江苏扬州大学附属中学2026-2027学年高一上学期10月份学情诊断练习数学试题

高一数学10月份学情诊断练习 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合要求) .1.已知集合M={-2,-1,0,,2),N={xx≥0}，则MnN=（) A.{0 B.1,2}C.{0,1,2}D.{xx20y .2.函数y=-x2-2x+3的零点为() A.1 B.-3 C.1和-3 D.(1,0)和(-3,0) 3.命题Vx>1,x2-x>1的否定是( ) A.3a>1,x2-x≤1 B.3x≤1、x2-x>1 C.>1,x2-x≤1 D.r≤1.·x2-x>1 4.a√a的分数指数幂表示为( A:O点 B. C.ai D.都不对 5.依据《国家学生体质健康标准》，学校规定：体测成绩达到良好及以上，才能参评三好学生。 设命题p:某学生体测成绩达到良好及以上：命题g:该学生是三好学生，则p是g的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出 一些药别放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放 在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的药剂装入烧杯.你认为小明装入烧杯中药剂的 剂量() A、小于20克B.等于20克 C.大于20克 D.不能判断 7.已知正实数x,y满足2x+y=2,则上+4的最小值为（ x y A.2 B.4 C.6 D.8 8.关于x的不等式x2-(1+2ax+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（) A{a2≤a<-1或3<a≤4} B{a-2≤a≤-1或3≤a≤4} D{1sas-号5as2 2 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.己知a,b,c∈R,则下列命题正确的是(， A.若a>b,则ac>bc B.若ac2>bc2,则a>b C若a>b>c,则ac>bc D.若b>a>0,c>0,则a+c> b+c b 10.已知关于x的不等式am2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是(). Aa<0 B.a+b+c<0 C.不等式x+b<0的解集为（∞，1） D.不等式m2+(c-I)x+2>0的解集为 2 11.对于集合M={aa=x2-y2,x∈乙，y∈Z},给出如下结论，其中正确的结论是 如果B=(b=2n+l,n∈N},那么B三M B.若C=(dc=2n,n∈N奶，对于任意的ceC,则c∈M C.如果a,∈M,a2∈M,那么aa2∈M D.如果a∈M,a∈M,那么a,+a∈M 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2 12.计算：lg2+273+lg50= 13.若实数a满足a+1-6,则a+a的值为 a 14.已知a>0,beR,若x>0时，关于x的不等式(m-2)(-x2-bx+4)s0恒成立，则b+4的 最小值为 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 已知集合A={xx2-3x-4≤0，B={xx-a<0 (1)当a=2时，求(CRAUB; (2)若AUB=B,求实数a的取值范围， 16.(本小题满分15分) 设类合4-{长号>0集合B={-(a+3)x+3a<0 (1)求集合A; (2)若P:x∈A是9：x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围， 17.(本小题满分15分) 设命题p:x∈R,使得不等式mx2-mx+2>0恒成立：命题g:0≤x≤3，不等式2x-2之m 成立. (1)若P为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题P9有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 3 18.(本小题满分17分)有限集合A={名，x,…,x,(n≥2，n∈N),若 +++≥+++1，则称集合A为“完美集合” ①)判断集合{1-}是否为“完炭兔合”并说明理由： (2)已知集合{m,为“完美集合”，求m的取值范围： (3)已知a,b,c均大于0，且abc=1,证明：集合{a,b,c}为“完美集合， 19.(本小题满分17分)均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebychefi在1882年发表 的论文中首次提出均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公 式它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表 明：n个正数，，x,的算术平均数当++五++区不小于它们的几何平均数 5x。，且当为，为，为x这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。 (1)写出=3时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明)： (2)利用你写出的式子，解决如下问题：如图，把一块长为6的正方形 铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成 一个无盖的方底盒子问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子 的容积最大？ a b (3)当a6ce(0,2)且bc=1时，证明：0-2c-2)+e-2a-2a-2b-2 23. 4 高一数学10月份学情诊断练习 参考答案 一、单选题（共8题，每题5分，共40分) 1.已知集合M={-2,-1,01,2},N={x20},则MnN=（) A.(0 B.{1,2}c.{0l,2 ,D.{x|x20} 【答案】c 【详解】MON表示集合M和集合N的交集，是由既属于集合M又属于集合N的所有元素构 成的集合， 又因为集合M={-2,-1,0,1,2,N={xx之0}，所以MnN=01,2}. 2.函数y=-x2-2x+3的零点为() A.1 B.-3 C.1和-3 D.(1,0)和(-3,0) 【答案】C 【详解】令y=0-x2-2x+3=0,即x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3 3.命题x>1,x2-x>1的否定是() A.3x>1,x2-x≤1 B.3x≤1，x2-x>1 C.x>1,x2-x≤1 D.Vx≤1，x2-x>1 【答案】A 【详解】由命题的否定的规则可得命题Vx>1,x2-x>1的否定是3x>1,x2-x≤1. 4.a√a的分数指数幂表示为() A.ai B. C.a' D.都不对 【答案】A 【详解】原式-a0==, 故选A 5.依据《国家学生体质健康标准》，学校规定：体测成绩达到良好及以上，才能参 评三好学生。设命题p:某学生体测成绩达到良好及以上：命题q:该学生是三好学 生，则p是g的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B解析：体测良好及以上是参评的必备门槛，但满足体测条件不一定就能参 评，因此p是q的必要不充分条件。 6.小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取 出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药 剂放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的药剂装入烧杯.你认为小明装入烧杯中药 剂的剂量() A.小于20克B.等于20克 C.大于20克 D.不能判断 【答案】c 【详解】设天平左臂长为m,右臂长为n,m,n>0且m≠n,设第一次操作（药剂在右盘)称得 [10m=2 的药剂为，克，第二次操作（药剂在左盘)称得的药剂为，克，则 x=10n ,解得 5=10m,5=10m,=5+5=10a+10m2 0n10m=20, m n m Vm n 当且仅当m=n时，取等号，而m≠n,所以x>20 7.已知正实数x,y满足2x+y=2,则二+4的最小值为() x y A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【详解】因为2x+y=2,实数x,y为正数，所以 上+4-上+22x+》)-2++2≥2， y 4x +2=6, x y x y 2x+y=2, 〔1 X= 当且仅当 2时，等号成立. x y y=1 此时之+4的最小值为6。 x y 8.关于x的不等式x2-(1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是() A.{a-2≤a<-1或3<a≤4} B.{a-2≤a≤-1或3≤as4} C.oFisas-c0s2 D -Isas- 【详解】由x2-(1+2a）x+2a<0可得(x-1)(x-2a)<0, 当a=。时，(x-1(x-2a)=(x-1)2≥0，即原不等式无解，不满足题意： 2 当a>时，原不等式解得1<x<2,由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因 此可得3<2a≤4，即2<a≤2： 2 2 .1 当a<一时，原不等式解得2a<x<1,由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为-l和0， 因此由数轴法可得-2≤2a<-l,即-1≤a<-2: 综上：-1sa<-或<a≤2，所以实数a的取值范围为a-1≤a<-1或2<as2. 1 2 2 2 故选：C. 二、多选题 9.己知a,b,c∈R,则下列命题正确的是() A.若a>b,则ac>bc B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b>c,则ac>bc D.若b>a>0,c>0,则+e> b+c b 【答案】BD 【详解】对A,当c>0时，a>b可得ac>bc:当c=0时，a>b可得ac=bc;当c<0时，a>b 可得ac<bc.故A错误； 对B,由ac2>bc2可得c2>0,两边同除以c2,不等号方向不变，可得a>b.故B正确： 对C,当c<0时，C选项的结论不成立，故C错误： 对D,因为b>a>0,c>0,所以c(b-a>0,b(b+c>0, 所9-g-0+0+日-80>0，所以g>号故D正确 b+c b b(b+c) b(b+c) 10. 已知关于x的不等式2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是（) A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式r+b<0的解集为（∞，） D.不等式a2+(c-1)x+2>0的解集为 6习 【答案】AD 【详解】对于选项A:由关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-l,2),可得a<0,故A正确： 对于选项B:由题意可得a2+bx+c=a(x+1)(x-2)=ax2-ax-2a>0, 故b=-a,c=-2a,则a+b+c=a-a-2a=-2a>0,故B错误： 对于选项C:ax+b=m-a=a(x-1)<0,由a<0,故x-1>0,即x>1, 所以不等式ax+b<0的解集为(L,+∞)，故C错误： 3 对于选项D:m2+(c-1)x+2=m2+(-2a-1)x+2=(a-1)(x-2)>0, 由a<0,则该不等式解集为 2 故D正确， 11.对于集合M={ala=xX2-y2,x∈Z,y∈Z,给出如下结论，其中正确的结论是（) A.如果B={b=2n+l,n∈N,那么BsM B.若C={dc=2n,n∈M,对于任意的ceC,则c∈M C.如果a∈M,a2∈M,那么aa,∈M D.如果a∈M,a2∈M,那么a+a∈M 【详解】对A,b=2n+l,neN,总是有b=2n+l=(n+1)2-2,rn+H∈N,neN,则BcM, 故A正确： 对B,c=2n,n∈N,若c=2n∈M,则存在x,yeZ,使得x2-y2=2n=(x+y(x-y),因为当 xy一个是偶数，一个是奇数时，x+y是奇数，x一y也是奇数，所以(x+yx一y)也是奇数， 显然2n是偶数，故2n≠(x+yx-y),故c=2nEM,故B错误；对C,若4∈M,a2∈M,不 妨设4=x米-，a2=号-贤，则a4=(-)(公-)=（五+y2)2-(32+xy)eM,故 a4eM,故c正确：对D,设a=-,a=片-y2,则 a+凸=子-+-=(x+x)-(以+y2)-2x+2yy2,不满足集合M的定义，故D错 误故选：AC 三、填空题 12.计算：1g2+273+g50= 【答案】11 【详解】lg2+275+lg50=(27+1g2+1g50=9+lg(2-50)=9+2=11. 13,若a满足a+是6，则a2+a的值为 【答案】10V2 14.已知a>0,beR,若x>0时，关于x的不等式(ar-2(-x2-bx+4)≤0恒成立，则b+4的 最小值为 【详解】由Q>0,则函数y=am-2单调递增，且当0<x<2时，m-2<0:当x>2时，x-2>0. 因为x>0时，(c-2--bx+4)s0恒成立，所以(c-2x+bx-420恒成立，则当0<x<名 时，x2+r-4≤0恒成立：当x>2时，x2+x-4≥0恒成立 所以6+4=2a-2+4=2a+2≥2,22=4，当且仅当2a=2,即a=1时取等号. 2 aa a a 四、解答题 15.已知集合A={x|x2-3x-4≤0，B={xx-a<0, (1)当a=2时，求(CR4UB (2)若AUB=B,求实数Q的取值范围. 【详解】(1)由x2-3x-4≤0，得(x-4)(x+1)≤0，解得-1≤x≤4， 故A={x1≤x≤4.又B={xx-a<0={xk<a,当a=2时，B={<2, 所以AnB={x-1≤x<2又RA={xx<-1或x>4}, 所以(R4小UB={xr<2或x>4. (2)因为UB=B,所以AcB.因为A={x1≤x≤4}，B={x<a, 所以a>4,故实数o的取值范围为(4，+∞). 16.设集合A={x必好>0}，集合B={-(a+3)x+3a<0, (1)求集合A: (2)若P:x∈A是9：x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【详解】(1)由题意得子>0，解得x<-1或x>2, (2)当P:x∈A是9：x∈B的必要不充分条件，可知BSA且B≠A, 由题意得x2-(a+3)x+3a<0,即(x-3)(x-a)<0, 当a<3时，可得B=(a,3),可得2≤a<3,此时B≠A,: 当a=3时，可得B=0,符合条件： 当a>3时，可得B=(3,a),此时符合条件： 综上所述，实数a的取值范围为[2，+oo), 17.设命题p:x∈R,使得不等式mx2-mx+2>0恒成立：命题q:0≤x≤3，不等式2x-22lm 成立. (1)若P为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p9有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)1[0,8)(2)[-4,0U(4,8) 【详解】(1)因为p:Vx∈R,m2-x+2>0为真命题， 所以当m=0时，不等式为2>0，在R上恒成立，符合题意： 当m≠0时， m>0, △=m2-8m<0, 解得0<m<8. 综上，实数m的取值范围为[0,8) (2)若9为真命题，即q:30≤x≤3,2x-22m,则对于0≤x≤3，(2x-2)≥m. 由于0≤x≤3,2x-2【-2,4],所以m≤4，解得-4≤m≤4，又因为P,9有且只有-个是真命题， 0≤m<8 所以当P真9假时， m(←4或m4,解得4<m<8:当P假9真时， m<0或m28, -4≤m≤4， 解得-4≤m<0. 18,有限集合4=任，北≥2eN,若+写+*2+…*，则称集合4 为"完美集合”. a断年合-2 是否为“完美集合”，并说明理由： (2)已知集合{m,为“完美集合”，求m的取值范围： (3)已知a,b,c均大于0，且abc=1,证明：集合{a,b,c为“完美集合". 是“完美集合” 理由如下： 回为（份+g0 22 所以类合个1是完美合 6 a因为案合细为完美年合的，所议+1过片即 ㎡-之0.-之0.-训m+m+之0，解得m<0或m≥l. m m m 又因为m≠1，所以m的取值范围为(-o,0(1,+∞). a咽为ac=l所以+行气日分日o应=c+ac+a的 因为2(a2+b2+c2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)22ab+2bc+2ac, 当且仅当a=6=c时，等号成立，所以2g+8+e列≥2日+方+ 即a2+b2+c2>++,根据集合元素的互异性，a,6c不全相等，则a2+b+c2>1++1 a bc a b c 所以集合{a,b,c为"完美集合”. 19.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出 均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式它的基本形式 包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系它表明：n个正数 x,5xx,的算术平均数+西+与++三不小于它们的几何平均数本本，且当 x,x2,为x这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。 (1)写出n=3时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）： (2)利用你写出的式子，解决如下问题：如图，把一块长为6的正方形铁 片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无 盖的方底盒子问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最 大？ (3)当a,b,c∈(0,2)且abc=1时，证明： d Gs -≥3 (b-2)c-2)(c-2)(a-2)'(a-2)b-2 【详解】(1)当n=3时，若a>0,b>0,c>0,可得a+b+c≥bc, 3 即算术平均数与几何平均数的关系为a+b+c≥ac,当且仅当a=b=c时，等号成立 3 (2)解：设小正方形的边长为x,则盒子高为h=x,底边边长为6-2x, 可得盒子的容积为V=(6-2x)2,x,其中0<x<3, 则7=6-2x=46-2s分+6-2+6-24y=16, 3 7 当且仅当4x=6-2x时，即x=1时，等号成立， 所以切去的正方形边长为1时，才能使盒子的容积最大，最大容积为16. (3)a,b,c∈(0,2)，.2-a>0,2-b>0,2-c>0, a-0-g+e-+2-ge-0-g2-b加-=. a a a 当且仅当 、=2-b=2-c即a=2-b=2-c时等号成立， 2-b)2-c b 同理： 、+(2-c)+(2-a)23b当且仅当b=2-a=2-c时等号成立： (2-c2-a c 、+(2-a)+(2-b)≥3c当且仅当c=2-b=2-a时等号成立； (2-a)2-b) a b '2-b2-g+2-o2-a2-a2- 、+26-(a+b+c]23(a+b+c), a b c 即 25(a+b+c)-12, (2-b(2-0)(2-c2-a)(2-a2-b) 当且仅当a=b=c=l时等号成立；又，a+b+c≥3abc=3(abc=)当且仅当a=b=c=1时等号 c 成立： b3 25×3-12=3,即 “(2-b)2-c)'(2-c2-a)'(2-a2-b) b3 23,此时a=b=c=1. (b-2(c-2)(c-2)a-2)(a-2)b-2) 8