精品解析：福建省南安第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段测试数学试卷

南安一中2025-2026学年度上学期高二年第二次阶段考试 数学科试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的长轴长为6求解. 【详解】解：双曲线的焦点坐标为：， 即椭圆的焦点为， 又长轴长为6，即， 所以椭圆的方程为， 故选：B 2. 下列直线中，与圆：不相切的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找出圆的圆心和半径，然后利用几何法逐项判断即可. 【详解】圆：可化为，其圆心为，半径， 对于A, 圆心到该直线的距离等于，所以该直线与圆相切； 对于B, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于C,同理圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于D, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆不相切. 故选：D 3. 从四个连续的自然数中随机选取两个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出四个连续自然数，再利用列举法列出所有可能性，从而利用古典概型求出概率. 【详解】设四个连续的自然数分别为n，n+1，n+2，n+3， 则随机取两个数的和分别为，，， ，， 所以这6个和中有2个是偶数， 所以和为偶数的概率为， 故选：A． 4. 已知直线不经过第一象限，则的取值范围为 A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解不等式即可得到所求范围． 【详解】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限， 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0， 解得k， 则k的取值范围是[，+∞）． 故选D． 【点睛】本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题． 5. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设，则，，，， 可得， 设直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 6. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画图得出结论． 【详解】由题意， 曲线，即: 或 或， 作出曲线如图所示： 曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为的四个半圆， ∴曲线的周长为． 故选：B 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设上顶点为，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以. 故选：B. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率． 【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，， 则， 为双曲线上的点，则，即，得，， 又，在中，由余弦定理可得， 整理得，即，，解得或. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（    ） A. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A的概率 B. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红球}，{取出的两个球颜色不同}，则事件A与事件B对立 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由频率与概率的关系可判断；对于B：由对立事件的定义可判断；对于C：由四点共面的判定定理可判断；对于D：由投影向量的公式可以判断. 【详解】对于A：由频率和概率的关系可知，随着试验次数的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故A正确； 对于B：基本事件有三个：{取出的两个球均为红球}、{取出的两个球颜色不同}、{取出的两个球均为白球}，所以事件与事件不对立，故B错误； 对于C：因为，且，则四点共面，故C正确； 对于D：由投影向量的公式可知，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 记的图象为，如图，一光线从x轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点P，直线交直线于点Q，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 以为直径的圆与直线相切 D. P，N，Q三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由坐标可得直线方程，联立与抛物线方程，由韦达定理可得A；由焦点弦长公式可得，得选项B；由中点到直线的距离等于的一半可得选项C；联立直线可得坐标，由光学性质可得D. 【详解】利用抛物线的光学性质，平行于对称轴的光线，经过抛物线的反射后集中于它的焦点； 从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 因为，焦点， 所以直线：. 由消去y并化简得， 选项A，，，，故A正确； 选项B，又，故，， 故，故B错误； 选项C，由，抛物线的准线为， 的中点到准线的距离为， 即等于的一半，即以为直径的圆与直线相切，故C正确； 选项D，直线的方程，与联立，可得Q点的横坐标为， 从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 由点直线上，则三点都在直线上，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，底面半径为的圆柱体量杯倾斜固定在桌面上，加入一定量的水使得上表面的形状是椭圆.再加入体积为的水，使得水面高度增加，沿杯壁高度增加，下列四个结论中，正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. C. 水平面与圆柱底面所成的角为 D. 水面面积为cm2 【答案】BCD 【解析】 【分析】由水面增加高度与杯壁增加高度得出水平面与圆柱底面所成的角，进而计算得椭圆长轴长，结合短轴长为底面直径，即可求出离心率，由割补法求出增加水的体积，再由柱体体积公式求出水面面积即可. 【详解】如图，为初始水面椭圆长轴，为上升后的水面椭圆长轴，为之间的垂线段，为平行于圆柱底面的圆的直径， 因为，则，则， 则，即水平面与圆柱底面所成的角为， 则， 则，， 将增加的部分沿着切开，再将含与的两部分拼凑，可得， 则，， 由以上可得A错误，BCD正确， 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和对称性，可列式求值. 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6 13. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 14. 已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】不妨设，，，根据可得的四个不同的轨迹（圆），因此的最大值即为四个不同的圆的任意两者交点的总数. 【详解】根据条件不妨设，，， ， 当，表示圆心为原点，半径为1的圆， ，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示， 当，表示圆心为，半径为1的圆， ，表示圆心为，半径为1的圆，如图这两个圆用蓝色线表示， 由条件可知点既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即是最大值是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查向量背景下圆与圆的位置关系，解题的关键是建系后把向量的模的存在性问题转化为圆与圆的交点问题，本题属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记表示该选手能正确回答第个问题，则 ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是. 【小问2详解】 该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为 ． 16. 如图，三棱锥中，底面ABC，，，，点M满足，N是PC的中点． （1）请写出一个的值使得平面AMN，并加以证明； （2）若二面角大小为45°，且，求点M到平面PAC的距离． 【答案】（1），证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，利用中位线的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据二面角的平面角的定义得到就是二面角的平面角，即可得到，将点到平面的距离转化为点到平面的距离的，然后求距离即可. 【小问1详解】 当时，满足题意． 是的中点，又因为是的中点， 所以， 又平面，且平面， 所以∥平面． 【小问2详解】 由勾股定理得， 因为平面，平面ABC， 所以， 又，，平面， 所以平面， 而平面，故， 故就是二面角的平面角，所以， 所以为等腰直角三角形，且， 过作于，则平面，易得， 所以点到平面的距离等于，为． 17. 已知抛物线的焦点为F. （1）过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； （2）过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将过点F且斜率为的直线与抛物线方程联立，由韦达定理以及抛物线的性质得出抛物线E的方程； （2）直线垂直于x轴时直接求出面积比，直线与x轴不垂直时，设直线AB方程，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得，然后计算面积比可得． 【小问1详解】 设过点F且斜率为的直线方程为，代入 得，若， 则， 所以，则， 即抛物线C的方程为. 【小问2详解】 当直线垂直于x轴时，与相似， 所以. 当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为 设 由得， 所以，且，则， 所以， 综上，＝. 18. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点. （i）当时，求； （ii）求点与点的纵坐标的比值. 【答案】（1） （2）（i）;（ii） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角求出其斜率，得到的关系，再将点代入双曲线方程即可； （2）设出点,联立直线与双曲线,写出韦达定理.（i）将代入联立所得的韦达定理式子，再运用弦长公式即可求得；（ii）表示出直线,进而求出的纵坐标，最后利用来破解非对称韦达定理结构，得出定值. 【小问1详解】 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有, 代入,有,可得,, 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，两点的坐标分别为, 联立方程,消去后整理为, 则，即，可得,. （i）当时，有,, 可得, 故. （ii）由,,可得直线的方程为,代入,可得点的纵坐标. 同理可得直线的方程为,点的纵坐标为, 又由,有, 则 . 故点与点的纵坐标的比值为. 19. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②3 【解析】 【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨迹的方程． （2）①设直线，，，代入椭圆方程，求解即可；②先得到，再令，得到，再求出直线与椭圆的一个交点，利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，求出四边形的面积表达式，结合基本不等式求出最值即可得的最值． 【小问1详解】 设动圆的半径为，由题意可知：圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为． 因为动圆与圆内切，且与圆外切， 所以， 所以曲线是以为焦点的椭圆． 设其方程为，其中，， 所以，，，从而曲线的方程为． 【小问2详解】 ①如图1，由于直线平分直线与圆的交线段， 所以直线与垂直，设直线，则． 设，，则，于是， 由于，，则，又，则，得证． ②由题可知，如图2，连接，则， 易知． 令，得， 则直线与椭圆的交线段长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点， 则到直线的距离， 所以， 由题意可知，则， 所以四边形面积的最大值，在时取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2025-2026学年度上学期高二年第二次阶段考试 数学科试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（     ） A. B. C. D. 2. 下列直线中，与圆：不相切的是（ ） A. B. C. D. 3. 从四个连续的自然数中随机选取两个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线不经过第一象限，则的取值范围为 A. B. C. D. 5. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（    ） A. 随着试验次数n增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A的概率 B. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红球}，{取出的两个球颜色不同}，则事件A与事件B对立 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若，，则在上的投影向量为 10. 记的图象为，如图，一光线从x轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点P，直线交直线于点Q，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 以为直径的圆与直线相切 D. P，N，Q三点共线 11. 如图，底面半径为的圆柱体量杯倾斜固定在桌面上，加入一定量的水使得上表面的形状是椭圆.再加入体积为的水，使得水面高度增加，沿杯壁高度增加，下列四个结论中，正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. C. 水平面与圆柱底面所成的角为 D. 水面面积cm2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 13. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 14. 已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 16. 如图，三棱锥中，底面ABC，，，，点M满足，N是PC的中点． （1）请写出一个的值使得平面AMN，并加以证明； （2）若二面角大小为45°，且，求点M到平面PAC的距离． 17. 已知抛物线的焦点为F. （1）过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； （2）过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 18. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点. （i）当时，求； （ii）求点与点的纵坐标的比值. 19. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $