精品解析：陕西咸阳市育才田家炳中学2026-2027学年高三上学期第二次质量检测数学试题

咸阳市育才田家炳中学高三年级第二次质量检测 数学学科试题 考查范围：第一、二、三章及第四章的第一节 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则的元素有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】在同一坐标系内作出函数与的草图，如下： 由图可得，函数与的图象有个交点. 即中有个元素. 2. 若点在第三象限，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】由第三象限内点的横、纵坐标均为负，确定正弦、余弦值的符号，再判断角所在的象限. 【详解】点在第三象限，所以，. 由各象限角三角函数值的符号可知，余弦值为负的角是第二或第三象限角或终边落在轴的非正半轴上， 正弦值为负的角是第三或第四象限角或终边落在轴的非正半轴上，， 因此是第三象限角. 3. 定义在上的函数满足，且当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可知函数是周期为1的周期函数. ， 因为，代入，得，所以. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可. 【详解】由在上递减， 所以在上递减， 又，， 所以零点所在区间为. 故选：B 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据时，的图象判断CD错误；再判断是奇函数，根据对称性判断A错误，B正确，即得结果. 【详解】函数中，定义域为. 当时，，根据对数函数的图象可知，CD错误； 又，故是奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确. 故选：B. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 由基本不等式可得， 又，所以，则， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为. 7. 若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ） A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞，-1） 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案． 8. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数有三个零点，转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，画出的图象，结合图象求解即可 【详解】因为函数有三个零点， 所以函数的图象与直线有三个不同的交点， 函数的图象如图所示， 由图可知，， 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下面说法正确的是（ ） A. 角与角终边相同 B. 终边在直线上的角α的取值集合可表示为 C. 若角α的终边在直线上，则cosα的取值为 D. 化成弧度是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用两角的差是否是的倍数，判断A的真假；根据终边在过原点的直线上的角的表示方法判断B的真假；根据角的终边所在的位置求的值，确定C的真假；利用角度与弧度的互化判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以角与角终边相同，故A正确； 对B：终边在直线上的角α的取值集合可表示为，故B错误； 对C：若角α的终边在直线上，设（）为角终边上一点， 当时，；当，，故C错误； 对D：因为，故D正确． 故选：AD 10. 已知函数，下列说法正确的有（    ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可，对于B，对函数求导后，由导数小于零可求得结果，对于C，求导后求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值，对于D，画出的图象，利用图象求解. 【详解】因为，， 所以， 对于A，，则在处的切线方程为，所以A正确； 对于B，令，解得，所以的单调递减区间为，所以B正确； 对于C，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，所以C正确； 对于D，由D的解析知在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，， 所以画出的图象，如图， 方程解的个数，即的图象与的交点个数， 由图知只有一个解，所以D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ） A. B. C. 有3个零点 D. 直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD. 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______ 【答案】 【解析】 【分析】将看成常数，求导后代入，求得，即得导函数解析式，计算即得. 【详解】由求导得，， 把代入，得，解得：， 则有，故. 故答案为：. 13. 设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么___________. 【答案】3 【解析】 【详解】由题意，点在直线上，所以， 根据导数的几何意义，， 所以. 14. 已知函数是定义在上的增函数，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导后得，由在上为增函数，所以，从而在上为增函数，又由，从而可求解. 【详解】由题意知在上为增函数，所以恒成立， 构造函数，所以恒成立， 所以在上单调递增，又因为， 所以当时，，即， 所以的解集为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. （1）若，，求扇形的弧长； （2）若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【答案】（1） （2）的最大值是，， 【解析】 【分析】（1）由扇形的弧长计算公式计算弧长即可；（2）由周长为，可得，再由，，求二次函数最大值或直接利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由扇形的弧长计算公式 【小问2详解】 方法一：，其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，. 方法二：， 当且仅当，即时，的最大值是. 此时扇形的圆心角. 16. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1）的解析式为；（2）实数的值为2. 【解析】 【分析】（1）由幂函数可知，在结合幂函数为偶函数进行取舍； （2）根据二次函数的性质判断出函数在上的最大值为，代入求参数即可. 【详解】解：（1）由幂函数可知，解得或 当时，，函数为偶函数，符合题意； 当时，，不符合题意； 故求的解析式为 （2）由（1）得： 函数的对称轴为：，开口朝上 ， 由题意得在区间上，解得 所以实数的值为2. 17. 已知函数，是的极值点． （1）求实数a的值； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）是的极值点，则有，求实数a的值并检验即可；． （2）由函数单调性求区间内的最大值. 【小问1详解】 函数，定义域为， ，因为是的极值点，所以，所以，. 当时，， ，解得或；，解得， 在和上单调递增，在上单调递减， 是的极小值点，所以. 【小问2详解】 在和上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值只可能在或处取到， ，，而， 所以在上的最大值为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）试讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，在上递减； 当时， 在上递减，在上递增； 【解析】 【分析】（1）由，求导，得到，写出切线方程； （2）求导，再分，，讨论求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程是， 即； 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，成立，则在上递减； 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增； 综上：当时，在上递减； 当时， 在上递减，在上递增； 19. 函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值． （1）求f(x)的单调区间； （2）若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； （2）(－2，－1). 【解析】 【分析】(1)根据极值点求出a，根据导数正负判断其单调性； (2)讨论f(x)极值和单调性，y＝f(x)－m－1的零点转化为y＝f(x)与y＝m＋1图像交点的个数. 【小问1详解】 f(x)定义域为，＝a＋ln x＋1， 由＝a＋1＝0，解得a＝－1. 则f(x)＝－x＋xln x， ∴＝ln x，令＞0，解得x＞1；令＜0，解得0＜x＜1. ∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)． 【小问2详解】 y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点， 可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)内有两个不同的根， 则函数y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点． 由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，＝f(1)＝－1， 由题意得，m＋1＞－1，即m＞－2，① 当0＜x＜1时，f(x)＝x(－1＋ln x)＜0，作出f(x)图像如图： 由图可知，m＋1＜0，即m＜－1，② 由①②可得－2＜m＜－1. 因此实数m的取值范围是(－2，－1)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市育才田家炳中学高三年级第二次质量检测 数学学科试题 考查范围：第一、二、三章及第四章的第一节 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则的元素有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若点在第三象限，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 定义在上的函数满足，且当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 2 7. 若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ） A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞，-1） 8. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下面说法正确的是（ ） A. 角与角终边相同 B. 终边在直线上的角α的取值集合可表示为 C. 若角α的终边在直线上，则cosα的取值为 D. 化成弧度是 10. 已知函数，下列说法正确的有（    ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 11. 已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ） A. B. C. 有3个零点 D. 直线与的图像仅有1个公共点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______ 13. 设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么___________. 14. 已知函数是定义在上的增函数，且，则不等式的解集为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. （1）若，，求扇形的弧长； （2）若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 16. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值． 17. 已知函数，是的极值点． （1）求实数a的值； （2）求在上的最大值． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）试讨论函数的单调性. 19. 函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值． （1）求f(x)的单调区间； （2）若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $