8.7 椭圆及其性质专项训练-备战2027年高考数学一轮复习（全国通用）

8.7椭圆及其性质（精讲） 第一部分：知识复习 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1,F的距离的和等于常数（大于FF)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1,F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离FF叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距， 2.椭圆的标准方程和几何性质 +=1 标准方程 +=1(>b>0) (a>b>0) B 图形 4EcA, B 一a≤x≤a, -b≤x≤b, 范围 -b≤y≤b -a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 性 A1(-a,0),A(a,0), A1(0,-a,A(0,), 顶点 质 B1(0,-b),B(0,b) B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴AA2的长为2a:短轴B1B2的长为2b 焦距 FiF=2c 离心率 e=∈(0,1ù a,b,c的关系 c2=a2-b2 [常用结论] 1.椭圆的焦点三角形 椭圆上的点Px,)与两焦点构成的△PF;F,叫做焦点三角形.如图所示，当椭圆为+=1(a>b>0) 时，设∠FPF=0. 1/10 P(xoYo) (1)PFPF≤2=d2 (2)当PF⊥x轴时，点P的坐标为. (3)PF1l=a+e,|PF|=4-e, (4)PFilmax=atc,PFilmin =a-c. (5)4c2=PF+PF22-2PFlPFlcos 0. (⑥S△rPF:=btan三cwl,当w=b,即点P的位置为短轴端点时，0最大，S取最大值，最大值为 bc. 2.已知过焦点F的弦AB,则ABF的周长为4☑ 第二部分：典型例题 典例一：椭圆的定义及应用 C:y =1 1.(26-27高三上宁夏银川阶段检测)设，B分别是椭圆3612的左、右焦点，点P在C上，且 P-P=6,则P x2,y2 2.(26-27高三·全国一轮复习)设M是椭圆2516=1上的一点，BB为该椭圆的焦点， ∠FME=z 6,则 △MFE 的面积为一 x2,y2 3.(2026山西折州模拟预测)已知椭圆C.9+4的左、右焦点分别为5，乃，点P在C上，若 ∠P5=90,则PHP= 2/10 C: =1 4.(2026辽宁三模)已知椭圆C25+16的焦点分别为F,B,点P为C上任意一点，则PHPE的最大 值为() A.41 B.25 C.10 D.9 典例二：椭圆的标准方程 5.(25-26高三上天津河北阶段检测)已知P为椭圆C上一点， F,E 为椭圆的焦点，且 FF=2V3,PF+PF=4V3 ,则椭圆C的标准方程为() A.129 B.129或912 x2.y2 x2,y2 C.9+12=1 =1x2y2 D.4845或45+48 6,(25-26高三上重庆万州阶段检测)已知椭圆5：兰+上 京+京=1a>b>0)的左.右焦点分别为F,E,过坐标原点 1 的直线交B于P,O两点，且PF,1FQ,且same-2,PE+F0=4,则B的标准方程为(） 0 F F, 9 2 A.421 D.54 7.(25-26高三上：上海期末)焦点在x轴上的椭圆过点P(2,3),且点P到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准 方程为 C: 8.(2026陕西成阳三模》已知椭圆C:7十厅a>b>0的左、右焦点分别为5，R,上顶点为M,若 3/10 ∠FM-否，且△PM,的面积为、5，则C的标准方程为 典例三：椭圆的长轴、短轴、焦距 y2,x2 =1 9.(26-27高三上黑龙江吉林期中)椭圆259的焦点坐标是（) A.（4,0),(4,0) B.(0-4),(0,4) C.（-3,0,(3,0) D.(0-3),(0,3) 上四南充阶段检现（多)已知随，9个司的左，右点分别为上 PF⊥PF 上一点，且 2,则() A.E的短轴长为4 B.E的离心率为 PFE的周长为 +2V5 D APEF 的面积为2 1,《2627高=上北京期中)己知椭圆中心在原点，一个焦点为F2√5.0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭 圆的标准方程是一· x2 y2 53 12.(2627高三上全国课后作业)与椭圆方程20十16有相同焦点，且过点22)的椭圆方程为 典例四：椭圆中焦点三角形问题 13（2627商=上河北治州开学老已知，5分别为指圆C号+长-a>利的左、右能点，点M在c上 △FME, △FME, 且 的周长为16，则 面积的最大值为() A.6 B.12 C.16 D.24 4/10 14(226商三下街南期未)被万·5是流园学+会-0<b2)的左、有点点，过斤的直被交肺圆干A”B 两点，若A+B5最大值为6，则椭圆的离心率为(). A. 2 V5-1 3 B.2 C.2 D.2 2 15。(2026山西析州模拟预测)已知椭圆C,4+少=1的 的左、右焦点分别为F,B,点P在椭圆C上，且 ∠FPE=60° PFE2 ,则 的面积为() √3 3 2W5 A.6 B.3 C.3 D.1 x2.y2 2 16。(2026河南模拟预测)已知斤，B乃分别为椭圆C:。+?=1a>b>0 的左、右焦点，椭圆C的离心率为3， 点P在椭圆C上，且P △PF 2的周长为10，则9 的面积的最大值为() A.v5 B.2V5. C.4 D.35 典例五：椭圆上的点到焦点与定点距离的和、差最值 x2.y2 =1 17.(26-27高三上·黑龙江佳木斯阶段检测)椭圆C:54 的左右焦点分别为F,B,点A(,),P为C 上一动点， PF+PA的最小值为- C: 1 18.(2627高三上广东开学考试)已知椭圆C2521及点4(2,0)，B(2,3),点P是C上与A,B不共线的 动点，则△PAB周长的最大值为 19.(26-27高三上·浙江阶段检测)已知椭圆的焦点为 (-3,0),B(3,),P是椭圆上一动点，下列等式不可能 成立的是() 5/10 A.PRPE=10 B PF-PF=10 C.PFPF =10 PFL=10 D.PE C:y =1 20.(2026高三全国专题练习)已知椭圆2516内有一点A(2,),F是椭圆C的左焦点，P在椭圆C上运 动，则3P4+5PF的最小值为一· 典例六：根据方程表示椭圆求参数的范围 -=1 21.26-27高三上·上海阶段检测)若方程6-mm-3表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是一· x2 2.(2627高三上海南海口阶段检测)（多选）若方程5-mm所表示的曲线为C,则《 A,曲线C可能是圆 B.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则l<m<3 C.若C为双曲线，且焦点在y轴上，则m<1 6 D.当m=2时，表示焦点在x轴上的椭圆，离心率为3 x2,y2 23.(2627高三上山东荷泽阶段检测)方程7-k+-5若表示圆，实数k的取值为 ,若表示椭 圆，则实数k的取值范围为 y2.x2 =1 24.(26-27高三上四川期中)若方程m+13-m表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 () A.(0,2) B.（3) c.(0,U(1,2) 6/10 D.(1,3) 典例七：椭圆的轨迹方程 x2,y2 25.(2627高三上江苏南通阶段检测）（4)己知曲线方程k十5十—k1,kR,若方程表示焦距为2的精圆， 求k的值. 2+y2+6x+5=0 (2)已知一动圆与圆 外切，同时与圆+广-6x-91=0 切，求该动圆圆心的轨迹方程. 26,(26.27高三上湖南长沙阶段检测已知圆C:(x+3+少=64，A(3,0,P是圆C上任意一点，线段AP的 垂直平分线I和半径CP相交于点，当点P在圆上运动时，点的轨迹方程为() x2,y2 -=1 A.169 B.6436 C.16+7=1 。品号1 27,(2627商三上黑龙江吉林期中)已知5.0，Bv5,0,若直线4BP相交于点P,且它们的斜率之积 4 是5，则点P的轨迹方程为() 是+y=10x+±5) A.5T3 x2,y2 B.3+5=10≠±5 +4=l(r≠±V⑤ D4+5=1少≠t6) 28、(2627高三上全国课后作业)椭图号+y=1上有动点p,点，5是桶圆的两个焦点，则F5的重心 7/10 M的轨迹方程为 典例八：椭圆的离心率 x2y2 29.(26-27高三上·黑龙江哈尔滨阶段检测)设椭圆C:+京=1(a>b>0) 的左，右焦点分别为，B,O为 坐标原点，过5的直线与C交于A,B两点，且M=25B,A14B,则C的离心率为) √5 5 3 2 A.2 B.3 C.5 D.2 30,(26-27高三上云南昆明阶段检测)已知椭圆E:+ y2 :京+存=1a>b>0)的左、右焦点分别为R,B,点P在E △PEF 3 ∠FI=120° 上.若 的周长为6，面积为，且其内心I满足 ,则E的离心率为() 3 2 V6-√2 A.3 B.2 C.2 D.2 C:x. 3引.（26-27高三上黑龙江牡丹江阶段检测)已知店，B分别为椭因C:7+花=1(a>6>0) 的左、右焦点，点 P在直线1x=a上运动若m0的最大值为5，则椭因C的离心率为 32(2627高三上黑龙江大庆阶段检测已知椭圆C:怎+片=1Q>b>0)的左、右焦点分别为F,E,长轴 MF 7 为30，过点且斜率为V3的直线与椭圆C交于点M(位于x轴上方)，且F8,则离心率= 典例九：椭圆的离心率的取值范围 63,2026高三上全国专题练习)设椭圆C2+2=1@>h0 的下顶点为P,MN在椭圆C上，若四边形 π 0∈ OPMN为平行四边形，B为ON的倾斜角，且L12'4] 则椭圆C的离心率的取值范围是 8/10 34.(25-26高三上广东深圳期末)记动椭圆C:2+ 631 的左、右焦点分别为B,B,若C上存在点M(,) 11 使得∠FM=3,且x,的取值范围为22，则c的离心率的取值范围为 35,2026高三上甘肃兰州专题练习)蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆。+=1(a>b>0) 的两条 x2+y2=a2+b2 相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 已知椭圆 E:×+y =1 “m2的焦点在x轴上，A,B为椭圆E上任意两点，动点P在直线xV5y80上.若∠APB恒为锐角，则 椭圆卫离心率的取值范围为() 6 B 0, 7 c. 7 n. 362s26南上E山期床)E如5(e0,5e0元黄C若片-o>60 的左右焦点，若椭圆 E·PE=3c2 上存在一点P使得 则椭圆C的离心率的取值范围为() 13 51 3V3 √55 1.22 B.52 3’2 5’3 典例十：与椭圆几何性质有关的最值（范围）问题 5K2627商上黑除（多)已知真线9y=收0交的圆二+方Q>6>0 A,B M,N F2 两点， 斤，5为椭圆的左、右焦点。M,为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线的对称点为Q则〈 ) ,则4V26 A.者1 9/10 1 √3 kku=一于，则椭圆的离心率为3 B.若 1/1F2 D.若直线8吧平行于x轴，则k=土w5 x2.y2 =1 38.(2627高三上·黑龙江哈尔滨阶段检测)己知5，B是椭圆43的左，右焦点，点A是椭圆上的一个 AEE 动点，当 的面积最大时，其内切圆的半径是() 1 1 3 A.1 B.2 C.3 D.3 x2 y2 十 =1 39.(26-27高三上·云南昭通阶段检测)（多选）己知乃，B分别为椭圆C:42的左、右焦点，P为椭 ∠FPF,=60° 圆C上一点， 点P关于原点O的对称点为Q,则() A,椭圆C的离心率为) B.IP5H-6l-3 C.直线PO的斜率为±2 D.IPel=2V30 3 0。(2627高三上黑龙江牡丹江阶段检测已知椭圆C:。+了=1的左、右焦点分别是F,5,点p是椭圆C △PFF △PEE 异于长轴端点的动点。若△P的外接圆的面积是其内切圆面积的16倍，则△ 的面积为() 5v3 5v6 2v5 2v6 A.3 B.3 C.3 D.3 10/10 8.7 椭圆及其性质（精讲） 第一部分：知识复习 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [常用结论] 1．椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为＋＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ. (1)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为. (3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0. (4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (6) ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc. 2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a. 第二部分：典型例题 典例一：椭圆的定义及应用 1．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）设，分别是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且，则=_________ 【答案】 【详解】易得，，，故 2．（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可求解 【详解】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 4．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 典例二：椭圆的标准方程 5．（25-26高三上·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别求出，再根据焦点所在的位置即可求出标准方程. 【详解】由题意，椭圆的焦距，长轴长， 则， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B. 6．（25-26高三上·重庆万州·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，则E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，根据，得，由三角形面积解得，，计算即，求出可得椭圆的标准方程. 【详解】 如图，连接，，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形， 所以，得. 又因为，所以四边形为矩形，设，， 则，所以，得， 则，则，， 椭圆的标准方程为. 故选：A. 7．（25-26高三上·上海·期末）焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为______. 【答案】 【分析】由椭圆的定义得到，再把点代入椭圆标准方程，求出即可. 【详解】设椭圆方程为， 因为点到两焦点的距离之和为8，所以， 又焦点在轴上的椭圆过点， 所以， 所以该椭圆标准方程为：. 故答案为：. 8．（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为______. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得. 【详解】由题设，可得， 又为上顶点，则，故， 所以，则，故标准方程为. 故答案为： 典例三：椭圆的长轴、短轴、焦距 9．（26-27高三上·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆的焦点在轴上，半焦距， 所以所求焦点坐标为. 10．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）（多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 【答案】AC 【详解】对于A，设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a，2b，2c， 由E：，得，， 所以，，， 所以E的短轴长为4，故A正确； 对于B，离心率，故B错误； 对于C， 由椭圆的定义，得， 又， 所以的周长为，故C正确； 对于D， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 的面积为，故D错误. 11．（26-27高三上·北京·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 【答案】 【详解】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的倍， 所以，则，所以， 解得，故，所以椭圆的标准方程为. 12．（26-27高三上·全国·课后作业）与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 【答案】 【详解】由题意可设所求椭圆的标准方程为， ∵椭圆过点， ∴将，代入方程得， 解得或（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 典例四：椭圆中焦点三角形问题 13．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 14．（25-26高三下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 15．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 16．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 典例五：椭圆上的点到焦点与定点距离的和、差最值 17．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用椭圆定义把替换成，将所求式子转化为，再用三角不等式求出最小值，从而得到所求的最小值. 【详解】椭圆 ，则， ，， 左焦点 ，右焦点 ，由椭圆定义：，所以 ， ， 因为，当且仅当为线段的延长线与椭圆的交点时，等号成立， ， 所以， 则的最小值为. 18．（26-27高三上·广东·开学考试）已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，则周长的最大值为____________． 【答案】 【分析】识别出点A为椭圆右焦点，利用椭圆定义将 转化为 ，由三角形不等式得 ，取等时 共线，结合固定边 得周长最大值. 【详解】由椭圆方程 ，知 ，故 . 焦点为、，可见点 恰为右焦点 . 设 为椭圆上一点，则椭圆定义有， 而 ，所以. 由三角形不等式，对任意点 ，有， 其中 ，，故. 因此， 等号当且仅当 三点共线且 位于 与 之间时取得， 所以的周长且最大值能达到. 则周长的最大值为. 19．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义可判断A；利用三角形的三边关系可判断B；结合椭圆的定义及焦半径的范围可判断CD. 【详解】由题意可得，结合椭圆定义可得， ， 对于A：，则，， 且，故可能成立，故A错误； 对于B：，故不可能成立，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴端点时，， 当为椭圆长轴端点时，， 所以的范围是， 只要且可满足条件， 由可得，所以可能成立，故C错误； 对于D：，即， 代入椭圆定义可得，， 只要，由，解得，又， 所以当时，成立，故D错误. 20．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【分析】结合椭圆的第二定义，将问题转换成椭圆上的点到定点和左准线的距离和问题即可求解. 【详解】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 典例六：根据方程表示椭圆求参数的范围 21．26-27高三上·上海·阶段检测）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以， 即， 所以， 则m的取值范围是． 22．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为双曲线，且焦点在轴上，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程，以及椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故B正确. 对于C，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故C错误. 对于D，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，， 所以，解得，，所以离心率为，故D正确； 23．（26-27高三上·山东菏泽·阶段检测）方程若表示圆，实数的取值为___________，若表示椭圆，则实数的取值范围为___________． 【答案】 6 【分析】利用圆与椭圆的定义求解即可. 【详解】方程若表示圆，则，解得：，此时实数的取值为6 方程若表示椭圆，则，解得：，或，此时实数的取值范围为. 24．（26-27高三上·四川·期中）若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 典例七：椭圆的轨迹方程 25．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 【答案】（1）或； （2） 【分析】（1）两个分母与都含参数，谁大谁小不确定，故需分类讨论；同时 “表示椭圆”还要求两个分母均为正，这是隐含条件，由焦距为得，故只需按与 的大小分两类，利用建立方程求； （2）动点是动圆的圆心，等量关系来自两个相切条件：外切时圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径之差，设动圆半径为，则两个条件可写成与 ；两式相加即可消去，得到，其中、为定点，且 ，结合椭圆的定义得解. 【详解】（1）由题意得且，解得. ① 当，即时，焦点在轴上， ，，. 又焦距，得，即，解得，符合. ② 当，即时，焦点在轴上， ，，. 由得，解得，符合. 当时，方程为，表示圆，不合题意. 综上，或. （2）圆：，配方得 ， 所以圆心 ，半径 ， 圆：，配方得， 所以圆心，半径， 设动圆圆心为，半径为， 动圆与圆外切，则， 动圆与圆内切，则， 两式相加，得， 又， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为为， 则由得，半焦距为，所以， 故动圆圆心的轨迹方程为. 26．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所求点的轨迹方程为． 27．（26-27高三上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标为，直接利用斜率公式表示出关于，的方程，化简即得结论． 【详解】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 28．（26-27高三上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 典例八：椭圆的离心率 29．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 30．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内心性质可得，利用椭圆的定义可得，再根据三角形面积及余弦定理得，进而求得，即可求解离心率． 【详解】因为 ，所以． 设，，焦距．的周长为． 由椭圆的定义可知，代入得，所以． 三角形面积，所以． 在中，由余弦定理得，即． 又．代入得． 整理得，即． 由代入得．联立解得．故离心率． 31．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 【答案】/ 【分析】设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆中参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 【详解】由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ， 当且仅当，即时取等号， 又的最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 32．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 【答案】或 【分析】先由直线斜率得到的余弦值，结合椭圆定义和已知边长比例，在中用余弦定理求出，再代入离心率公式计算结果. 【详解】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率； 过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此， 设焦距，由得 ； 根据椭圆定义 ，得 。 在中由余弦定理知：， 即，整理得 ， 解得或，均满足题意， 当时，；当时，. 典例九：椭圆的离心率的取值范围 33．（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意，点在椭圆上可得，则，求出的取值范围后即可得解. 【详解】P为椭圆的下顶点，四边形为平行四边形， 在y轴上，，且M，N关于x轴对称， 因为的倾斜角，所以点在第一象限， 可设点， 由点在椭圆上可得，解得， 直线的倾斜角， ，即， 但，，即. 34．（25-26高三上·广东深圳·期末）记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 【答案】 【分析】设的半焦距为，则易知的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再讨论两个临界位置时的情况即可求得答案. 【详解】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为， 由椭圆的对称性易知， ∴，即，    ①当点在上顶点位置时（临界位置一）， 在中，由余弦定理得：， ②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二）， 满足条件的点有四个，不妨取，如图， ∴，则由椭圆定义可知， 在△中，由余弦定理的推论可知， ∴，解得，即， ∴的离心率的取值范围亦为， 故答案为：. 35．（2026高三上·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 36．（25-26高三上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆上一点，利用平面向量数量积以及椭圆的范围得出不等式即可求出离心率的取值范围. 【详解】依题意设椭圆上一点，所以，可得； 所以， 因此，即， 也即，所以， 因为，所以可得，因此， 即，即， 因此离心率为. 故选：B 典例十：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 37．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）（多选）已知直线交椭圆于两点，为椭圆的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线的对称点为Q，则（   ） A．若，则 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 【答案】ACD 【分析】A.根据对称关系，以及椭圆的性质，判断A，B.根据斜率公式，以及点在椭圆上，化简判断B，C.根据中位线的性质，证明线线平行，判断C,根据几何关系，求倾斜角，再求直线的斜率，判断D. 【详解】A.设，当时，直线，点关于直线的对称点为，即，则，故A正确； B.设，，， ，即。 椭圆的离心率，故B错误； C.因为直线过原点，直线平分线段，且平分线段，所以，故C正确； D. 由C可知，，且，所以四边形是平行四边形，所以， 所以四边形也是平行四边形，因为直线垂直平分，所以， 因为轴，所以点关于轴对称，所以， 所以是等边三角形，所以，所以， 如图，第二种情况，当时，同理求得是等边三角形，所以，所以直线的倾斜角为，，综上可知，，故D正确. 38．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和三角形面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，设的内切圆的半径为， 由，则，，，所以，， 由，即， 若的面积最大，即最大，又因为，所以， 所以，故D正确. 39．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，，点P关于原点O的对称点为Q，则（     ） A．椭圆C的离心率为 B． C．直线的斜率为 D． 【答案】BD 【分析】根据椭圆的标准方程和定义，利用余弦定理，三角形面积公式等逐一计算即可判断. 【详解】对于A，由题意知，所以，则， 所以离心率，故A错误； 对于B，由椭圆的定义可知， 在中，由余弦定理得， 即，所以，故B正确； 对于C，由， 则，解得， 因为点和点关于原点对称，所以， 又为椭圆上一点，所以，所以， 所以，故C错误； 对于D，， 故D正确； 40．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上异于长轴端点的动点．若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据椭圆的定义得到，，再设外接圆的半径为,内切圆的半径为，从而根据题意得到，再利用内切圆法得到，再根据正弦定理得到，从而结合三角形的面积公式得到，从而根据余弦定理得到，从而根据即可求出的值，进而即可求出的面积 【详解】由椭圆，则由椭圆的定义可知，且， 设外接圆的半径为,内切圆的半径为，则，得， 所以， 在中，由正弦定理有， 即，即， 所以，即， 在中，由余弦定理有， 又，即，化简得，解得， 所以的面积为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $