4.3.2 对数运算和换底公式 分层梯度练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

新课标高中数学分层梯度题型精练 第四章 指数函数与对数函数 4.3.对数 4.3.2 对数运算和换底公式 （人教A版2019必修第一册） 分层梯度题型精练 一、单项选择题 1.【中等题型】已知，且，则（ ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 2.【中等题型】已知（），则a等于( ) A．2 B．4 C．8 D．16 3.【提高题型】计算= ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 4.【提高题型】若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 5.【提高题型】．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.【高考题型·2026变式】已知且，若，则（    ） A. B. C. D. 7.【高考题型·2025变式】已知，用表示为（    ） A． B． C． D． 8.【创新题型】已知，，用含a、b的式子表示( ) ． A． B． C． D． 二、多项选择题 9.已知实数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 10.已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11.【中等题型】若，则的值为 ． 12.【提高题型】已知且，则____________. 四、解答题 13.计算： 14.计算： (1)； (2) 15.【中等题型】已知，求证：． 16.【中等题型】 （1）已知（，且），求的值； （2）已知，若，求的值． 17.【创新题型】已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学分层梯度题型精练 第四章 指数函数与对数函数 4.3.对数 4.3.2 对数运算和换底公式 （人教A版2019必修第一册） 分层梯度题型精练（含详细答案详解） 一、单项选择题 1.【中等题型】已知，且，则（ ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 答案：C 解析;因为，， 令，所以，解得或（不符合题意舍去）， 所以，解得. 故选：C 2.【中等题型】已知（），则a等于( ) A．2 B．4 C．8 D．16 答案：D 解析：因为，且， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以. 故选：D 3.【提高题型】计算= ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 答案:C 解析;原式， 故选：C． 4.【提高题型】若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 答案：B 分析: 利用对数运算公式和换底公式计算. 解析：因为，，所以，， 所以，，因此，． 故选：B. 5.【提高题型】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析: 令，可得出，结合求出的值，再利用对数和指数的互化可求得的值. 解析：因为， 由于，则，令，则，于是有， 整理可得，因为，解得， 即，解得. 故选：B. 6.【高考题型·2026变式】已知且，若，则（    ） A. B. C. D. 答案:C. 分析:根据对数式和指数式的互化，结合指数幂的运算，即可求得答案. 解析：由已知且，， 得，则， 故， 故选：C. 7.【高考题型·2025变式】已知，用表示为（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意可得， 所以 故选：B. 8.【创新题型】已知，，用含a、b的式子表示( ) ． A． B． C． D． 答案：A 分析: 先根据已知条件求出和，然后再将进行分解，用求出的和来表示，最后转化为用、表示. 解析： 因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故选：A. 二、多项选择题 9.已知实数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 答案：AB 分析: 利用基本不等式判断A，由题可得，再利用乘“1”法及基本不等式判断B，结合对数的运算性质及A判断C，求出的最大值，即可判断D. 解析：对于A：因为，，，所以，即， 解得（当时取等号），故A正确； 对于B：由，得， 所以 （当，时取等号），故B正确； 对于C：（当时取等号），故C错误； 因为，又， 所以，所以（当时取等号），故D错误． 故选：AB 10.已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 答案：BD 解析：因为，所以， 所以，所以A错误； ，B正确； ，所以，C错误； 因为，，所以，D正确. 故选：BD. 三、填空题 11.【中等题型】若，则的值为 ． 答案：12 解析：由题意得． 12.【提高题型】已知且，则____________. 答案：64 分析: 将利用换底公式转化成来表示即可求解. 解析：由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 四、解答题 13.计算： 解析：幂次换底拆分：， 原式 14.计算： (1)； (2) 答案:(1)0;(2)1 解析：（1）原式. （2）原式 . 15.【中等题型】已知，求证：． 解析：设，可知且， 则， 可得， 所以， 即. 16.【中等题型】 （1）已知（，且），求的值； （2）已知，若，求的值． 答案:（1）12；（2） 解析：（1）由得，因此． （2）设，则， 所以，整理得． 又，所以． 17.【创新题型】已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 答案：(1)证明见解析;(2) 解析：（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $