4 4.1 因式分解&4.2 提公因式法-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第 四 章 因式分解 1 因式分解 知识储备 02综合练 拿关健能力提升一 把一个 化成几个整式 的形 5.下列因式分解错误的是 () 式，这种变形叫作因式分解。也称为 A.2a-2b=2(a-b) 十一十 +十m+十十+十m++n+m十十十州十+用十+十日+ B.x2-25=(x+5)(x-5) 01基础练 必备知识梳理一 C.a2+4a-4=(a+2)2 知识点一 因式分解的概念 D.x2+x-2=(x-1)(x+2) 1.【概念辨析】对于式子①x2+2xy=x(x十 6.【教材P113习题T3变式】根据如图所示的 2y);②(x-3)(x十2)=x2-x-6从左到右 拼图过程，写出一个多项式的因式分解： 的变形，下列说法正确的是 () A.都是因式分解 B.都是整式乘法 口0口0*亡 C.①是因式分解，②是整式乘法 7.已知把多项式x2一4x十m因式分解的结果 D.①是整式乘法，②是因式分解 为(x十a)(x-6),求2a一m的值。 2.【教材P112随堂练习T2变式】下列式子从 左到右的变形是因式分解的是 () A.x(x+1)=x2+x B.x2-1=(x+1)(x-1) C.a(x+y)=ax+ay D2+1=(c+) 知识点二 因式分解的运用 3.若多项式x2十mx+n分解因式为(x-3)(x十 1),则m,n的值分别为 ( A.2,3 B.-2,3 03素养练 苏季科在养培育一 C.2,-3 D.-2,-3 8.【教材P113习题T4变式】利用因式分解计 4.利用因式分解计算57×99+44×99一99，正 算说明255+51能被30整除。 确的是 () A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198 助学助教优质高效62 2提公因式法 第1课时提单项式因式分解 知识储备 ++n+++++ 02综合练 屋关键能力提升·口 1.多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项 6.在下列各式中，从左到右的变形错误的是 式各项的 2.把一个多项式各项含有的 提出来， A.y-x--(x-y) 将多项式化成两个因式 的形式，这种 B.(y-x)2=(x-y)2 因式分解的方法叫作提公因式法。 C.(y-x)3=-(x-y)3 十 D.(y-x)3=(x-y)3 01基础练 必备知识梳理一 7.若m=0.68,r=6,R=8,则mr2十mR2的值 知识点一 公因式的概念 为 0 1.用提公因式法分解因式4abc+8a2bc时，应提 8.已知实数a,b满足a+b=6,ab=7,则ab+ 取的公因式是 ( ab的值为 A.4ab2 B.4abc C.abc D.4ab 9.【教材P115随堂练习变式】把下列各式因式 2.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的 分解： 是 ) (1)3a2y-3by+6y= A.x2-y B.x2+2x (2)-10mn2-8mn-2m3n= C.x2+y2 D.x2-xy+y2 知识点二提单项式因式分解 03素养练 学科素养培育·一 3.将多项式ab十2ab2提公因式后，另一个因式 10.【新课标·用类比方法计算与证明】 是 () (1)填空： A.-a+26 B.a-26 ①33-4×32+5×3= C.a+2b D.a+b ②34-4×33+5×32= 4.分解因式： ③35-4×34+5×33= (1)(2025·吉林)a2-ab= (2)猜想下列各题的结果，并验证第②个等式。 (2)(2025·广东)a2b+ab= ①32027-4X32026+5X32025= 5.【教材P114例1变式】把下列各式因式分解： ②3"+2一4X3+1+5X3”= (1)3x3y+6x4; (2)-5x+5xy; (3)2a2-4axy+2a。 63 八年级数学下册·BS 第2课时提多项式因式分解 01基础练 绵必备知识梳理一 知识点一提多项式因式分解 1.把多项式5(m一1)+a(m一1)提取公因式 (m-1)后，另一个因式是 () A.5+a B.5a A.x2+2x=x(x+2) C.-5+a D.-5-a B.x2-2x+1=(x-1)2 2.2m(m-x)与mn(x-m)的公因式是（ C.x2+2x+1=(x+1)2 A.m B.m(m-x) D.x2+3x+2=(x+1)(x+2) C.n D.n(m-x) 6.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可 3.【教材P115例2变式】用提公因式法分解因式： 分解因式为(3x十a)(x十b),其中a,b均为整 (1)x(y-1)+4(1-y); 数，则a一2b的值为 7.【教材P115例3变式】将下列各式分解因式： (1)6x(x+y)-4y(x+y); (2)(a-2)2-6(2-a)。 (2)(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a)。 知识点二提公因式法因式分解的运用 4.【教材P117习题T4变式】先分解因式，再求值： (1)4a(b+7)-3(b+7),其中a=-5,b=3; 03素养练 》李科老养培有一 8.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读下列 分解因式的过程，再回答所提出的问题： (2)(a-2)2-5(2-a),其中a=3。 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2·(1+x) =(1十x)3。 (1)上述分解因式的方法是 (2)若分解因式1+x十x(x十1)十x(x十1)2十 02综合练 ,金关能能力提升一 x(x十1)3，则结果是 (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2 5.【教材P116“尝试·思考”变式】小明用四张 如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此 +…+x(x十1)”= 。(其中n 写出一个多项式的因式分解，正确的是() 为正整数) 助学助教优质高效64第四章因式分解 1 因式分解 知识储备 多项式乘积分解因式 基础练 1.C2.B3.D4.B5.C6.x2+2x+4x+8=(x+4)(x+2) 7.解：（解法一）由题意，得x2-4x十m=(x十a)(x-6),又(x十a)(x-6)=x2+ (a6)x6a.a0解得12之 -6a=m, ∴.2a-m=2×2-（-12)= 16。(解法二)x2-4x十m=(x十a)(x-6),∴.当x=6时，62-4×6十m =(6十a)(6-6)=0,解得m=-12。∴.x2-4x+m=x-4x-12=(x+2) (x-6)。.a=2。.2a-m=2×2-（-12)=16.8.解：255+51=50 +51=510+5×510=510×(1+5)=59×5×6=59×30,.255+511能被30 整除。 2提公因式法 第1课时提单项式因式分解 知识储备 1.公因式2.公因式乘积 基础练 1.B2.B3.C4.(1)a(a-b)(2)ab(a+b)5.(1)解：原式=3x3(y+ 2x);(2)解：原式=-5x(1-y);(3)解：原式=2a(a-2xy十1)。6.D 7.688.429.(1)3y(a2-b+2)(2)-2m3n(5mn+4m+1)10.解：(1) ①6②18③54(2)①2X32025②2X3”3+2-4X3"+1+5X3”=3 (32-4×3+5)=2×3”。 第2课时提多项式因式分解 基础练 1.A2.B3.(1)解：原式=(y-1)(x-4);(2)解：原式=(a-2)2+6(a 2)=(a-2)(a-2+6)=(a-2)(a+4)。4.(1)解：原式=(b+7)(4a-3)。 当a=一5，b=3时，原式=(3+7)×（一20一3）=一230；(2)解：原式 (a-2)2+5(a-2)=(a-2)(a-2+5)=(a-2)(a十3)。当a=3时，原式 =(3-2)×(3+3)=6.5.D6.97.(1)解：原式=2(x+y)(3x-2y); (2)解：原式=(3a+b)(2a-3b+4a)=(3a+b)(6a-3b)=3(3a+b)(2a b)。8.(1)提公因式法(2)(1十x)(3)(1十x)+1 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 知识储备 1.(a+b)(a一b)2.提公因式 基础练 1.A2.D3.(1)(a+1)(a-1)(2)(x+2)(x-2)(3)(x-3y)(x+ 3y)4.(1)解：原式=(m-1十5)(m-1一5)=(m+4)(m-6);(2)解：原 式=(a+b+a+c)(a+b-a-c)=(2a+b+c)(b-c)。5.3(m+2)(m 2)6.(1)①x2(1+x)(1-x)②x2-4(x+2)(x-2)(2)①解：原式 =b(a2-4b)=b(a+2b)(a-2b)；②解：原式=(a-b)(x2-y2)=(a-b) (x+y)(x-y)。7.3a-48.D9.D10.(x2+4)(x+2)(x-2) 11.C12.D13.x2-1(答案不唯一)14.2415.(1)解：原式=ab(a2 16)=ab(a+4)(a-4);(2)解：原式=(x-y+3x)(x-y-3x)=-(4x y)(2x+y);(3)解：原式=(x-y)(x+2)(x-2)。16.解：原式=(198 +202)×(198-202)=400×(-4)=-1600.17.解：(1)a2-b2=(a+ b)(a-b)。(2)由题意，可得a2-b2=12。∴.a2-b2=(a+b)(a-b)=12。 ab=3…a+6=4。③)原式-200 第2课时运用完全平方公式因式分解 知识储备 (a+b)2(a-b)2 21