4.1-4.2 分层练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.1-4.2分层卷2026~2027学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关系式中， 是 的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．函数 中，自变量 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． 且 D． 且 4．若 是正比例函数，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．下列四个关系式：① ；② ；③ ；④ ．其中是关于 的一次函数的有（　　）个 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 6．下列关于某一变化过程的判断：① 路程 一定时，速度 与时间 ；② 圆面积 与半径 ；③ 等腰三角形顶角度数 与底角度数 ；④ 弹簧长度 与所挂物体质量 （弹性限度内）．其中 （或 ）是 （或 、）的一次函数的有（　　）个 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 7．下列关于正比例函数 的说法：① 随 的增大而增大；② 图象必过原点；③ 可取任意实数；④ 当 时， 随 增大而减小．其中正确的有（　　）个 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 8．已知 是一次函数，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9．某汽车油箱中有油 50 L，每行驶 100 km 耗油 10 L，则油箱中剩余油量 （L）与行驶路程 （km）的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 10．某地某日气温 （单位：摄氏度）随时间 （h）变化的图象如图所示．下列结论正确的是（　　） A．第 6 h 的气温为 14 摄氏度 B．0~4 h 气温上升了 14 摄氏度 C．第 10 h 气温为 20 摄氏度 D．第 14 h 气温比第 12 h 高 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若 是正比例函数，则 ______ ． 12．已知函数 ，当 时，函数值 ______ ． 13．一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 4 cm，燃烧 （h）后剩余长度为 （cm），则 与 的函数关系式为 ______ ． 14．若一次函数 的图象经过点 且 随 的增大而减小，请你写出一个符合条件的 的值：______ ． 15．弹簧长度 （cm）与所挂物体质量 （kg）的对应数据如下表所示，则 关于 的函数关系式为 ______ ．（ 取 0、1、2、3、4、5，对应 取 12、13.5、15、16.5、18、19.5） 16．如图，在 中，，，．点 从点 出发，沿 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 ，设运动时间为 （s）， 的面积为 ，则 关于 的函数关系式为 ______ ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）将一根长 20 cm 的蜡烛点燃，测得燃烧时间 （min）与剩余长度 （cm）的对应值如下表： （min）：0、5、10、15、20、25 （cm）：20、17、14、11、8、5 (1) 判断 是否是 的一次函数，并说明理由； (2) 求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； (3) 蜡烛燃尽时，燃烧时间 为多少？ 18．（6 分）已知 是一次函数，回答下列问题： (1) 求 的取值范围； (2) 若该函数是正比例函数，求 的值并写出函数关系式； (3) 在 (2) 的条件下，当 时，函数值 为多少？ 19．（6 分）小敏从家出发步行前往图书馆，途中经过商店．设她离家的距离 （m）与时间 （min）的关系为 ．回答下列问题： (1) 指出这个问题中的变量、自变量、因变量； (2) 当小敏走 12 min 时，她离家的距离 为多少？ (3) 若商店距家 480 m，小敏步行 12 min 后能否到达商店？ 20．（7 分）某市实行居民管道天然气阶梯价格，以年度用气量为计费周期．第一档：年用气量不超过 360 立方米的部分，价格为 2.5 元/立方米；第二档：年用气量超过 360 立方米但不超过 600 立方米的部分，价格为 3 元/立方米．设某家庭年用气量为 （立方米），气费为 （元）． (1) 当 时，求 关于 的函数关系式； (2) 当 时，求 关于 的函数关系式； (3) 若该家庭某年气费为 1000 元，求该家庭该年的用气量 ． 21．（7 分）某科技馆为参观者提供讲解设备租赁服务，租金方案如下：每台设备押金 30 元，租金每小时 5 元，租赁时间不超过 8 小时；若超过 8 小时，超过部分按每小时 3 元计算．设租赁时间为 （h），租赁费用 （元）． (1) 写出 关于 的函数关系式（分段表示）； (2) 若小敏租赁费用为 55 元，求其租赁时间 ； (3) 该方案中 是 的一次函数吗？说明理由． 22．（7 分）某园艺公司为隔离带护栏喷漆，需要测量护栏总长度，已知剩余长度 （m）与喷漆时间 （min）的对应数据为： （min）：0、4、8、12、16、20 （m）：100、92、84、76、68、60 (1) 判断 是否是 的一次函数，并求 关于 的函数关系式； (2) 求该护栏的总长度； (3) 喷漆多少分钟后还剩 30 m 未喷漆？ 23．（6 分）在一次「水沸腾实验」中，记录了水温 （°C）随加热时间 （min）的变化数据，如下表所示： t（min） 0 2 4 6 8 T（℃） 20 35 50 65 80 (1) 判断 是否是 的一次函数，并求 关于 的函数关系式； (2) 按此规律，加热 10 min 时水温是多少？ (3) 若水的沸点为 100°C，从开始加热到水沸腾共需多少分钟？ 24．（7 分）某登山队从山脚出发登山，登山过程中记录海拔 （m）与温度 （°C）的变化情况：山脚海拔 m 时气温 °C，海拔每升高 1000 m，气温下降 6°C．登山速度为海拔升高 200 m/h，设登山时间为 （h），海拔为 （m），气温为 （°C）． (1) 求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围（）； (2) 求 关于 的函数关系式； (3) 求 关于 的函数关系式； (4) 当登山 2 h 时，所处海拔与气温分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1-4.2分层卷2026~2027学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关系式中， 是 的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 函数的定义：对于 的每一个值， 都有唯一确定的值与之对应； A 错： 时 ，不唯一； B 错： 时 ，不唯一； C 错： 时 ，不唯一； D 对：对任意 ， 唯一确定．选 D． 【解题提示】判断函数抓住「唯一性」：一个 只能对应一个 ；若存在某个 使 有两个或以上取值，则不是函数． 2．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 正比例函数的一般形式为 ； A 是一次函数但常数项 ，不是正比例函数； B 形如 ，，是正比例函数； C 是二次函数；D 是反比例函数．选 B． 【解题提示】正比例函数是常数项为 的一次函数；形如 ，自变量次数为 ，无常数项． 3．函数 中，自变量 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． 且 D． 且 【答案】 C 【解析】 要使式子有意义，需同时满足：根号内非负、分母不为 ； 有意义 ； ； 综合： 且 ，选 C． 【解题提示】求自变量取值范围：① 偶次根号内 ；② 分母 ；③ 零次幂底数 ；多个条件取交集． 4．若 是正比例函数，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 正比例函数要求 ，无常数项； 常数项 ； 一次项系数 ； 综合：，选 C． 【解题提示】正比例函数的两条件：① 常数项为 ；② 一次项系数 ；二者必须同时满足，缺一不可． 5．下列四个关系式：① ；② ；③ ；④ ．其中是关于 的一次函数的有（　　）个 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 D 【解析】 一次函数的一般形式为 ； ① ：，，是（特殊的一次函数，正比例）； ② ：，是； ③ ：自变量在分母上，不是一次函数； ④ ：，是； 共 个，选 D． 【解题提示】一次函数 ：自变量次数为 ，可无常数项（正比例函数）；含 、 等均不是． 6．下列关于某一变化过程的判断：① 路程 一定时，速度 与时间 ；② 圆面积 与半径 ；③ 等腰三角形顶角度数 与底角度数 ；④ 弹簧长度 与所挂物体质量 （弹性限度内）．其中 （或 ）是 （或 、）的一次函数的有（　　）个 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 B 【解析】 ① ，是反比例函数，不是一次函数； ② ，是二次函数，不是一次函数； ③ ，是一次函数； ④ 弹性限度内 ，是一次函数； 故一次函数有③、④共 个，选 B． 【解题提示】判断一次函数：把变量关系化为 形式；注意 中 一定时 与 成反比例，不是一次函数； 自变量次数为 ，是二次函数． 7．下列关于正比例函数 的说法：① 随 的增大而增大；② 图象必过原点；③ 可取任意实数；④ 当 时， 随 增大而减小．其中正确的有（　　）个 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 B 【解析】 ① 错： 时增， 时减，故「一定增大」错； ② 对： 时 ，图象过原点； ③ 错：，不能取 ； ④ 对： 时 随 增大而减小； 正确说法有②、④共 个，选 B． 【解题提示】正比例函数 性质：图象过原点； 时过一、三象限且 随 增大而增大； 时过二、四象限且 随 增大而减小． 8．已知 是一次函数，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 一次函数要求自变量次数为 ，且一次项系数 ； ； 当 时，，符合； 当 时，，一次项系数为 ，不是一次函数； 故 ，选 A． 【解题提示】一次函数 必须满足：① 的指数为 ；② ；两条件同时成立，缺一不可． 9．某汽车油箱中有油 50 L，每行驶 100 km 耗油 10 L，则油箱中剩余油量 （L）与行驶路程 （km）的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 每 100 km 耗油 10 L，即每 1 km 耗油 0.1 L； 行驶 km 耗油 L； 剩余 ，选 A． B 错：每 1 km 耗油不可能 10 L； C 错：，每 1 km 耗油 0.2 L，与题意不符； D 错：每 1 km 耗油 0.01 L，与题意不符． 【解题提示】列函数关系式：先确定变量之间的等量关系，再化简为 表达式；注意单位换算（100 km → 1 km）． 10．某地某日气温 （单位：摄氏度）随时间 （h）变化的图象如图所示．下列结论正确的是（　　） A．第 6 h 的气温为 14 摄氏度 B．0~4 h 气温上升了 14 摄氏度 C．第 10 h 气温为 20 摄氏度 D．第 14 h 气温比第 12 h 高 【答案】 A 【解析】 由图象读出关键点：、、、、； A：4~8 h 气温保持 14 摄氏度，故第 6 h 气温为 14 摄氏度，正确； B：0~4 h 气温从 10 升到 14，上升 4 摄氏度，不是 14 摄氏度，错； C：第 10 h 在 8~12 h 之间，气温在 14 与 20 之间，约为 （摄氏度），不是 20 摄氏度，错； D：12 h 气温 20 摄氏度，14 h 在 12~16 之间，气温下降，比 20 低，错；选 A． 【解题提示】读折线图：分段判断，每段对应一个一次函数；在折点处取值；中间值用线性插值估计；「保持」段图象为水平线，函数值等于端点值． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若 是正比例函数，则 ______ ． 【答案】 -2 【解析】 正比例函数要求常数项为 ，且一次项系数 ； ； ； 故 ． 【解题提示】正比例函数两条件：① 常数项 ；② 一次项系数 ；联立求解，注意排除使系数为 的取值． 12．已知函数 ，当 时，函数值 ______ ． 【答案】 -2 【解析】 把 代入 ； ； 故 ． 【解题提示】求函数值：把自变量的值代入函数解析式计算；注意分数运算的化简与符号． 13．一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 4 cm，燃烧 （h）后剩余长度为 （cm），则 与 的函数关系式为 ______ ． 【答案】 【解析】 每小时燃烧 4 cm， 小时燃烧 cm； 剩余 ； 燃烧完时 ，； 故自变量取值范围 ； 答案：． 【解题提示】实际问题列函数关系式要写自变量取值范围；范围由实际意义决定（如蜡烛不能烧负值，需 ）． 14．若一次函数 的图象经过点 且 随 的增大而减小，请你写出一个符合条件的 的值：______ ． 【答案】 -1（答案不唯一，凡 均可） 【解析】 由图象过 得 ； 由 随 增大而减小，得 ； 可取 ，则函数为 ； 答案不唯一，凡 的值均可． 【解题提示】开放性问题：抓主条件（）即可，注意 由 轴交点确定；答案不唯一时，写出一个满足条件的值即可． 15．弹簧长度 （cm）与所挂物体质量 （kg）的对应数据如下表所示，则 关于 的函数关系式为 ______ ．（ 取 0、1、2、3、4、5，对应 取 12、13.5、15、16.5、18、19.5） 【答案】 （） 【解析】 观察数据： 增加 ， 增加 ，呈均匀变化； 可设 ，取 、； ；； 故 ； 经检验其余各点均满足（如 时 ）． 【解题提示】表格求解析式：先判断是否均匀变化（ 是否为常数），若为常数则设 ，取两点求解并代入其余点验证． 16．如图，在 中，，，．点 从点 出发，沿 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 ，设运动时间为 （s）， 的面积为 ，则 关于 的函数关系式为 ______ ． 【答案】 【解析】 ，故 是以 为直角的直角三角形； 在 上运动，速度 1 单位/秒，故 ，； 的两直角边为 、； ； 从 到 ，需 ； 故 ，亦可写作 ． 【解题提示】动点几何函数：① 明确动点位置和速度；② 用 表示关键线段长度；③ 用三角形面积公式代入；④ 写自变量取值范围；本题 在 上，， 随 增大而减小． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）将一根长 20 cm 的蜡烛点燃，测得燃烧时间 （min）与剩余长度 （cm）的对应值如下表： t（min） 0 2 4 6 8 T（℃） 20 35 50 65 80 (1) 判断 是否是 的一次函数，并说明理由； (2) 求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； (3) 蜡烛燃尽时，燃烧时间 为多少？ 【答案】 (1) 是一次函数；(2) ；(3) min 【解析】 (1) 每增加 5 min， 减少 3 cm，即 为常数，故 是 的一次函数； (2) 设 ，取 、； 由 得 ； 由 得 ； 故 ； 蜡烛长度 ，即 ，； 故 的取值范围为 ； (3) 燃尽时 ， min，约 33 min 20 s． 【解题提示】表格求函数解析式步骤：① 验均匀变化（ 为常数）；② 设 取两点求 ；③ 写实际问题的自变量范围． 18．（6 分）已知 是一次函数，回答下列问题： (1) 求 的取值范围； (2) 若该函数是正比例函数，求 的值并写出函数关系式； (3) 在 (2) 的条件下，当 时，函数值 为多少？ 【答案】 (1) ；(2) ，；(3) 【解析】 (1) 一次函数要求 ，即 ； (2) 若为正比例函数，需 ； 或 ； 结合 (1) 中 ，故 ； 代入：； (3) 当 时，． 【解题提示】一次函数要求一次项系数 ；正比例函数在 基础上再加常数项 ；联立求解时要排除使系数为 的取值． 19．（6 分）小敏从家出发步行前往图书馆，途中经过商店．设她离家的距离 （m）与时间 （min）的关系为 ．回答下列问题： (1) 指出这个问题中的变量、自变量、因变量； (2) 当小敏走 12 min 时，她离家的距离 为多少？ (3) 若商店距家 480 m，小敏步行 12 min 后能否到达商店？ 【答案】 (1) 变量：；自变量：；因变量：；(2) m；(3) 能到达 【解析】 (1) 在关系式 中，、 均可变化，故变量为 与 ；自变量为 ；因变量为 ； (2) 当 时，，即离家距离为 720 m； (3) 商店距家 480 m，步行 12 min 后 m，因 ，故小敏此时已经过商店，能到达． 【解题提示】函数三要素：自变量（主动变化的量）、因变量（被决定的量）；求函数值用代入法；比较大小判断能否到达． 20．（7 分）某市实行居民管道天然气阶梯价格，以年度用气量为计费周期．第一档：年用气量不超过 360 立方米的部分，价格为 2.5 元/立方米；第二档：年用气量超过 360 立方米但不超过 600 立方米的部分，价格为 3 元/立方米．设某家庭年用气量为 （立方米），气费为 （元）． (1) 当 时，求 关于 的函数关系式； (2) 当 时，求 关于 的函数关系式； (3) 若该家庭某年气费为 1000 元，求该家庭该年的用气量 ． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 立方米 【解析】 (1) 时全部按 2.5 元/立方米 计费： ； (2) 时，前 360 立方米 用第一档： 元； 超出部分按 3 元/立方米：； ； 即 ； (3) ，故 ，用第二段关系式： ，且 ，符合第二段范围； 故该家庭该年用气量 立方米 立方米． 【解题提示】分段函数列写：① 找分界点；② 每段用一次函数表示；上一段封顶值为下一段的「起步价」；求值时先判段位再代入对应表达式． 21．（7 分）某科技馆为参观者提供讲解设备租赁服务，租金方案如下：每台设备押金 30 元，租金每小时 5 元，租赁时间不超过 8 小时；若超过 8 小时，超过部分按每小时 3 元计算．设租赁时间为 （h），租赁费用 （元）． (1) 写出 关于 的函数关系式（分段表示）； (2) 若小敏租赁费用为 55 元，求其租赁时间 ； (3) 该方案中 是 的一次函数吗？说明理由． 【答案】 (1) 当 时 ；当 时 ；(2) h；(3) 每段均为一次函数，但整体不是一次函数 【解析】 (1) 押金 30 元恒收； 租金： 时按 5 元/h：； 时：前 8 小时租金 元，超过部分 ，租金合计 ； 故 时 ； 时 ； (2) 检查 时段：，符合 ，故 h； 若 时段：，但 不符，舍去； 故 h； (3) 每段均为一次函数，但整体在不同段有不同的 值（，），故整体 不是 的一次函数． 【解题提示】分段函数：① 找分界点；② 各段单独列函数式；求值时先判断 所在段，代入对应表达式求解并验证范围；整体是否为一次函数：各段 是否相同． 22．（7 分）某园艺公司为隔离带护栏喷漆，需要测量护栏总长度，已知剩余长度 （m）与喷漆时间 （min）的对应数据为： （min）：0、4、8、12、16、20 （m）：100、92、84、76、68、60 (1) 判断 是否是 的一次函数，并求 关于 的函数关系式； (2) 求该护栏的总长度； (3) 喷漆多少分钟后还剩 30 m 未喷漆？ 【答案】 (1) 是一次函数，；(2) 100 m；(3) min 【解析】 (1) 观察 每增加 4 min， 减少 8 m， 为常数，是均匀变化，故 是 的一次函数； 设 ，由 得 ； 由 得 ； 故 ； 自变量取值范围：剩余长度 ，，且 ，故 ； (2) 时 ，故护栏总长 100 m； (3) 令 ，，故喷漆 35 min 后剩 30 m 未喷漆． 【解题提示】表格求函数解析式：判断 是否为常数，若是则设 ；自变量取值范围由实际意义确定． 23．（6 分）在一次「水沸腾实验」中，记录了水温 （°C）随加热时间 （min）的变化数据，如下表所示： （min）：0、2、4、6、8 （°C）：20、35、50、65、80 (1) 判断 是否是 的一次函数，并求 关于 的函数关系式； (2) 按此规律，加热 10 min 时水温是多少？ (3) 若水的沸点为 100°C，从开始加热到水沸腾共需多少分钟？ 【答案】 (1) ；(2) 95°C；(3) min，即约 10 min 40 s 【解析】 (1) 每增加 2 min， 增加 15°C， 为常数，故是均匀变化； 设 ，由 得 ； 由 得 ； 故 ； (2) 当 时，，故加热 10 min 时水温为 95°C； (3) 令 ，； 故从开始加热到水沸腾约需 min，约 10 min 40 s． 【解题提示】均匀变化列函数：① 验证 为常数；② 设 求解；③ 预测：代入对应 ；④ 反推：令 目标值 求 ． 24．（7 分）某登山队从山脚出发登山，登山过程中记录海拔 （m）与温度 （°C）的变化情况：山脚海拔 m 时气温 °C，海拔每升高 1000 m，气温下降 6°C．登山速度为海拔升高 200 m/h，设登山时间为 （h），海拔为 （m），气温为 （°C）． (1) 求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围（）； (2) 求 关于 的函数关系式； (3) 求 关于 的函数关系式； (4) 当登山 2 h 时，所处海拔与气温分别是多少？ 【答案】 (1) ；(2) ；(3) ；(4) m，°C 【解析】 (1) 海拔每 1 h 升高 200 m，故 ； 由 ，得 ，故 ； (2) 海拔每升高 1000 m 下降 6°C，即每米下降 °C； 故 ； (3) 将 代入 得： ，即 ； (4) 当 时： m； °C； 故登山 2 h 时所处海拔 400 m，气温 12.6°C． 【解题提示】复合函数：先分别求 关于 、 关于 ，再用代入法求 关于 ；注意自变量取值范围要随之传播；代入求值时分步计算并核对． 学科网（北京）股份有限公司 $