4.3.2对数的运算-换底公式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以换底公式为核心，通过基础辨析、运算提升到综合应用的三层设计，覆盖概念理解、技能训练与问题解决，适配新授课知识巩固与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|换底公式概念辨析、单一运算（选择1-6、填空11-13）|以正误判断（如选择1）、直接计算（如填空11）巩固公式本质，培养抽象能力与运算能力| |提升层|公式与对数性质结合、方程应用（选择7-8、填空14-15、解答16-17）|通过方程求解（如选择7）、多步运算（如解答16）提升推理意识，衔接知识综合运用| |综合层|实际问题、证明与逻辑推理（选择9-10、解答18-20）|结合细菌繁殖（选择10）、恒等式证明（解答20）发展应用意识与理性精神，适配高阶思维训练|

课时作业　换底公式 一、选择题 1．已知ab>0且ab≠1，有下列四个等式： ①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b； ③lg ()2＝lg ；④lg (ab)＝. 其中正确的是(　　) A．①②③④ B．①② C．③④ D．③ 2．(log4125)·(log532)的值为(　　) A． B．1 C． D．15 3．若log5×log36×log6x＝2，则x等于(　　) A．9 B． C．25 D． 4．(－)－＋log3－log29·log32＝(　　) A．－10 B．－8 C．2 D．4 5．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　) A.3 B．8 C．4 D．log48 6.若lg x-lg y=a,则lg-lg=(　　) A.3a B.a C.a D. 7.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a>0,且a≠1),则的值为(　　) A. B.4 C.1 D.4或1 8.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C. D. 9.已知0<a<1,x=loga+loga,y=loga5,z=loga-loga,则(　　) A.x>y>z B.z>y>x C.z>x>y D.y>x>z 10.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t1,t2,t3,则有(　　) A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3 C.t1+t2=t3 D.t1+t2<t3 二、填空题 11．计算log2×log3×log5的值为________． 12．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________． 13.log35log46log57log68log79=　　　　　.  14.若2x=3,log4=y,则x+2y=　　　　　.  15.2x=5y=m(m>0),且=2,则m的值为　　　　　.  三、解答题 16．(1)lg 25＋lg 2－3log35＋log59·log35； (2)(log32＋log92)×(log43＋log83)＋(log33)2＋ln －lg 1. 17.计算: (1); (2)lg-lg+lg-log92·log43; (3)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144. 18.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求的值. 19.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8的值. 20.设正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log21++log21+=1. 课时作业　换底公式 （答案） 一、选择题 1．已知ab>0且ab≠1，有下列四个等式： ①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b； ③lg ()2＝lg ；④lg (ab)＝. 其中正确的是(　　) A．①②③④ B．①② C．③④ D．③ 解析：当a<0，b<0时，①lg (ab)＝lg a＋lg b不成立； ②lg ＝lg a－lg b不成立； ③由ab>0，可得>0，lg ()2＝lg 成立； ④根据对数的换底公式可得lg (ab)＝成立. 答案：C 2．(log4125)·(log532)的值为(　　) A． B．1 C． D．15 解析：(log4125)·(log532)＝× ＝×＝. 答案：C 3．若log5×log36×log6x＝2，则x等于(　　) A．9 B． C．25 D． 解析：由对数换底公式得××＝2， 即lg x＝－2lg 5，解得x＝5-2＝. 答案：D 4．(－)－＋log3－log29·log32＝(　　) A．－10 B．－8 C．2 D．4 解析：原式＝(－)＋log327－log33－2log23·log32＝＋－1－2＝4.故选D. 答案：D 5．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　) A.3 B．8 C．4 D．log48 解析：x＋2y＝log23＋2log4＝log49＋log4()2＝log4(9×)＝log464＝3，故选A. 答案：A 6.若lg x-lg y=a,则lg-lg=(　　) A.3a B.a C.a D. 解析：lg-lg=3=3(lgx-lgy)=3a. 答案：A 7.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a>0,且a≠1),则的值为(　　) A. B.4 C.1 D.4或1 解析：由2loga(P-2Q)=logaP+logaQ,得loga(P-2Q)2=loga(PQ). 由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ, 即P2-5PQ+4Q2=0, 所以P=Q(舍去)或P=4Q, 解得=4. 答案：B 8.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C. D. 解析：由题意,设4a=6b=9c=k(k>0,且k≠1), 则a=log4k,b=log6k,c=log9k, 由ab+bc=2ac,可得=2, 因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误; =2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,故C错误; =2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确. 答案：AD 9.已知0<a<1,x=loga+loga,y=loga5,z=loga-loga,则(　　) A.x>y>z B.z>y>x C.z>x>y D.y>x>z 解析：由题意得x=loga+loga=loga,y=loga5=loga, z=loga-loga=loga, 因为0<a<1, 又, 所以loga>loga>loga, 即y>x>z,故选D. 答案：D 10.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t1,t2,t3,则有(　　) A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3 C.t1+t2=t3 D.t1+t2<t3 解析：由题意,得=3,=6,=18, 则t1=log23,t2=log26,t3=log218, 所以t1+t2=log23+log26=log218=t3. 答案：C 二、填空题 11．计算log2×log3×log5的值为________． 解析：原式＝×× ＝＝－12. 答案：－12 12．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________． 解析：∵logab＋logba＝logab＋＝， ∴logab＝2或logab＝. ∵a>b>1，∴logab<logaa＝1.∴logab＝，∴a＝b2. ∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2. ∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4. 答案：4；　2 13.log35log46log57log68log79=　　　　　.  解析：log35log46log57log68log79==3. 答案：3 14.若2x=3,log4=y,则x+2y=　　　　　.  解析：∵2x=3,∴x=log23. ∴x+2y=log23+2log4=log23+2×=log23+log2=log28=3. 答案：3 15.2x=5y=m(m>0),且=2,则m的值为　　　　　.  解析：由2x=5y=m(m>0,且m≠1),得x=log2m,y=log5m, 由=2,得=2, 即logm2+logm5=2,logm(2×5)=2. 故有m=. 答案： 三、解答题 16．(1)lg 25＋lg 2－3log35＋log59·log35； (2)(log32＋log92)×(log43＋log83)＋(log33)2＋ln －lg 1. 解：(1)lg 25＋lg 2－3log35＋log59·log35 ＝lg 5＋lg 2－5＋·＝1－5＋2＝－2. (2)原式＝(＋)·(＋)＋()2＋－0＝·＋＝＋＝2. 17.计算: (1); (2)lg-lg+lg-log92·log43; (3)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144. 解：(1)原式==1. (2)(方法一)原式=lg+lg =lg =lg1-=-. (方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-=-lg2+lg8-lg4-=-(lg2+lg4)+lg8-=-lg(2×4)+lg8-=-. (3)∵log53=a,log54=b, ∴log25144=log512=log53+log54=a+b. 18.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求的值. 解：∵log2(log3(log4x))=0, ∴log3(log4x)=1. ∴log4x=3. ∴x=43=64. 由log4(log2y)=1,知log2y=4, ∴y=24=16. 因此×1=8×8=64. 19.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8的值. 解：由对数的运算法则,可将等式化为loga[(x2+4)·(y2+1)]=loga[5(2xy-1)], ∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1). 整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0, 配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0, ∴. ∴log8=log8=lo2-1=-log22=-. 20.设正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log21++log21+=1. 证明：log2+log2 =log2 =log2 =log2=log22=1. 学科网（北京）股份有限公司 $