第4章 一次函数 单元自测卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第4章《一次函数》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 下列说法不正确的是（     ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 4．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 6．如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市春季某天气温随时间变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（     ） A．凌晨时气温最低为 B．时气温最高为 C．从时至时，气温随时间增加而上升 D．从时至时，气温随时间增加而下降 7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 9．如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 10．甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，下列说法错误的是（     ） A．甲的速度是，乙的速度是． B．乙出发时，甲追上乙． C．图②中，． D．甲乙两人相距时，乙出发时间为或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一次函数的图象不经过第____________象限． 12．点在的函数图像上，则代数式________． 13．一根蜡烛长，点燃后，匀速燃烧后剩余的长度恰为原来长度的一半，设匀速燃烧时间为，蜡烛的长度为．那么关于的函数表达式是________． 14．函数（m为常数），当时，y的最小值为6，m为__________． 15．如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，24秒时注满水槽．水槽内水面的高度（厘米）与注水时间（秒）之间的函数图象如图2所示．注满水后，将正方体铁块取出，水槽内水位下降．若按原注水速度继续向水槽注水，再经过__________秒可将水槽重新注满． 16．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点为轴负半轴上一点，且点的坐标为，若以点为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 18．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 19．某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 20．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 21．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 22．问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． (1)在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． (2)在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3) 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 23．如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求的面积关于的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点的坐标． 24．平面直角坐标系中，点，将线段向上平移个单位得到线段，点与点对应，连接满足，点为线段中点，动点从出发，沿着折线以每秒钟1个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，三角形的面积，解答下面问题： (1)点坐标为_____；点坐标为_____； (2)求点运动过程中的面积与运动时间之间的数量关系（用含有的式子表示S）； (3)当时，在轴上是否存在一点，使？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 参考答案 一、选择题 1．C 解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 2．B 解：作轴的垂线，如图所示： ， 由上述可知，垂线与图象有且只有一个交点的图象是第一、二个图象的，即题中图象表示是的函数只有个． 3．C 解： A. 与都是变量，的变化引起的变化，因此是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意； B. 由表格可知，当时，，因此所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意； C. 弹簧不挂重物时，即，由表格得此时，不是，本选项错误，符合题意； D. 由表格数据可得，，，以此类推，可知物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意． 4．（A 解：， 随的增大而减小． ， ． 5．A 解：对于一次函数，，； A选项：令，得，解得，即当时，，结论正确； B选项：令，得，图象与轴交于负半轴，结论错误； C选项：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，结论错误； D选项：∵， ∴若，则，结论错误． 6．D 解：A、凌晨时气温最低为，原说法正确； B、时气温最高为，原说法正确； C、从时至时，气温随时间增加而上升，原说法正确； D、从时至时，气温随时间先增加后下降，原说法错误. 7．A 解：作点关于轴对称点，连接和，如图所示， ， ， 三点共线时，为最小值． ，，线段，的中点分别为，， ，， ． 设直线解析式为，将和代入得， ， ， 在直线上，且在轴上， 令，则， ． 8．D 解：由图象可知，直线过一，二，四象限， ，故A选项说法正确； 若点 在图象上，则当时，，即的解为，故B选项说法正确； 将向下平移个单位长度得，是正比例函数，故C选项说法正确； ， 随 的增大而减小， ， ，故D选项说法错误. 9．A 解：如图1，连接，过点D分别作于E，于F， 根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标a表示点D到的距离的长度， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标a为． 10．D 解∶由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：，故A正确，不符合题意； 设甲出发小时后，甲、乙相遇， 由题可得，，解得， （小时），即乙出发时，甲追上乙，故B正确，不符合题意； 由图可得， ，，故C正确，不符合题意； 由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．故D错误，符合题意． 二、填空题 11．三 解：一次函数， ，， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 即不经过第三象限． 12． 解：点在函数的图像上， ，即， ． 13． 解：由题意得，燃烧的蜡烛长度为， 则蜡烛燃烧的速度为， 燃烧的蜡烛长度为， 因此剩余蜡烛长度， 令，得， 解得， 又， 因此自变量取值范围为， 故关于的函数表达式为． 14．11 解：∵在中，， ∴函数值随自变量的值的增大而减小， ∴在中，当时y取得最小值6， ∴， 解得， ． 15． 解：由图象可得，正方体的棱长为， 没有铁块时，水面从上升到，所用的时间为 ∴水面上升的速度为， ∴若无铁块，水面上升所需时间为 ∴铁块占据的体积对应的注水时间为 ∴如果将正方体铁块取出，那么再经过18秒可将水槽注满． 16．或或 解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点下方时，此时， ， ∴； 当点在点的下方时，此时， ； 当时， ∴， 解得：， 综上：或或. 三、解答题 17．（1）解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； （2）解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； （3）解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 18．（1）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 19．（1）解：由题意得（为正整数），（为正整数）； （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， ∵， ∴选择方式一健身的次数比较多； 答：他选择方式一付费健身的次数比较多． 20．（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 21．（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 22．（1）解：①把 代入 ，得 . ②把 代入 ，得 ， 解得 或10， （2）解： （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 23．（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点， ∴，，． 是等腰直角三角形， ，即， ， ． ，即， ∴与的函数关系式为． （2）解：， 即． （3）解：当时， 即，解得， 此时， ∴此时点的坐标为． 24．（1）解：∵ ∴， 解得；， ∴， ∵将线段向上平移个单位得到线段， ∴， ∵点为线段中点， ∴ （2）①当在上时，，则， ∴ 当在上时，， ∵点为线段中点，， ∴，此时 ∴ 综上所述，，； （3）解：当时，点在上，此时，则的纵坐标为 即 当时，由（2）可得 设 当在点的左侧时，如图， ∵ ∴ 解得： ∴ 当在点的右侧时，如图， ∵ ∴ 解得： ∴ 25．（1）解：①∵点，，， ∴，，， ∴，， 则不是3的“等垂点”． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，， 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点在上， ∴， 解得， ∴． 当时，如图，∵与轴的交点坐标为，记为点， 此时，， ∴满足题意． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个10的“等垂点”，如图， 过作轴于，设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴，即， ∴在直线上， ∴，， ∴， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $