第4章一次函数【单元进阶卷-单元卷2】2026～2027学年北师大版数学八年级上册

第4章一次函数【单元进阶卷-单元卷2】2026~2027学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数：① ；② ；③ ；④ 。其中是一次函数的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．若一次函数 中，，，则它的图象大致经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．直线 （）恒过定点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．直线 与直线 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 5．一次函数 中， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．某同学从家出发骑自行车去图书馆，途中在文具店买文具停留了一会儿，然后继续前往图书馆．如图是他离家的距离 （米）与时间 （分钟）的函数图象．下列说法错误的是（　　） A．家到图书馆的距离为 1200 米 B．在文具店停留了 5 分钟 C．买文具前的骑车速度为 200 米/分 D．买文具后的骑车速度为 100 米/分 7．直线 与坐标轴围成的三角形面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．若函数 是正比例函数，则 的值为（　　） A．1 B． C． D．0 9．若直线 经过第一、二、四象限，则直线 经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 10．点 在直线 上，若点 到 轴的距离为 2，则点 的坐标为（　　） A． B． C． 或 D． 或 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．正比例函数的图象经过点 ，则其解析式为 ______． 12．直线 与 轴的交点坐标是 ______． 13．直线 关于 轴对称的直线的解析式为 ______． 14．某自来水公司收费标准：每月用水不超过 10 吨，每吨 2 元；超过 10 吨的部分每吨 3 元．设每月用水 吨（），水费 元，则 与 的函数关系式为 ______． 15．若直线 与直线 平行，则 ______． 16．直线 与 轴交于点 ，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知一次函数 ，设其图象与 轴交于点 A，与 轴交于点 B． (1) 在如图所示的坐标系中画出该函数的图象； (2) 点 在该函数图象上，求 的值； (3) 若 ，比较 与 的大小． 18．（6 分）已知一次函数的图象经过点 和 ． (1) 求该一次函数的解析式； (2) 判断点 是否在该函数图象上． 19．（8 分）某移动通讯公司推出两种手机卡收费方式： A 卡：每月月租 15 元，每分钟通话 0.2 元； B 卡：无月租，每分钟通话 0.3 元． (1) 分别写出 A、B 两种卡每月费用 （元）与通话时间 （分钟）之间的函数关系式； (2) 当每月通话多长时间时，两种卡费用相同？ (3) 若每月通话 200 分钟，选择哪种卡更合算？ 20．（8 分）已知一次函数 ． (1) 当 为何值时， 随 的增大而减小？ (2) 当 为何值时，函数图象与 轴交于正半轴？ (3) 当 为何值时，函数图象经过原点？ 21．（8 分）甲、乙两车沿同一路线从 地前往 地，图中 、 分别表示甲、乙两车离 地的距离 （千米）与时间 （小时）的函数关系．已知甲车 2 小时行驶 120 千米，乙车比甲车晚出发 1 小时，且乙车出发 1.5 小时后行驶了 120 千米． (1) 甲、乙两车的速度分别是多少？ (2) 乙车出发后经过几小时追上甲车？ 22．（8 分）已知直线 ． (1) 求直线 关于 轴对称的直线 的解析式； (2) 求直线 向上平移 3 个单位后的直线 的解析式，并判断 与 是否平行． 23．（8 分）如图，直线 经过 、 两点． (1) 求直线 的解析式； (2) 直线 与直线 交于点 ，求点 的坐标； (3) 求 的面积． 24．（10 分）某商场计划购进 A、B 两种商品共 100 件，A 种商品每件进价 80 元，售价 100 元；B 种商品每件进价 50 元，售价 65 元． (1) 设购进 A 种商品 件，求总利润 （元）与 之间的函数关系式； (2) 若购进 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的一半，且不少于 30 件，求 的取值范围； (3) 在 (2) 的条件下，求最大利润及此时的进货方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章一次函数【单元进阶卷-单元卷2】2026~2027学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数：① ；② ；③ ；④ 。其中是一次函数的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】 C 【解析】 一次函数的一般形式为 ； ① 是正比例函数（特殊一次函数）； ② 是一次函数，，； ③ 自变量次数为 2，不是一次函数； ④ 是一次函数，，； 共 3 个，选 C． 【解题提示】判断一次函数三要素：①含自变量的整式；②自变量最高次数为 1；③一次项系数不为 0．正比例函数是常数项为 0 的一次函数． 2．若一次函数 中，，，则它的图象大致经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】 D 【解析】 ，直线从左上向右下倾斜，必过第二、四象限； ，直线与 轴交于负半轴； 综合：图象经过第二、三、四象限，选 D． 【解题提示】、 与象限的关系：→一二三；→一三四；→一二四；→二三四． 3．直线 （）恒过定点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 将解析式变形：； 当 即 时，无论 取何值，； 所以直线恒过定点 ，选 A． 【解题提示】求含参直线恒过定点：把含参数的项合并，令参数的系数为 0，即可求出定点坐标． 4．直线 与直线 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 联立两直线方程：； ，；代入 得 ； 交点坐标为 ，选 A． 【解题提示】求两直线交点：联立解析式，解方程组，得到的 即为交点坐标． 5．一次函数 中， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 随 增大而减小，需一次项系数 ； ，解得 ，选 B． 【解题提示】增减性只与一次项系数有关： 递增， 递减． 6．某同学从家出发骑自行车去图书馆，途中在文具店买文具停留了一会儿，然后继续前往图书馆．如图是他离家的距离 （米）与时间 （分钟）的函数图象．下列说法错误的是（　　） A．家到图书馆的距离为 1200 米 B．在文具店停留了 5 分钟 C．买文具前的骑车速度为 200 米/分 D．买文具后的骑车速度为 100 米/分 【答案】 D 【解析】 由图象可知，最终距离为 1200 米，A 正确； 水平段从第 4 分钟到第 9 分钟，停留 分钟，B 正确； 前 4 分钟骑了 800 米，速度 米/分，C 正确； 买文具后从第 9 分钟到第 14 分钟，骑了 米，速度 米/分，不是 100 米/分，D 错误； 选 D． 【解题提示】读函数图象：①起点/终点坐标；②水平段=停留；③倾斜段斜率=速度；④分段计算各段速度． 7．直线 与坐标轴围成的三角形面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】 B 【解析】 令 ：，交 轴于 ； 令 ：，交 轴于 ； 面积 ，选 B． 【解题提示】直线与两轴围成直角三角形，面积 截距 截距． 8．若函数 是正比例函数，则 的值为（　　） A．1 B． C． D．0 【答案】 B 【解析】 正比例函数需满足：一次项系数不为 0，常数项为 0； ，解得 ； 又 ，即 ； 所以 ，选 B． 【解题提示】正比例函数条件：，即常数项为 0 且一次项系数不为 0；两个条件需同时满足，注意排除使系数为 0 的解． 9．若直线 经过第一、二、四象限，则直线 经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】 A 【解析】 过一、二、四象限，所以 ，； 对于直线 ：一次项系数为 ； 因为 ，所以 ，； 常数项 ； 新直线 ，，经过第一、二、三象限，选 A． 【解题提示】由原直线位置判断 、 符号，再代入新直线判断系数符号，最后确定新直线经过的象限；注意 中 时 ． 10．点 在直线 上，若点 到 轴的距离为 2，则点 的坐标为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】 C 【解析】 点 到 轴的距离为 2，即 ，所以 或 ； 当 时：，，； 当 时：，，； 所以 为 或 ，选 C． 【解题提示】点到 轴的距离是纵坐标的绝对值；注意绝对值产生两种情况，分别代入解析式求横坐标． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．正比例函数的图象经过点 ，则其解析式为 ______． 【答案】 【解析】 设 ，代入 ：，； 所以 ． 【解题提示】正比例函数 只有一个待定系数，代入一点即可求 ． 12．直线 与 轴的交点坐标是 ______． 【答案】 【解析】 令 ，；与 轴交于 ． 【解题提示】与 轴交点：令 ，，即 ． 13．直线 关于 轴对称的直线的解析式为 ______． 【答案】 【解析】 关于 轴对称： 变成 ， 不变； ． 【解题提示】关于 轴对称：；关于 轴对称：（整体变号）． 14．某自来水公司收费标准：每月用水不超过 10 吨，每吨 2 元；超过 10 吨的部分每吨 3 元．设每月用水 吨（），水费 元，则 与 的函数关系式为 ______． 【答案】 【解析】 时，前 10 吨费用 元； 超出部分 吨，费用 元； ． 【解题提示】分段计费：先算基础段费用，再加超出段费用；注意自变量取值范围． 15．若直线 与直线 平行，则 ______． 【答案】 【解析】 两直线平行，一次项系数相等：； 解得 ；此时 ，两直线不重合，符合平行． 【解题提示】平行条件： 且 ；重合则 且 ． 16．直线 与 轴交于点 ，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 ______． 【答案】 4 【解析】 把 代入 ：，； 与 轴交于 ； 面积 ． 【解题提示】先利用已知交点求 ，再求与另一轴的交点，最后算面积；注意截距取绝对值． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知一次函数 ，设其图象与 轴交于点 A，与 轴交于点 B． (1) 在如图所示的坐标系中画出该函数的图象； (2) 点 在该函数图象上，求 的值； (3) 若 ，比较 与 的大小． 【答案】 (2) ；(3) 【解析】 (1) 取 得 ，取 得 ；描 、 连线； (2) 把 代入 ：，解得 ； (3) ， 随 增大而减小； 因为 ，所以 ． 【解题提示】①画两点连线；②点在图象上→坐标满足解析式；③比较函数值看 的符号． 18．（6 分）已知一次函数的图象经过点 和 ． (1) 求该一次函数的解析式； (2) 判断点 是否在该函数图象上． 【答案】 (1) ；(2) 在 【解析】 (1) 设 ，代入 ：； 代入 ：； 两式相加：，；； 解析式为 ． (2) 把 代入：，与点的纵坐标相等； 所以点 在图象上． 【解题提示】判断点是否在图象上：代入横坐标算纵坐标，看是否等于点的纵坐标． 19．（8 分）某移动通讯公司推出两种手机卡收费方式： A 卡：每月月租 15 元，每分钟通话 0.2 元； B 卡：无月租，每分钟通话 0.3 元． (1) 分别写出 A、B 两种卡每月费用 （元）与通话时间 （分钟）之间的函数关系式； (2) 当每月通话多长时间时，两种卡费用相同？ (3) 若每月通话 200 分钟，选择哪种卡更合算？ 【答案】 (1) A：；B：；(2) 150 分钟；(3) 选 A 卡 【解析】 (1) A 卡：；B 卡：； (2) 令 ，解得 ； 即每月通话 150 分钟时，两种卡费用相同； (3) 当 时，（元）； （元）； ，选 A 卡更合算． 【解题提示】方案选择：①列式；②求临界点（令两式相等）；③根据临界点分情况讨论或代入比较． 20．（8 分）已知一次函数 ． (1) 当 为何值时， 随 的增大而减小？ (2) 当 为何值时，函数图象与 轴交于正半轴？ (3) 当 为何值时，函数图象经过原点？ 【答案】 (1) ；(2) 且 ；(3) 【解析】 (1) 随 增大而减小：，； (2) 与 轴交于正半轴：常数项 且一次项系数 ； ，；又 ，； 所以 且 ； (3) 经过原点：常数项 ，，； 此时 ，是一次函数，符合． 【解题提示】含参一次函数综合：①增减性看一次项系数；②与 轴交点看常数项符号（注意 ）；③过原点→常数项为 0（验证 ）． 21．（8 分）甲、乙两车沿同一路线从 地前往 地，图中 、 分别表示甲、乙两车离 地的距离 （千米）与时间 （小时）的函数关系．已知甲车 2 小时行驶 120 千米，乙车比甲车晚出发 1 小时，且乙车出发 1.5 小时后行驶了 120 千米． (1) 甲、乙两车的速度分别是多少？ (2) 乙车出发后经过几小时追上甲车？ 【答案】 (1) 甲车 60 千米/时，乙车 80 千米/时；(2) 3 小时 【解析】 (1) 甲车速度 千米/时； 乙车 1.5 小时行驶 120 千米，速度 千米/时； (2) 甲车：； 乙车晚出发 1 小时：； 追上时 ：，，； 乙车出发后 小时追上甲车． 【解题提示】行程问题的图象：①斜率=速度；②交点=追上（或同时到达）；③列式时注意乙车晚出发，自变量要平移． 22．（8 分）已知直线 ． (1) 求直线 关于 轴对称的直线 的解析式； (2) 求直线 向上平移 3 个单位后的直线 的解析式，并判断 与 是否平行． 【答案】 (1) ；(2) ， 与 不平行 【解析】 (1) 关于 轴对称： 变 ， 不变； ； (2) 向上平移 3 个单位：； 的 ， 的 ， 不相等，所以不平行． 【解题提示】关于 轴对称：；关于 轴对称：；平行的充要条件是一次项系数 相等． 23．（8 分）如图，直线 经过 、 两点． (1) 求直线 的解析式； (2) 直线 与直线 交于点 ，求点 的坐标； (3) 求 的面积． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) 把 、 代入 ； ，，；； (2) 联立 ，，； ；； (3) ，， 到 轴距离 ； ． 【解题提示】一次函数综合：①待定系数法求解析式；②联立求交点；③算面积时选易求的边作底，高为对顶点的纵坐标绝对值． 24．（10 分）某商场计划购进 A、B 两种商品共 100 件，A 种商品每件进价 80 元，售价 100 元；B 种商品每件进价 50 元，售价 65 元． (1) 设购进 A 种商品 件，求总利润 （元）与 之间的函数关系式； (2) 若购进 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的一半，且不少于 30 件，求 的取值范围； (3) 在 (2) 的条件下，求最大利润及此时的进货方案． 【答案】 (1) ；(2) （ 为整数）；(3) 最大利润 2000 元，此时购进 A 种 100 件、B 种 0 件 【解析】 (1) A 每件利润 元，B 每件利润 元； ； (2) 由题意：，解得 ，即 （ 为整数）； 又 且 ，综合得 （ 为整数）； (3) ， 随 增大而增大； 当 时，（元）； 此时购进 A 种 100 件，B 种 0 件． 【解题提示】一次函数在实际问题中的最值：①根据条件列函数关系式；②由不等式确定自变量范围；③根据 的符号判断增减性，在端点处取最值；注意 为整数的约束． 学科网（北京）股份有限公司 $