棱长均为2， 所以为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱， 所以平面，平面， 所以，因为，侧面， 所以侧面，设P为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到E的距离为2，则在侧面上，以点E为圆心，以2为半径画圆，分别交，于F，G两点，所以侧面与球面的交线是扇形EFG的弧FG，则，故所以根据弧长公式可得3ae9c2fd9b3ede67a4dcdd33c5411722故答案为： 15.【答案】解：因为，所以 又， 所以 因为，所以，则..........6分 由可知，，..........7分 则的面积，则..........9分 由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立， 从而，即b的最小值为 ..........13分 16.【答案】解：证明：法一：因为，， 所以，又，因为，所以， 因为四边形CDEF为矩形，所以， 因为平面平面CDEF，且平面平面，平面CDEF， 所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以， 因为，BC，平面BCF，所以平面BCF；..........6分 法二：因为平面平面CDEF，且平面平面， 且平面CDEF，，平面ABCD， 所以平面ABCD，平面ABCD，所以， 由DA，DC，DE两两垂直，则以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， ， 由，可得，， 因为，BC，平面BCF， 所以平面BCF；..........6分 结合上问可知：， 设平面BEF的法向量为， 则，，即，令，则，，即， 因为，设所求角的大小为， ，， ，，， 所以，，故直线BC与平面BEF所成角的大小为 ..........15分 17.【答案】解：因为，，即， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，..........3分 因为数列是正项等比数列，所以由等比数列的性质可得， 由题意可得，解得，所以等比数列的公比为， 所以..........7分 若选①，， 所以..........15分 若选②，， 所以， 则， 两式相减得 ， 因此 . ..........15分 18.【答案】解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面PAC，平面PAC，， 所以平面PAC，又平面PBC，所以平面平面PAC.......... 5分 在四边形ABCD中，因为，，， 故， 又，，，所以 则，所以，结合，则， 以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴， y轴， z轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，，平面PAC的一个法向量为， ，， 所以直线DN与平面PAC所成角的正弦值为；.......... 11分 由知平面PAC，平面PAC，故， 因为P， A， B， C在同一个球面，且，为直角， 即可得PB的中点到A，C，P，B的距离均相等， 故PB为外接球直径，则球心 O为PB的中点. 设，， 为外接球直径，且 Q在球的表面上，，， ，，得，所以 .......... 17分 19.【答案】证明：由，得，则在上恒成立，则在上单调递增，故，.......... 4分 解：由，得因为在上单调递增，所以在上恒成立. .......... 5分 当时，，由可知，在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，从而在上单调递增，符合题意. ..........7分 当时，，显然在上恒成立.令，则，显然在上单调递增.由，得，则存在，使得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，从而当时，，则，从而在上单调递减，不符合题意. .......... 9分 综上所述，a的最大值为.......... 10分 证明：由可知，当时，在上单调递增，且， 则在上恒成立.由，可得 则，则..........13分 令，则， 在上单调递增，从而，即在上恒成立， 故对任意的恒成立. ，..........15分 则 ..... 17分 南安一中2025~2026学年高三年第一次阶段考数学科试卷第6页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $