福建省泉州市南安华侨中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2028届高二年上学期数学学科第一次月考试卷 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 4．在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 5．如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A． B．5 C． D． 6．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分。 9．下列说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C．已知三向量，，共面，则 D．若，则为钝角 10．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 11．如图，在直三棱柱中，，，分别是的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当分别是的中点时，平面 B．当分别运动到的某位置时， C．当分别是的中点时，与侧面所成角为 D．长的最小值为 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 13．已知点，向量，平面经过原点，且与向量垂直，则点A到平面的距离为_______. 14．在正方体中，，为平面内一点，则的最小值是______． 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15（13分）．已知，，，，，求： (1)的值； (2)与夹角的余弦值. 16（15分）．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面；(2)求点F到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的余弦值． 17．（15分）如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）求二面角的平面角的余弦值． 18．（17分）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 19．（17分）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． (1)若平面，，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二年上学期数学学科第一次月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知空间向量，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 4．在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 5．如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A． B．5 C． D． 6．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C．已知三向量，，共面，则 D．若，则为钝角 10．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 11．如图，在直三棱柱中，，，分别是的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当分别是的中点时，平面 B．当分别运动到的某位置时， C．当分别是的中点时，与侧面所成角为 D．长的最小值为 三、填空题 12．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 13．已知点，向量，平面经过原点，且与向量垂直，则点A到平面的距离为_______. 14．在正方体中，，为平面内一点，则的最小值是______． 四、解答题 15．已知，，，，，求： (1)的值；(2)与夹角的余弦值. 16．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面；(2)求点F到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的大小． 17．如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）求二面角的平面角的余弦值． 18．如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 19．空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． (1)若平面，，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 《2028届高二年上学期数学学科第一次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A A D C A AC BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】先由向量坐标的线性运算可得的坐标，再由向量的共线的坐标关系可得. 【详解】由空间向量，， 所以，， 因为，所以，解得. 因此，. 2．B 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 3．C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 4．A 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到两条异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】因为直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接， 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 在长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 5．A 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以，即的长为． 6．D 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 7．C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 8．A 【分析】设，依题得，运用向量数量积的运算计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项． 【详解】设， 则， A选项：， ， 所以，A正确， B选项： 所以B错误， C选项：，设夹角为， 计算得， ， 因此C错误， D选项：在平行六面体中， 易得， 则得，故， 故点到直线的距离即直线与直线的距离． 因， 且， 则， 因此直线距离为，所以D错误. 故选：A 9．AC 【分析】根据空间向量的性质即可判断；只需判断与是否平行可判断；利用空间向量的基本定理计算可判断；由反向共线的情况可判断. 【详解】选项，对于空间向量，若， 空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面， 所以一定共面，故正确； 选项，因为，所以与不平行， 故不成立，故错误； 选项，已知三向量，，共面， 则存在实数，使得， 得， 得 ，解得 ，故正确； 选项，当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故错误. 10．BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以, 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    求得, 选项A:,, 设平面的法向量,则,,列方程可得, 代入向量得,令,则,所以, 计算,所以直线不垂直平面,选项A错误； 选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为, 所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确； 选项D:,,设平面的法向量, 则,,列方程可得,代入向量得, 可知,令,则,所, 由前面可知平面的法向量，计算, 所以平面不垂直平面，选项D错误. 11．ABD 【分析】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系，对于A，利用线面平行的向量法证明即可；对于B，易知分别是的中点时，；对于C，根据空间向量法求线面角即可；对于D，求出异面直线的距离即可判断． 【详解】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系， ， 对于A，当分别是的中点时，, 易知平面的一个法向量， ，则， 即，又平面，所以平面，故A正确； 对于B，易知，当分别是的中点时，， ，此时，故B正确； 对于C，当分别是的中点时，， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则，， 设与侧面所成角为， 则，即， 所以与侧面所成角为，故C错误； 对于D，，，， 设与都垂直的向量为， ，不妨取，则，，， 则异面直线的距离， 即长的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 12．1 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 13． 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式，求出答案. 【详解】由题知，设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 14． 【分析】建立空间直角坐标系，取线段的中点，可得出，分析可知当平面时，取最小值，此时即为点到平面的距离，结合空间向量法可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 取线段的中点， 设平面的一个法向量为，，， 则，取可得， 易得， ， 当平面时，取最小值，此时即为点到平面的距离， 且，故， 故. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量夹角的坐标公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得，， 所以，， 又，则，即，解得， 于是，则. （2）由（1）得，， 设与的夹角为，所以， 所以与夹角的余弦值为. 16．(1)如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面中的向量，再证明平行即可. （2）求出平面的法向量，再求出点F到平面的距离即可. （3）根据（2）以及线面角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 17．(1)证明：取的中点，连接，，， 因为为的中点，为的中点，所以， 在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． (2)（i）（ii） 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据和空间向量的坐标表示求得，再求出和平面的法向量，利用空间向量法即可求解； （ii）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法即可求解． 【详解】（1）略 （2）（i）连接，因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 而平面，故，， 如图，以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，又，解得， 则， 易得平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则． （ii），则，， 设平面的法向量为， 则即可取， 设二面角的平面角为，则， 故二面角的平面角的余弦值为． 18．(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）连接辅助线,依题可知是中的一条中位线，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面． （2）根据可得点位置，利用可得长度，利用勾股定理可证，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面. （3）建立空间直角坐标系，表示点坐标，利用空间向量求二面角余弦值公式建立关于的函数，利用换元法化简函数，之后求函数值域即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值． 19．(1) (2) (3)16 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切球半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故． （2）不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当，，时，表示经过，，的平面在第一象限的部分． 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体． 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则．所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：．所以内切球的表面积为； （3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、、两两垂直， 且． 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图1， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果． 所以所构成的几何体如图3所示． 法一：其中正方体记为集合所构成的区域． 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以， 所以几何体的体积． 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和． 设其体积为．由正方体的性质可知面．因为，， 所以其体积． 所以几何体的体积． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $