5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质（一） 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2.会求函数y=Asin(wx十p)及y=Acos(wx十p)的周期 通过正、余弦函数性质的学习培养学生数学直 3.掌握函数y=sinx,y=cosx的奇偶性，会判断简单三角 观和逻辑推理素养 函数的奇偶性 课前。预习学案 对应学生用书P189 [情境引入] f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点 叫作这个函数的周期， 钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟.因为你 2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 很清楚，0点、1点、2点、3点…23点，每隔24小时 最小正数，那么这个最小正数叫作f(x)的最小正 就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以后 周期， 是星期几？你也会回答：还是星期一，因为你很清楚， 3.正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z,且k 星期一、星期二…星期天，每隔7天就重复出现一 ≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π. 次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如“24 ?思考1.对于函数f(x),如果存在一个非零常数 小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟 悉的周期现象.自然界中有很多周期现象，如日出日 T,使得当x取定义域内无数个值时，都有 落、月圆月缺、四季交替等.正弦函数、余弦函数是否 f(x十T)=f(x),那么f(x)是周期函数吗？ 有这样的周期性呢？ 提示：f(x)不是周期函数，因为x应取定义域内 继续探究： 每一个值 观察f(x)的部分图象，思考下列问题： 2.是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是 周期函数，它的周期是否唯一？ 提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具 有周期性，则其周期也不一定唯一 (1)观察图形，函数图象每相隔多少个单位重复出现？ 3.周期函数都有最小正周期吗？ 提示：每相隔1个单位重复出现. 提示：①最小正周期是指能使函数值重复出现的 (sin(x+2kπ)=sinx, 自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对 (2)由诱导公式一： \cos(x+2kπ)=cosx, x而言的，如y=sin2.x的最小正周期是π，因为y (k∈Z)结合正（余）弦曲线，可以看出正（余）弦函数怎 =sin(2x十2π)=sin2(x十π)，即元是使函数值 样的特征？图象变化趋势是怎样的？ 重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x 提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出 而言的，而非2x 现，图象发生“周而复始”的变化. ②并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如， [知识梳理] 常数函数f(x)=C,任一个正实数都是它的周 [知识点一]函数的周期性 期，因而不存在最小正周期。 1.对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 ③未特别说明，周期一般都是指函数的最小正 x取定义域内的每一个值时，都有f(x十T)三 周期。 ·266· 第五章三角函数 4.3x是正弦函数f(x)=sinx的周期吗？为什么？ [预习自测] 提示：不是.，f(x十3π)=sin(x十3π)=sin(x十元 十2x)=sin(x十π)=-sinx≠f(x). 1.函数f(x)=sim(2x-音)的最小正周期是( .3π不是f(x)=sinx的周期 [知识点二]正弦、余弦函数的奇偶性 A开 B L.对于y=sinx,x∈R恒有sin(-x)=-sinx,所以正 C.π D.2x 弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称； 答案：C 2.对于y=cosx,x∈R,恒有cos(-x)=cosx,所以余弦 函数y=cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称. 2.函数y=cos2x的奇偶性为 2思考5.函数的奇偶性反映了函数的对称性，通 A.奇函数 过观察图象，请写出正弦函数，余弦函数的对称中 B.偶函数 心与对称轴. C.既是奇函数又是偶函数 提示：通过观察图象可知： D.非奇非偶函数 正弦函数的对称中心为(kπ，0)(k∈Z), 答案：B 对称轴为x=受+kx(∈》： 3.若函数f(x)=sin wx(w>0)的周期为π，则w 余弦函数的对称中心为 交+k,0(k∈Z),对称 轴为x=kπ(k∈Z): 答案：2 课堂。互动学案 对应学生用书P190 题型一 三角函数的周期及应用 [例1]求下列函数的周期： 2π (1)y-2sin :(2)y=Isin al. [思路点拔](1)可用定义法或公式法求周期， y=sinx|的周期是π. (2)可用图象法或定义法求解. 规律方法 [解](1)方法一： 求三角函数的周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实 :2sim(-+2x2sin(-） 数x都满足f(x十T)=f(x)的非零常数T, 即2如[片（红+6x)-吞】-2sin(号-晋） 该方法主要适用于抽象函数. (2)公式法：对形如y=Asin(wx+p)和y y=2in(一音的周期是6 Acos(w.x十p)(其中A,w,9是常数，且A≠0， 方法二： w>0)的函数，可利用T=2π来求. =6函y=2sin(一看的周期是6x 1 (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断 3 函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般 (2)方法一： 采用此法。 sin(+x)=-sin x=sin l. 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选 ∴.函数y=sinx的周期是元. 择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前 方法二： 要尽可能将函数化为同名同角三角函数， y=|sinx|的图象如图所示， ·267· 数学·必修第一册 ⊙[变式训练] 规律方法 1.(多选)下列函数中，最小正周期为π的是( (1)判断函数奇偶性的方法步骤为：先求函数的定 A.y=sin xl B.y=sinl 义域，看定义域是否关于原点对称，再根据解析 C.y=lcos 2xl D.y=cos 2xl 解析：AD[A选项，y=|sinx|的图象如图所示， 式判断f(x)与f(一x)的关系，并根据奇偶性 由此可知y=|sinx|的最小正周期为π. 的定义作出判断，对于三角函数，要特别注意诱 导公式的应用. 2m (2)若已知f(x)=Asin(w.x+p)(或Acos(wx+p) 为偶函数，则x=0是其对称轴，则f(0) B接项，◆f)=m1,则f()=sm受 ±A;若已知f(.x)=Asin(wx十9)（或Acos(wx -1(经+=f(-)=m受=1， 十))为奇函数，则(0,0)是其对称中心，则 f0)=0. (≠f(要+小，所以B速项错误。 ⊙[变式训练] C这项，令g(x)=|os2x,则g(+》) 2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(a)=Isin xl+cos x; 1cos(2.x十π)|=|-cos2x|=|cos2.x|=g(.x),所 以r不是y=cos2x|的最小正周期 (2)f(x)=cos(2π-x)-x3·sinx. D选项，对于函数y=cos|2x|,当2x≥0时，y= 解：(1)函数的定义域为R, cos2x,当2x<0时，y=cos(-2x)=cos2x,所以 f(-x)=Isin(-x)+cos(-x)=Isin xl+cos x y=c0s2x=c0s2.x,其最小正周期为T==元， =f(x),所以f(x)是偶函数. 2 (2)函数的定义域为R,关于原点对称， D选项正确.门 因为f(x)=cosx-x3·sinx, 题型三三角函数的奇偶性的判断及应用 所以f(-x)=cos(-x)-(-x)3·sin(-x) [例2]判断下列函数的奇偶性： =cosx-x3·sinx=f(x), (1)f(x)=√2sin2.x; 所以f(x)为偶函数。 2f)=-sin+）: 题型三角函数的奇偶性与周期性的应用] (3)f(.x)=√1-cosx+√cosx-1. [例3]定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期 [思路点拔了“首先求出函数的定义域，在定义域 函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ 关于原点对称的前提下，根据f(一x)与f(x)及 【o,]时fx)=sin,求f()的值 f(x)的关系来判断。 [解](1)显然x∈R, 汇思路点拨]根据周期性，把要求角转化到已知 f(-x)=2sin(-2x)=-2sin 2x=-f(x), 角范围中求解。 f(x)是奇函数. )-(腰-)()=( (2xeRf)=n(+）=-os平 [解]，f(.x)的最小正周期是π， f(-x)=-cos3(x) =-coS x=f(x), 4 f()=f(臀--f 画数f)=sin(+是锅通数。 ,f(x)是R上的偶函数， 1-cos x20, (3)由 得cosx=1,.x=2kπ(k∈ZD, “(》f(》=m晋- cosx-1≥0 此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数. ) ·268· 第五章三角函数 规律方法 C.关于直线x= 高对称 1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性，可以把x十nT(n∈Z)的函 D.关于直线x=吾对称 数值转化为x的函数值.利用奇偶性，可以找 解析：1B[法-：fx)=2sin(x+牙十g为奇 到一x与x的函数值的关系，从而可解决求值 问题. 画数，则只需至十9=k,k∈乙，从而=红一 4 .k 2.判断y=Asin(wx+p)或y=Acos(wx+9)是 ∈z. 否具有奇偶性的关键 判断函数y=Asin(w.x十p)或y=Acos(wx+ 显然当友=0时，9=一平满足题意. )是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导 法二：因为f(.x)是奇函数，所以f(0)=0, 公式转化为y=Asin wx（Aw卡0)或y= Ac0sux(Aw≠0)其中二个： 即2sin(至+9=0，所以9+至=kx,k∈乙， ⊙[变式训练] 即9=kr 牙k∈乙令k=0,则9=-不] 3.1)已知函数f(x)=sin+开+9) 是奇函数， (2)D [因为西数f(x)=sin(or+若》)o>0)的 则9的值可以是 最小正周期为π A.0 B一 C.2 D.π 所以u=2红=2. π (2)已知函数f(x)=sinor+-若)o>0)的最小正 周期为π，则f(x)的图象 A,C错误； A.关于点（危0对称 r()=sm(2x+)=sn=1，所以B错 区关于点（舌0）对称 误，D正确.门 随堂⊙步步夯实 对应学生用书P192 1.函数f(x)=sin(-.x)的奇偶性是 3.已知定义在R上的奇函数f(x)是以π为最小正周 A.奇函数 B.偶函数 期的周期函数，且当x∈[0，受)时，f(x)=sinx C.既是奇函数又是偶函数 则f()的值为 D.非奇非偶函数 答案：A 2.(多选)下列是定义在R上的四个函数图象的一部 分，其中是周期函数的是 ( C.~3 2 PPP凡P Pp Pp 答案：C 4-3-2-101234主 2-2 A 4.函数fx)=3cos(wx-5) )(w>0)的最小正周期为 y △A△A△ -3-2-16123￥ 3-2023 否则fx) D 答案：ABC 答案：是 ·269· 数学·必修第一册 5.判断下列函数的奇偶性： =-f(x). (1)f(r)-cos2+2cos(); .函数f(x)是奇函数。 （2)对任意x∈R,-1≤sinx≤1， (2)f(x)=√1+sinx+√/1-sinx. ∴.1+sinx≥0,1-sinx≥0. 解：(1)x∈R .f(x)=√I十sinx+√-sinx的定义域为R. f)=cos(管+2 coa+e) ,'f(-x)=W/1+sin(-x)+√1-sin(-x) -sin 2x.(-cos )=sin 2xcos x. =√1-sinx+√1+sinx=f(.x), .f(-a)=sin(-2x)cos(-x)=-sin 2xcos x .函数f(x)是偶函数. 课后。素养提升 对应学生课时P337 基础过关 》 解析：AD f)=snf2r-)-sn(臣-2a 1.已知函数f(x)=sin(ax十o)(w≠0)，设甲：p 2, 一cos2x,因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为 乙：f(x)是偶函数，则 =元的周期函数，故选AD.] 2 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 6.(多选)已知函数f(x)-sinx-|sinx|,则下列结 C.甲是乙的充要条件 论正确的有 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 A.函数f(x)是奇函数 答案：A B.函数f(x)是周期函数，且一个周期为2π 2.下列函数中，最小正周期为π的是 C.函数f(x)的最小值为-2 A.y=sinx B.y=cos x c.y=in号 D.函数f(x)的图象关于直线x=kx十艺，k∈Z D.y=cos 2 对称 答案：D 解析：BCD[对于A,f(x)的定义域为R,因为 3.若函数fx)=sinx+受十9)为R上的奇函数，则 f(-x)=sin(-z)-I sin(-x)=-sin x-I sin l p的值可以是 卡一f(x),所以f(x)不是奇函数，故选项A错误； A.0 B.- 对于B,f(x+2π)=sin(x+2π)|sin(x+2π)|= 4 sinx-|sinx|=f(x),故f(x)是周期函数，2π为 c D.x f(.x)的一个周期，故选项B正确；对于C,f(x)= 答案：C 0,x∈[2kπ，π十2kπ)， 4.函数y=一xcos x的部分图象是下图中的( sin x-sin l= k∈ 2sinx,x∈[π+2kπ，2π+2kπ)， , Z,所以f(x)mm=-2,故选项C正确；对于D,因为 f(π+2kπ-x)=sin(π+2kπ-x)-|sin(π+2kr x)|=sin(x-x)-Isin(-x)|=sin x-lsin xl,k 答案：D ∈Z,所以f(π十2kπ一x)=f(x),k∈Z,所以函数 5.(多选)设函数f(x)=sin2x-)x∈R,则关于 f()的图象关于直线x=x十受，k∈Z对称，故选 f(.x)的说法正确的是 ( 项D正确.] A.最小正周期为π B,最小正周期为受 7.若函数y=sin(x十p)为偶函数，则9的一个值是 C.奇函数 D.偶函数 ·270· 第五章三角函数 解析：函数y=sin(x十p)为偶函数，则9=kx十受， 11.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=-2cos3.x; k∈乙，故9的一个值可以是受 (2)f(.x)=xsin(x+π. 答案：艺（答案不唯一） 解：(1)f(x)的定义域为R. ,f(-x)=-2cos(-3.x)=-2cos3.x=f(x). 8.若函数y=snax+)的景小正周期是货，则a= .f(x)=-2cos3x为偶函数. (2)f(x)的定义域为R,且f(x)=xsin(x十π) 解析：哥-行a=3a=士8 =-xsin x. 答案：±3 .'.f(-x)=-(-x).sin(-a)=-xsin x=f(x). 9.已知函数f(x)=Esim（x+至+小g∈ .f(x)=xsin(.x十π)为偶函数. 能力提升 (-受，受)若fx)为奇函数，则4 12.若函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x-sinx, 若f(x)为偶函数，则9 求当x<0时，f(x)的解析式。 解析：若f(x)为奇画数，则至十9=x,k∈乙，即9 解：令x<0,则一x>0, =-至+k6ez.9e(受}9=- f(-x)=-x-sin(-a)=-x+sin a. 4 又f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x). 若f)为祸函数，则十9=受+x,k∈乙， ..f(x)=-f(-x)=x-sin x, 脚g=至+km,k∈五：pe(吾)g=于 .当x<0时，f(x)的解析式为f(x)=x-sinx. 答秦：-音无 13.已知函数f(x)=cos (2x+)若函数g()的 10.求下列函数的周期， 最小正周期是x,且当x∈【-受，]时，g() f)=os(2z+ (2)f(x)=Isin xl. (受）求关于x的方程g)的解集。 解：(1)：f(x)=cos （2x+) 解：当x【受，]时， cos(2x++2r gx)=)os(+ =os[2(x+x)+号]=fx+x), 因为x+【看引： 即f(x十π)=f(x), 西数f(x)=co2x+)的周期T=元 所以由g(x)= (2),函数f(x)=|sinx|的图象如图所示. 即x=一 又因为g(x)的最小正周期为元. -2T-T 0 2T x 所以g()=5的解集为 由图象可知周期T=π ·271·