4.3.2对数的运算（题型专练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 -

**基本信息** 聚焦对数运算基础、性质应用及换底公式，通过分层题型构建从概念到应用的逻辑训练体系，培养数学运算与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数的运算|10题（含集合运算、函数求值）|基础计算与概念辨析题|从对数定义出发，训练基本运算法则直接应用| |对数运算性质的应用|8题（含公司投入增长、牛顿冷却定律应用题）|实际情境应用题与性质综合题|结合单调性、方程思想，实现性质从数学到现实的迁移| |对数换底公式的应用|5题（含多步化简、最值求解）|公式转化与综合计算题|以换底公式为桥梁，连接不同底数对数的运算转化|

4.3.2对数的运算 （题型专练）（原卷版） 对数的运算知识点01 1．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知，且，则________． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为_______________. 4．（25-26高一下·云南丽江·期末）已知函数，则____________． 5．（26-27高三上·北京·开学考试）________． 6．（2026高一·全国·专题练习）若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 8．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 10．（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 对数运算性质的应用知识点02 11．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从（   ）年起超过 1 亿元？(参考数据:，) A．年 B．年 C．年 D．年 12．（26-27高三上·北京·开学考试）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 13．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 15．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 16．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D．1 18．（25-26高二下·河北邢台·期末）________． 对数换底公式的应用知识点03 19．（25-26高二下·湖南长沙·期末）若，则的最小值为___________． 20．（25-26高二下·山西长治·期末）计算： (1)； (2)若，求及的值. 21．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）计算下列各式的值 (1)； (2). 22．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 23．（24-25高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2对数的运算（答案版） 1．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、交集的概念及运算、指数幂的化简、求值 【详解】由题设，，则. 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知，且，则________． 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】利用对数运算性质求出的值即可. 【详解】因为，所以， 由得：， 即，所以或， 当时，与矛盾，所以舍去， 当，满足题意，所以． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为_______________. 【答案】 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 4．（25-26高一下·云南丽江·期末）已知函数，则____________． 【答案】2 【知识点】对数的运算、求分段函数值、指数幂的运算 【详解】，. 5．（26-27高三上·北京·开学考试）________． 【答案】/ 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】 . 6．（2026高一·全国·专题练习）若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质即可求得结果. 【详解】与互为相反数， ，则. 7．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 8．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】. 10．（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 11．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从（   ）年起超过 1 亿元？(参考数据:，) A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元，根据题意得出，化简结合对数的运算得出，即可得出答案. 【详解】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元， 由题意得出，整理得， 两边取对数得，则， ， 则，即该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元的年份是年． 12．（26-27高三上·北京·开学考试）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（1） 【分析】当，，时，，代入公式，可求出的值，再将，，代入公式，结合换底公式以及对数的运算性质化简可求得的值. 【详解】由题意，当，，时，， 代入公式得，即，解得， 将，，代入公式得， 所以，故， 所以从降温到大约需要. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由基本不等式证明不等关系、对数的运算性质的应用 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确. 14．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 【详解】（1）方法1：因为，，则，， 所以； 方法2：因为，， 则， 所以． （2）方法1：因为，，则，， 则， 所以； 方法2：由，，则，． 所以． 15．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 16．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 17．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用 【详解】因为，， 所以. 18．（25-26高二下·河北邢台·期末）________． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用 【详解】由题意得 . 19．（25-26高二下·湖南长沙·期末）若，则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用 【详解】因为，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 20．（25-26高二下·山西长治·期末）计算： (1)； (2)若，求及的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质，计算求解即可. （2）由指数幂的运算和平方公式计算可得. 【详解】（1） . （2）因为，所以， . 21．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）计算下列各式的值 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】根式的化简求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据根式以及指数幂运算求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式的结论运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 22．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)7 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，即可求解. 【详解】（1）解：由指数幂的运算公式得：原式； （2）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得. 23．（24-25高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的运算 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （3）利用换底公式结合对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $