精品解析：唐朝莆田哲理中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

哲理高二第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 数列的第6项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若在之间插入3个数，使得这5个数成等差数列，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 3. 在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 在等差数列中，公差，且，则（ ） A. 5 B. 50 C. 60 D. 105 5. 在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A. B. C. 20 D. 30 6. 在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是常数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是摆动数列 7. 已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知等比数列的公比为整数，是数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公差为的等差数列 10. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 无穷数列不是常数列，其前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，恒成立，则为递减数列 B. 若是递增的等差数列，，则在时取得最小值 C. 若是正项等比数列，，，则公比 D. 若是等比数列，则 三、填空题 12. 已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 13. 正项等比数列中，，则的值是________. 14. 某公司2025年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是__________．（参考数据.） 四、解答题 15. 记数列的前项和为，已知. （1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求. 16. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设，数列的前n项和为，求. 18. 已知数列的前项和为，且满足，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. 已知数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列； （3）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哲理高二第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 数列的第6项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察数列的分子为项数的平方、分母为项数的倍减，写出通项公式后代入即可求得第项. 【详解】第一项： 第二项： 第三项： 第四项： 所以通项公式为：，则第六项为：. 故选：A 2. 已知，若在之间插入3个数，使得这5个数成等差数列，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为成等差数列， 所以，可得， 所以， 故选：B 3. 在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 4. 在等差数列中，公差，且，则（ ） A. 5 B. 50 C. 60 D. 105 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 5. 在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A. B. C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先分析出，然后由条件求出及的值，再根据在等比数列中仍构成等比数列，列出方程，即可求出. 【详解】在等比数列中,若，则， 由，知显然不成立，故. 将代入，解得，进而可得. 设，在等比数列中，因为仍构成等比数列， 所以，即， 整理可得，即，解得或. 因为，所以. 6. 在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是常数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是摆动数列 【答案】A 【解析】 【分析】代入等比数列的通项公式，求公比，即可判断选项. 【详解】由得， 设数列的公比为，易知， 则，即，，则，从而， 所以数列是常数列． 7. 已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得数列为递增数列，列不等式组可得且，根据为正整数，将依次代入到中验证是否成立，即可求出答案. 【详解】由题意数列为递增数列， 所以，则且， 又为正整数，由知，， 当时，，符合， 同理均符合， 当时，，不符合， 故正整数的取值范围是. 故选：D. 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可. 【详解】记数列为，设， 则，，，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，. 故选：C. 二、多选题 9. 已知等比数列的公比为整数，是数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公差为的等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得，，进而根据求和公式即可判断AB,根据等差等比数列的定义即可求解CD. 【详解】依题意，设公比为，又， 由，可得， 显然，进而可得， 则， 由于公比为整数，所以，则，故A错误， ，故B正确， 由A知，， 而，，则不为常数，故C错误， ，， 故为常数， 故是公差为的等差数列，D正确， 故选：BD 10. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A正确； 对于C，， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则，所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：ABC. 11. 无穷数列不是常数列，其前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，恒成立，则为递减数列 B. 若是递增的等差数列，，则在时取得最小值 C. 若是正项等比数列，，，则公比 D. 若是等比数列，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A根据等差数列的前项和公式判断的正负；B根据项的正负性判断；C根据与的大小即可判断；D化简，根据各项的正负即可判断. 【详解】A选项，设公差为， 因为恒成立，所以，恒成立， 则，则为递减数列，故A正确； B选项，若是递增的等差数列，，则， 则在时取得最小值，故B错误； C选项，由题意可得，或， 若，则；若，则，故C错误； D选项，设公比为，则，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12. 已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式求斜率，即可得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线经过点、，则直线的斜率， 则，可得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 13. 正项等比数列中，，则的值是________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】在等比数列中，， ， 故答案为:20. 14. 某公司2025年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是__________．（参考数据.） 【答案】2036 【解析】 【分析】设第年投入万元（2025年为第年），则，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设第年投入万元（2025年为第年），则， 令，即， 所以， 则， 则第年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元， 即2036年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元. 故答案为：2036 四、解答题 15. 记数列的前项和为，已知. （1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求. 【答案】（1），； （2） 因为，， 当时，则，， 两式相减得，即，整理可得， 且，所以是以首项为3，公比为3的等比数列. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题中递推公式令，运算求解即可； （2）根据与的关系可得，整理可得，结合等比数列的定义分析证明； （3）根据等比数列通项公式可得，利用等差、等比数列求和公式结合分组求和法运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，则，可得； 当时，则，即，可得； 综上所述：，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知 ，即， 可得， 所以 . 16. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 ∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设，数列的前n项和为，求. 【答案】（1）证明：因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据，得到，两边同除以，得到，结合等差数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. 18. 已知数列的前项和为，且满足，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可证得数列从第二项开始为常数列，进而求出数列的通项公式； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【小问1详解】 当时，，得，作差可得， ，化简得，即， 所以数列从第二项开始为常数列，且，即 又，所以，不符合上式， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，； ， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，. 19. 已知数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列； （3）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明． 【答案】（1） （2） （3）数列是“绝对差异数列”，证明如下： 因为， 所以． 因为， 所以数列是递增数列， 所以数列是“绝对差异数列”． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得是以3为首项，2为公比的等比数列，结合通项公式化简可得数列成等差数列，首项为，公差为，从而得到数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出，由等差数列得定义化简可得值； （3）由“绝对差异数列”得定义结合已知条件化简可得结论. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． 于是， 所以，即， 所以数列成等差数列，其首项为，公差为． 于是， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ， 所以． 因为 所以，所以． 当时，因为， 所以，所以数列是等差数列． 【小问3详解】 数列是“绝对差异数列”，证明略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $