山东泰安市新泰第一中学（老校：新泰中学）2026-2027学年高二上学期第一次诊断测试数学试题

2025级高二上学期数学第一次诊断答题卡 姓 名： 班级 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔 卓 州 答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 缺考 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 此栏考生禁填 答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][BJ[C][D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 数阙 二 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[AJ[B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12 14 器 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 数学第2页（共6页） 请在各题日的答题区城内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效+ 16.(15分) D A C 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超田黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 数学第4页（共6页） 18.(17分) 、B 数学第5页（共6页） 19.(17分) 请本久顺日的竺斯区城内作竺切中哩色析形h辉阻定区域的答案无效！ E D B B 图1 图2 数学第6页（共6页）2025级高二上学期数学第一次诊断性检测 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.直线x-√3y+5=0的倾斜角是() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.若经过A(1,-2),B(-m,6)两点的直线的方向向量为(1,4)，则实数=() A.5 B.-5 C.-3 D.-17 3.在四面体O-ABC中，设OA=a,OB=五，OC=c,点M为AB的中点，ON=2NC,则MN=() A.-a-1613 B.ga-761e C.a+b+c D.a-B-c 4.在棱长为2的正方体ABCD-4BC1D中，E为棱AB的中点，F为棱CC1的中点，则异面直线DE与BF 所成角的余弦值为() A.5 B.2V5 C.v1o D.3v10 5 5 10 10 5.过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为() A.x-y+3=0 B.x+y-5=0 C.4x-y=0或x+y-5=0 D.4x-y=0或x-y+3=0 6.设点A(4,-3),B(-2,-2),直线1过点P1,1)且与线段AB相交，则直线1的斜率k的取值范围是() A.21或太≤-4B.k1或≤ C.-4≤k≤1 D.青ss1 7.我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面a经过点(xo,yo,zo),向量i=(a,b,c)(abc≠0)， 为平面a的一个法向量，P(x,y,z)是平面a内的任意一点，则平面a的方程为 a(x-x)+b(y-y%)+c(z-zo)=0.已知平面a的方程为x-3y+2z+5=0,则点M(0,2,1)到平面a 的距离为( A.14 B.14 C.3/14 D.2i4 14 7 14 7 8.如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD=3,M,N分别是C, AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为() 114 D C M B A. V30 B.230 C.V30 D.3V30 4 2 5 D:- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(1，-2，-3) B.在空间直角坐标系中，=(1,0,0)是坐标平面Oxy的一个法向量 C.已知{a,b,c}是空间的一组基底，则{a,b-a,a-c也是空间一组基底 D.以A(4,1,9),B(10,-1,6,C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形 10.己知直线4：x+y-a=0和直线1：-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是() A.h,始终过定点53) 21Y B.若11儿2，则a=-3 C.若4⊥l2,则a=0 D.当a<0时，l始终不过第三象限 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABC1D中，点P满足BP=2BC+BB,,且0≤1≤1,0≤L≤1，则下 D 列说法正确的是() A A.若2+u=1,则AP//平面ACD P B.若2+=1，则AP⊥BC D: C.若2=L=2,则P到平面4BD的距离为5 1 D.若1=l,0≤≤1时，直线DP与平面ABD所成角为0，则sin6∈ 36 3’3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.经过点(1,1)且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程 214 13.如图，二面角-l-B等于120°，A,B是棱1上两点，BD,AC分别在半平面a,β内，AC1L,BD⊥1，且 AB=AC=BD=2,则CD的长等于 a A D E 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,底面ABCD为正方形，PA=AB=4,点E,F分 别为CD,CP的中点，点T为△PAB内的一个动点（包括边界），CT‖平面AEF,则点T的轨迹的长度 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.已知空间中三点A(-1,1,1),B(0,2,1),C(-2,1,3) (1)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标： (2)求△ABC的面积. 16.(15分)在平行六面体ABCD-ABCD中，∠AAD=∠BAD=∠AAB=60°，AB=AD=1,AA=2,E 为AC与B,D的交点. (I)用向量AB,AD,A4表示AE: (2)求线段AE的长： (3)求异面直线AE与BD所成的角. 17己知直线1：kx-y+1+2k=0k∈R). (1)证明：直线1过定点： (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围： (3)若直线1交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求 此时直线1的方程， 314 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是等腰三角形，PA=PB,E是AB的中点. E 、、B (I)求证：PE⊥CD; (2)若底面ABCD是梯形，ADIIBC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,PA=V5,求二面角P-CD-A的余弦 值； (3)在（PA=5)的条件下，线段AP上是否存在点Q,使得B0∥平面PCD?若存在，求出4 的值；若不 AP 存在，请说明理由 19.(2024江西宜春·模拟预测)如图1，在五边形ABCDE中，AB=BD,AD⊥DC,EA=ED且EA⊥ED, 将△AED沿AD折成图2，使得EB=AB,F为AE的中点. B B 图1 图2 (I)证明：BF∥平面ECD; (2)若EB与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A-EB-D的正弦值. 4/42026-2027学年高二数学上学期第一次检测答案 -、选择题：1-4ACAB 5-8DBAD 二、选择题：9ACD 10AB 11AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.y=x或x+2y-3=0或x-2y+1=0 13.4 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：1)设D(xy2,因为ABCD是平行四边形，所以AB=DC,由A(-1,,B(0,2),C(-2,13), -2-x=1 x=-3 1-y=1→y=0 得4B=(0l,0),DC=(-2-x1-y3-2),所以3-z=02=3,故D(-30,3).6分 【小间2详解】由题可得CA=(1,0-2),CB=(2,1-2) 所以C-P+0+(-2-5.C-22+P+(-2y-3 8分 所以 ic网j CA.CB_6_25 Ci CB5x3 5 …10分 zc网ed.uma,网-asa网-5 12分 所a4c约款8-可网n(Cc网-x5x3x5- 52 .13分 16(1)由题意得 征=4+号4G=4+号4C=4++号，E=4+号B+号40 ,即 2 .4分 (2)由(1)得 =4++0例 =++4而+杯+4D+号0 =4+11+2 27_3v3 44,所以线段B的长为3 9分 A.n-(4+号4i+4D4D-A0 114 =44AD-44 4B+4B.AD-AB'+AD-AD.AB 2 2 2 =40-4B0+号0-0 所以异面直线AE与BD所成的角为0 .15分 16.(15分) 【详解】(1)在△ABD中，根据空间向量的减法运算可得BD=AD-AB, --2分 AC-AC+CC-AB+AD+AA. 4分 (2)由(1)得 BDAC-(AD-AB(AB+AD+AA)-ADAB+AD'+ADAA-AB-AB-AD-ABA4 =0+4+2x3x14-0-2x3x10 2 --7分 所以BD⊥AC,则BD⊥AC: 9分 (3)(1)AC=B++4 -10分 所以4C-AE+AD°+Aá+2AB.AD+2ABA+2AA --12分 =4+4+9-0+2x2x3x72x2x3 129 -14分 所以AC=V四，即4AC的长为V2四 -15分 17(1)定点(-2,1). -4分 (2②解由方程知，当k0时直线在×轴上的截距为-1+2水 k ,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第 [1+2水<-2， k 四象限，则必须有 解得k>0: 1+2k21, 当k=0时，直线为y=1,符合题意，故k的取值范围是[0，十o), 9分 (3)解由题意可知k0,再由1的方程， 得可 〔1+2水<0， k B(0,1+2k.依题意得 解得k>0. 1+2k>0, 11+2k 2 214 宁2x2+)=4,“=成立的条件是k0且张=长即k=号 ∴.Smin=4,此时直线1的方程为x-2y+4=0. 15分 18【详解】(1)因为△PAB是等腰三角形，PA=PB,E是AB的中点，所以PE⊥AB 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PEC平面PAB,所以PE⊥平面ABCD, 因为CDC平面ABCD,所以PE⊥CD ---5分 (2)过点E作直线EF∥AD,交DC于点F 因为AD‖BC,AD⊥AB,所以EF⊥AB,BC⊥AB. 又因为PE⊥平面ABCD,所以PE⊥EF,PE⊥AB, 故如图建立空间直角坐标系E-2, 则P(0,0,2),C(2,1,0),D(1,-1,0),A(0,-1,0),所以DC=(1,2,0), iDC=0 x+2y=0 DP=(-1,1,2).设平面PCD的法向量i=(x,y,),则 nDP=0'即 -x+y+2z=0 令y=-2,则x=4,z=3,于是i=(4-2,3).平面ACD的法向量m=(0,0,1) 所以cos伍，=m-=29,因此，锐二面角P-CD-4的余弦值为3V29 .-11分 29 (3)不存在，理由如下：假设线段AP上存在点9，使得B2∥平面PCD,则设AO=-AP,A∈[0,1]. 因为P(0,0,2),A(0,-1,0),B(0,1,0),所以B0=BA+AQ=(0,-2,0)H1(0,1,2上(0,1-2,2) 因为BQ/平面PCD,所以n⊥BQ,故nBQ=0,即-2(2-2)+62=0，- ------17分 解得1=1，与2∈[0,1]矛盾，所以假设不成立.因此线段AP上不存在点Q,使得BQ/1平面PCD. 19【详解】(1)取AD的中点G,连接BG,FG,:AB=BD,G为AD的中点，.BG⊥AD, 又AD⊥DC,.BGIICD.又BGa平面ECD,CDC平面ECD,.BG∥平面ECD. :F为AE的中点，∴.FG∥ED.又FG平面ECD,EDC平面ECD,∴.FG∥平面CD, 又BG∩FG=G,BG,FGC平面BFG,.平面BFG∥平面ECD, 又BFC平面BFG,.BF∥平面ECD. -7分 314 (2):EA⊥ED,由(1)知FG/ED,FG⊥AE,又EB=AB,F为AE的中点，BF⊥AE, 又BFOFG=F,BF,FGC平面BFG,AE⊥平面BFG,又BGc平面BFG,.BG⊥AE, 又BG⊥AD,ADOAE=A,AD,AEC平面EAD,∴.BG⊥平面EAD, 又BGc平面ABCD,∴.平面EAD⊥平面ABCD, 连接EG,EA=ED,G为AD的中点，∴EG⊥AD, D 又平面EAD∩平面ABCD=AD,EGC平面EAD, EG⊥平面ABCD,BGc平面ABCD,.EG⊥BG, B 以G为坐标原点，GB,GD,GE所在直线分别为x,y,二轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∠EBG是EB与平面ABCD所成的角，即∠EBG=30°， :BA=BD,设4=tt>0,则4D=V2,BG=51,BB=V,BG=5f -点a号亚-9号-。导号 ------10分 设平面ABE的法向量为元=(5，，气)， 「4=5-5a=0 2 2 则 ，令=1，得=(1，-5,5)， --------12分 %A证=②. √2 2+2=0 设平面DBE的法向量为=(6，y,2), 2 2 则 D=- -----14分 ,V2 ，令3=1，得乃=1,3,5)， 2+2 也2=0 设二面角A-EB-D的平面角为O, .co=co,西 n'n 丙 万片 ------16分 所以，即二面角的正弦值为. 4W3 --17分 7 4/4