4.2 认识一次函数 分层提升练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.2 认识一次函数 分层提升练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 5．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 6．下列各题中的与之间关系式中，是的正比例函数的是(   ) A．在时速为的匀速(速度不变)运动中，路程与时间之间的关系 B．圆柱的体积与它的底面半径之间的关系 C．正方形的面积与它的边长之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过的行李，超过部分每千克收取元的行李费用，则旅客需交的行李费(元)与携带行李质量()之间的关系 7．我们研究一次函数的图象和性质，可以利用数形结合的思想直观感知一些函数性质，当自变量从开始逐渐增大时，下列函数中函数值先到达的应该是（   ） A． B． C． D． 8．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题 9．若函数是正比例函数，则________． 10．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的形式，则称y是x的___函数．特别地，当b＝0时，称y是x的___函数，即y＝kx（k≠0）． 11．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 12．在一次密码传输过程中，某小组约定用一次函数设置为加密规则（自变量的值是明文英文字母对应的数字，其中26个英文小写字母依次对应阿拉伯数字，例如，，；函数值是加密数）．现有加密传输过程中得到的加密数“40；25；7；13”，你破译出原始明文是______． 13．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是__________． 三、解答题 14．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 15．写出下列各题中y与x之间的函数式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)圆珠笔每支元，购买圆珠笔的总价（元）与购买支数x之间的关系． (2)甲、乙两地之间的距离为300千米，汽车从甲地出发开往乙地的平均速度y（千米/时）和到达乙地所需时间x（时）之间的关系． 16．北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 17．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、） (2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标． 18．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A A C A C A 1．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； B．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； C．，符合正比例函数的定义，是正比例函数； D．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标满足函数解析式，将点A的横坐标代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入一次函数，得 ， 即的值为2． 3．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义进行解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义． 4．【答案】A 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】利用油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键． 5．【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确； D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误． 【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）． 6．【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的识别，根据正比例函数的定义，为常数逐一判断各选项． 【详解】正比例函数需满足为常数)， 选项A：匀速运动中，路程y与时间x关系为，符合形式； 选项B：圆柱体积与半径关系为 为常数不符合； 选项C：正方形面积与边长关系为，不符合； 选项D：行李费与质量关系为，不符合． ∴只有A选项是正比例函数． 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数自变量的值，分别求出各函数中函数值为时对应的自变量的值，再进行比较，的值越小则函数值先到达，据此即可判断求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、当时， 解得； 、当时，， 解得； 、当时，， 解得； 、当时，， 解得； ∵， ∴ 选项对应的最小，即函数值先到达， 故选：． 8．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 9．【答案】3 【知识点】利用平方根解方程、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据形如是正比例函数，可得答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， 解得：， 故答案为：3． 10．【答案】 一次 正比例 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【解析】略 11．【答案】 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；根据加密函数，然后把，，，分别代入函数进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： 当时，则有，解得：，对应字母n； 当时，则有，解得：，对应字母i； 当时，则有，解得：，对应字母c； 当时，，解得：，对应字母e； 故明文为， 故答案为． 13．【答案】 【知识点】利用平方根解方程、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键． 根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可． 【详解】解：是关于的一次函数， 且， 解得：， 一次函数解析式是， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】（1）根据题意可设，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可； （3）把代入（1）中解析式求解即可． 本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数关系式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解： 根据题意可设， ∵当时， ∴， 解得， ∴． （2）当时，， 解得． （3）当时，． 15．【答案】(1)，为的一次函数，是正比例函数 (2)，不是的一次函数，不是正比例函数 【知识点】识别一次函数、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）根据总价等于每支比的售价乘以数量可以列出函数关系式，根据一次函数与正比例函数的定义进行判断即可求解； （2）根据速度等于路程除以时间列出函数关系，进而根据一次函数与正比例函数的定义进行判断即可求解． 【详解】（1）解：，为的一次函数，是正比例函数 （2）解：，不是的一次函数，不是正比例函数 【点睛】本题考查了正比例函数，一次函数的概念，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 16．【答案】(1) (2)4400 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法． 17．【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】列一次函数解析式并求值、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出的坐标，再顺次连接三点得到． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 【详解】（1）解：，关于轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数， ． ， ． ， ． 顺次连接，得到． （2）解：作点关于轴的对称点，设直线的解析式为， 将，代入解析式： , 解得，， 直线的解析式为． 当时，， ． 18．【答案】 （1）解：选择（Ⅰ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅱ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅲ）时函数和的图象的交点坐标是． （2）①证明：由题意，得， 所以， 因为， 所以． 所以不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值． ②当时，；当时，；当时，； ③当时， 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键． （1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可； （2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可； ②令，则，得；令，则得； ③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②由题意，得， 因为，所以， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，． ③当时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $