精品解析：江苏省扬州市新华中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

扬州市新华中学2025～2026学年度第一学期 高一数学自主练习二 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C 或 D. 或 2. 已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象的一个对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为第二象限角，，则（ ） A B. C. D. 7. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 10. 下列命题中，正确有（　　） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数，则 C. 关于的不等式的解集为或，则 D. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过第四象限 11. 已知函数，且正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为3 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 三、填空题 12. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是_______． 13. 如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为________分钟. 14. 已知函数是定义在上偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是______. 四、解答题 15. （1）； （2）已知函数.若，求的值. 16. 已知，，设集合，． （1）若，请用区间表示； （2）若，且，求的取值范围． 17. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在小时内随时间（单位：）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数（）来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（为常数）来近似地刻画随变化的规律. （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物100，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 18 已知函数，，，. （1）当时，求函数的值域； （2）若存在时，使得有解，求的取值范围； 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. （1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; （2）当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2025～2026学年度第一学期 高一数学自主练习二 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据补集的概念求解. 【详解】由已知或，所以. 故选：B. 2. 已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数定义列方程求解即可. 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 故选：D. 3. 函数的图象的一个对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的对称中心，再逐一验证即可. 【详解】令，则， 则的对称中心为， 当时，对称中心为，故A符合题意， 不存在，使得取到，故BCD不符合题意. 故选：A 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式，即可求解. 【详解】因为，则，又， 则，所以， 则， 故选：B. 5. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用分段函数性质和正弦函数计算即可. 【详解】因为，所以利用多次递推， 则， ， ，， 此时符合， 代入得， 故选： 6. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到，，再由同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】因为是第二象限角，所以，， 又，所以， 即，得， 所以. 故选：C. 7. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性，分别判断的大致范围，即可比较大小. 【详解】因为， ，， 所以. 故选：B 8. 已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的奇偶性、二次函数的单调性、函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不符合题意， 所以. 二次函数的对称轴为， 若函数在上单调递增， 则解得； 若函数在上单调递减， 则解得. 综上，实数的取值范围为. 故选：C 二、多选题 9. 已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，得到可判定A正确，根据正弦型函数的性质，可得判断B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，将的图象上点的横坐标变为原来的一半，可得， 再将的图象上的纵坐标变为原来的2倍，可得， 然后向上平移1个单位长度得到函数，所以A正确； 对于B，当，可得， 根据正弦函数的单调性，可得函数在上单调递增，所以B正确； 对于C，由，所以函数关于对称，所以C错误； 对于D，由，可得，所以， 所以，即在上的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数，则 C. 关于不等式的解集为或，则 D. 已知函数恒过定点，则函数图象不经过第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域即可判断A；利用换元法即可判断B；由不等式的解集可得且，关于的方程的解为，再利用韦达定理求出的关系即可判断C；先根据指数函数的图象求出，再根据反比例函数的图象即可判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为， 则，所以， 所以函数的定义域为， 由，得，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，令，则， 则， 所以，故B正确； 对于C，因为关于的不等式的解集为或， 所以且，关于的方程的解为， 则，所以， 则，故C错误； 对于D，令，则， 所以函数恒过定点， 所以， 则，其图象不过第四象限，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，且正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为3 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得A；结合基本不等式可得BCD. 【详解】由可知，所以，故A正确； 由A可知，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 由，可知， 当且仅当即时，等号成立， 因为，所以，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设扇形的半径为，根据扇形的周长公式，面积公式列出方程求解即可. 【详解】依题意，设扇形的半径为，则，解得，或. 故答案为：或. 13. 如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为________分钟. 【答案】12 【解析】 【分析】根据正弦函数的实际应用，由题意列出运动轨迹的函数解析式，进而写出不等式，求出结果. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，其中，， 由题意得，，，周期，所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，，解得，， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故答案为：12. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）； （2）已知函数.若，求的值. 【答案】（1）8（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数、对数的运算法则及性质求解即可； （2）根据诱导公式化简，再由正余弦化切法求值即可. 【详解】（1） . （2）， 由，可知． 16. 已知，，设集合，． （1）若，请用区间表示； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，由不等式：，列出不等式组，能求出集合 由，得利用不等式，列出不等式组求出集合，由，得，根据和，利用分类讨论思想能求出m的取值范围． 【小问1详解】 当时，不等式：， ，解得 . 小问2详解】 若，则，解得， 不等式， ，解得， 此时， ，， ①若，即，解得，成立； ②若，则， 解得， 的取值范围是 17. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在小时内随时间（单位：）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数（）来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（为常数）来近似地刻画随变化的规律. （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物100，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 【答案】（1） （2）3.50小时 【解析】 【分析】（1）由余弦函数的周期和点在指数函数上代入可得； （2）结合题意，由对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 由题意知，当时，函数的最大值为，最小值为0. 所以函数的周期为2，所以， 当时，函数过点，代入得. 所求曲线的函数解析式为 【小问2详解】 当时，令，解得. 当时，令，两边同时取常用对数得：， ，解得， ， 故病人一次性服用药物100，持续有疗效时长约为3.50小时. 18. 已知函数，，，. （1）当时，求函数的值域； （2）若存在时，使得有解，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出的取值范围，再利用对勾函数的单调性求出函数的值域； （2）令，依题意可得在上有解，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，令， 则， 又在上单调递减，在上单调递增， 故，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以的值域为. 【小问2详解】 令，因为，所以， 依题意可得在上有解， 即，即不大于函数的最大值. 令，则函数在上单调递增， 所以当，即时，有最大值， 所以. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. （1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; （2）当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①函数在区间上单调递增，证明见解析；②[0，1]. 【解析】 【分析】（1）由函数成中心对称的充要条件可得为奇函数，可得对称中心； （2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； ②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位， 向上平移1个单位得到的； 所以为奇函数， 可得函数图象的对称中心是. 【小问2详解】 当时，. ①函数在区间上单调递增； 证明如下:，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即 所以在单调递增， ②因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由①可知上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $