8.10 直线与圆锥曲线的位置关系专项训练-备战2027年高考数学一轮复习（全国通用）

8.10 直线与圆锥曲线的位置关系（精讲） 第一部分：知识复习 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与双曲线的位置关系 代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 3、直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 4、直线与圆锥曲线的相交的弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 第二部分：典型例题 典例一：直线与圆锥曲线的位置关系 1．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【详解】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 2．（25-26高三下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中分别画出直线和曲线的图象，即可直观的看出公共点的个数. 【详解】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，分两类讨论：平行于渐近线的直线，和与双曲线相切的直线，再统计总数． 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. 4．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD. 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 典例二：圆锥曲线的中点弦问题 5．（26-27高三上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 6．（26-27高三上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 7．（26-27高三上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 8．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 典例三：圆锥曲线中的弦长问题 9．（26-27高三上·四川·期中）已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于两点，则弦长等于______ 【答案】/ 【分析】利用两圆外切、内切的距离条件，得到动圆圆心到两定点距离之和为定值，由椭圆定义写出椭圆方程，将代入椭圆方程求出纵坐标，上下两点纵坐标之差即为弦长． 【详解】 如图所示，设圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 由圆分别与圆外切和圆内切， 则，，则， 即动点到两定点的距离之和为定值，且大于，满足椭圆定义， 即点是以为焦点，且，的椭圆， 所以动点的轨迹方程为，如图所示， 由轴，且过点， 设，， 将代入椭圆方程，得， 即，，所以． 10．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若，且，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据离心率公式以及将点代入方程即可求解双曲线的方程； （2）设直线方程为，与双曲线联立方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可； （3）设直线l方程为，联立求出，由题意得且，再根据，求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线：，，，则， 将点，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）当直线斜率为0时，易知，舍去； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立，整理得，， ， ，，     从而，解得或， 故直线的斜率为或． （3）当直线斜率为0时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线l方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，，如图4， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即，     代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，m的取值范围为． 11．（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 【答案】 【分析】由点在抛物线上求参数值，即可得抛物线，应用点斜式写出直线方程后设直线MN的方程为，联立抛物线得到韦达定理，且MN的中点坐标为，再由点在直线上求参数，最后由弦长公式可得. 【详解】如图，因为在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，    因为直线的斜率为1，所以直线的方程为； 设直线MN的方程为， 由，消去得， 设，则，于是线段MN的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得， 所以， 所以. 12．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，利用直线的斜率与直线的斜率的差是2列出方程化简即可； （2）设直线的方程为：，联立与的轨迹方程，根据韦达定理以及得到，从而得出，求出，最后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）设，由， 则，其中， 由题意知：，化简得， 所以点的轨迹方程为：. （2）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为：， 联立，消去得：， 由， 所以设，所以，① 因为，所以即， 也即， 整理可得：， 将①代入上式，得，解得：， 所以 . 典例四：圆锥曲线中的焦点弦问题 13．（2026·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为. 设， 由抛物线定义得. 将代入， 整理得， 由韦达定理得. 对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得， ∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确； 对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上， 而中点为， 垂直平分线为， 故. 代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确； 对选项C：∵ ， ∴ ， 即. 代入得， 即， 解得（负根舍去）， 则， ∴ ， 解得， 又，∴ ， C错误； 对选项D：， 代入， 得， 令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 14．（26-27高三上·浙江·阶段检测）（多选）过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限且，已知点，若直线，与分别另外交于，两点，则（     ） A．当时， B．当时， C．当直线与直线平行时，直线的斜率为2 D．当直线的斜率为时，直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】A利用焦点弦公式计算；B利用向量的坐标运算列方程组求解；C设直线方程，并与抛物线联立，进而求出两条直线的斜率，利用等量关系求出；D结合C选项即可. 【详解】设，其中， 易得，准线方程为，则，得， 则，故A正确； 若，则，即， 则，即，得， 故，故B错误； 设直线， 联立，得，则， 因为，所以，， 联立，得， 则， 故，同理可得， 故直线的斜率为 （斜率不存在的直线与抛物线只存在唯一交点）， 因为直线与直线平行，所以，得（负值舍去）， 故C正确； 若，则直线的斜率为，故D正确. 15．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由题意可得，再由，求出的值，即可得答案； （2）由的周长为，结合双曲线的定义可得，设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理及弦长公式求出的值，即可得答案. 【详解】（1）因为，即， 所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线， 代入， 得， 整理得：. 设， 因为均在的右支上， 所以，且， 所以， 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：， 即. 16．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义可得 的周长为 ，从而判断A；由三角形内切圆半径与三角形周长和面积的关系可得内切圆半径的最大值，判断B；结合椭圆的定义及三角不等式求得的最大值，判断C；设直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，求得，判断D. 【详解】由 ，知. 所以 的周长为， 故A正确； 设内切圆半径为，， 的周长为， 面积为， 所以，得. 所以 内切圆半径的最大值小于 2，故B错误； 由椭圆的定义，得， 所以， 当为延长线与椭圆的交点时取等号，故最大值为，故C正确； 设， 由 ，得，所以. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 代入，得，. 所以，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得. 所以. 因为， 所以， 即，， 所以或. 当时，，无解； 当时，，，， 所以，故D正确. 典例五：圆锥曲线中的向量问题 17．（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明：因为直线 与抛物线有两个交点， 所以 不可能是平行于 轴的直线（否则与抛物线只有一个交点）， 故可设，代入 得 ， 即 ，判别式 . 设，，则 ， . 由 都在抛物线上得 ，， 所以. 由 得 ，即 ， 所以 ，解得 或 . 若 ，则直线 经过原点 ， 此时 中有一点与重合，与 中有零向量，不符合题意，故舍去. 所以，即，直线恒过定点. 检验：当 时 恒成立，直线与抛物线恒有两个交点, 取 得 ，与 交于 、， 此时 成立，定点 确在 上. 【分析】（1）把点 的坐标代入 ，求出，即可求得抛物线的方程. （2）可设，代入 得 ，设，，则 ，，由得即，从而求得，再证明直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）把点 的坐标代入 得 ，即 ，解得 . 所以抛物线的方程为 . （2）略，定点为 . 18．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测），抛物线的焦点分别为，坐标原点．过的直线交于点，过的直线交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两条抛物线的焦点，设过焦点的直线方程并联立抛物线方程，结合韦达定理和向量点积条件得到直线参数关系，再计算两个三角形的面积比即可， 【详解】的焦点，的焦点， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得，， 由题知，即，得， ， ，代入得， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得， ， 同理，即，得， ， ，代入得， 故. 19．（2026·广东广州·模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，设椭圆上点，利用坐标公式计算，结合椭圆方程消去，化简得到关于的函数；结合椭圆中的取值范围，求解数量积的取值范围. 【详解】由椭圆方程为，可得长半 ；短半轴 ； 所以椭圆的半焦距， 故椭圆的左、右焦点坐标分别 ，. 设椭圆上任意一点的坐标为，， 则向量，， ， 由椭圆方程，可得 ，代入数量积的表达式得： ， 由，可得： 当（即点在椭圆短轴端点处）时， 取得最小值； 当 （即点在椭圆长轴端点处）时， 取得最大值 . 所以 的取值范围是 . 20．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知椭圆，若其焦距为，且点在椭圆上， (1)求的方程； (2)已知直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点．若，求直线方程． 【答案】(1) (2) 或 （也可整理为或） 【分析】（1）结合椭圆上点的坐标与联立求解，得到椭圆标准方程； （2）设直线斜率为，根据向量相等推导交点坐标关系，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理求，得到直线方程. 【详解】（1） 由题意椭圆焦距，得，因此 ①. 将点代入椭圆方程得： ，化简为 ②. 将代入②，两边同乘消去分母得： ， 整理得， 解得（负根舍去），故. 因此椭圆的方程为； （2）由题意直线斜率存在且不为，设直线方程为. 令得，故，将 与椭圆方程联立， 消去得： ，. 设，由韦达定理得. 因，则， 因此： ，. 又，得， 化简得，解得. 因此直线的方程为或。 典例六：圆锥曲线中的定点问题 21．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线定义，抛物线上点到准线距离等于到焦点距离，先求出点横坐标，代入抛物线方程求纵坐标绝对值，即为点到轴距离； （2）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到坐标关系，写出直线方程，联立抛物线求出点坐标，利用距离公式列方程，求出参数，得到直线方程； （3）假设定点存在，利用斜率互为相反数的条件，结合韦达定理化简，根据等式对任意参数恒成立，令各项系数为，求出定点坐标． 【详解】（1）抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为． （2）设直线的方程为，，，， 联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为． （3）假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在． 22．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在使得为定值. 【分析】（1）根据离心率以及点，联立方程即可求解， （2）根据勾股定理以及椭圆的定义，结合等面积法即可求解， （3）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，进而根据向量的坐标运算即可化简求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得, 故椭圆方程为 （2）设,且， 由于，又，故, ，即可， 由于,故， 将代入椭圆方程可得,故. （3），设直线,， 将代入椭圆方程中化简可得， 设, 故,从而， ， 要使为定值，则需满足，故， 故存在使得为定值. 23．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②不存在，理由如下： 假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 【分析】（1）利用已知条件及，可求得双曲线方程； （2）①以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点；②假设存在点，利用点在双曲线上，再结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）①略 ②略 24．（25-26高三上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 典例七：圆锥曲线中的定值问题 25．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，点为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. (1)证明：为定值； (2)若，求的面积. 【答案】(1)设，则过点且斜率为1的直线可设为：，， 设，，且，. 因为点都在椭圆上，因此有， 两式相减得， 所以，因此，即点在定直线，上， 因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知， 所以. 故为定值. (2) 【分析】（1）根据点差法、中点坐标公式及正弦定理证明即可. （2）根据两角差的正切公式求出，联立直线、直线及椭圆方程，求出值；联立直线及椭圆方程，结合韦达定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设的斜率为，的斜率，则， 因在第三象限，，解得，即，故. 因为，联立得 代入椭圆方程，得：，解得， 因为，故，满足条件. 联立，整理得， ，则. 所以，则，. . 故的面积为. 26．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， 所以，则， 又为的中点，故， 所以直线的斜率， 显然，所以直线的斜率为， 故直线与的斜率之积为（定值）． （ii） 【分析】（1）先设，，得到的坐标，再根据向量的线性运算即可得到动点的轨迹的方程； （2）（i）先设出，，，再联立的方程，从而得到关于的一元二次方程，再根据得到的取值范围，再根据韦达定理得到点的坐标，从而得到直线的斜率和直线的斜率为，进而求积即可证明；（ii）结合（i）及求出，再根据点到直线的距离公式即可得到点到直线的距离，从而根据三角形的面积公式及基本不等式即可求出面积的最大值． 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即，解得， 又点在圆上，所以， 故动点的轨迹的方程为． （2）（i）略 （ii）由（i）可知， 又点到直线的距离， 所以， 令，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，符合题意． 故面积的最大值为． 27．（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【答案】(1)2 (2) (3)，定值为2． 【分析】（1）由直线与抛物线联立求解出，两点，再根据三角形面积公式即可求出. （2）先设出直线的方程，再联立抛物线方程，分别表示出即可. （3）由（2）可得，，再代入求解即可. 【详解】（1）由且轴，得：． 将代入，得，得， 从而． 点到直线的距离为1，故． （2）设直线：， 联立抛物线方程得， ，设，， ，又∵，∴， ，， ∴. （3）由（2）得， ∴， ∴， 当时，为定值． 28．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明：双曲线的渐近线方程为：，点到两条渐近线的距离分别为：，，则，因在双曲线上，所以，代入解得为定值；定值为 (3) 【分析】1.使用离心率求出，，的关系，再将点代入求出双曲线方程； 2.利用双曲线上点的坐标特性，证明该点到双曲线两条渐近线的距离乘积恒为定值； 3.设过动点的直线，与渐近线方程联立得到三角形面积表达式，结合已知条件使用不等式求解。 【详解】（1）由题知，，故，结合，得：，将点代入双曲线方程得：，解得，，所以双曲线的方程为； （2）略，定值为； （3）设过点的直线方程为，联立直线与渐近线的方程得：，，，因为在轴同侧，所以，而，又因为，所以 原点到直线的距离，则， 又利用与，得： 因此， 所以面积最小值为. 典例八：圆锥曲线中的定直线问题 29．（2027·湖南衡阳·一模）已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得 设过点的切线为， 联立，得， 令上式中， 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． （ⅱ）． 【分析】（1）利用椭圆结合已知点坐标代入椭圆方程，联立求解得到，写出椭圆标准方程； （2）（i）设过焦点的直线为与椭圆联立得到纵坐标关系，写出椭圆在处的两条切线方程并联立，两式作差消元求得交点横坐标恒为，证明在定直线上； （ii）把代入切线方程求出点坐标，结合韦达定理得到弦中点坐标，通过斜率相等证明三点共线，再写出表达式，利用求该乘积的取值范围. 【详解】（1）由题意知，， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（i）略 （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点， 因为，所以三点共线． 所以， 因为，所以，所以． 30．（25-26高三上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 31．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知抛物线经过点，直线与交于、两点，则（    ） A． B．抛物线上的点到点和的距离之和的最小值是 C．当时，的面积 D．过点、分别作抛物线的切线交于点，则点在定直线上 【答案】AD 【分析】将点代入抛物线的方程，求得，可判定A正确；根据抛物线的定义，结合抛物线的几何性质，可判定B错误；当时，联立方程组，利用韦达定理，求得，结合三角形的面积公式，可判定C错误；分别求得过点和的切线方程，联立方程组，求得交点的横坐标，可判定D正确. 【详解】对于A，因为抛物线经过点，可得， 即，解得，所以A正确； 对于B，由A选项知：抛物线的的方程为， 可得其焦点坐标为，准线方程为， 如图（1）所示，过点作，过点作， 根据抛物线的定义，可得， 所以， 当点和重合时，即三点共线时，取得最小值，所以B错误； 对于C，如图（2）所示，当时，直线， 令，可得，即直线恒过定点， 联立方程组，整理得， 设，可得，且， 可得， 所以的面积，所以C错误； 对于D，如图（3）所示，联立方程组，整理得， 可得，且， 设，不妨设， 当时，由，可得，则，可得， 所以过点的切线方程为，即， 同理可得：过点的切线方程为， 联立方程组，解得，即点在定直线上，所以D正确. 32．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，使得，直线与直线相交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)若三角形与四边形的面积比为4∶5，求直线的方程； (3)证明：点在直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明：由题意知，点，可得 因为，可得直线，所以的方程为，即， 又因为，可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 因为点在直线上，可得，且 代入得，即， 即方程， 要证得点在直线上，只需这个方程的解为， 把代入上述方程，可得： 左边， 因为，可得， 所以左边， ， 所以左边右边，所以是联立方程组的解，所以点在直线上. 【分析】（1）根据题意，求得，结合椭圆的几何性质，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，求得，由，得到，求得，结合韦达定理，列出方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，分别求得直线和的方程，联立方程组，结合点在直线上，化简得到方程，进而证得是联立方程组的解，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为. （2）解：由题意知，直线过点，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为，所以， 又因为，可得，所以， 所以，即，可得，所以， 将代入，可得， 解得，所以， 所以，即， 整理得，所以， 当时，直线为，即，此时直线过点，不符合题意（舍去）； 当时，直线为，此时直线不过点，符合题意， 综上可得，直线的方程为. （3）略 典例九：圆锥曲线中的最值、范围 33．（2027高三·全国·专题练习）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【详解】（1）由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. （3）如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. 34．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 【答案】(1)（） (2)（i）设（，），则，即， 则，同理可得， 因为，所以， 所以．又，所以， 则，故直线与的斜率之和为定值. （ii） 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）（i）设（，），计算，，然后可求得，再结合已知可得证； （ii）设：，设，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，计算出与的面积之和并代入转化为关于的函数，结合导数知识得最值. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以，为焦点且实轴长为的双曲线的上支， 由，，得，， 故的方程为（）. （2）（i）略 （ii）依题意可得直线的斜率必然存在，设：，代入， 得，则恒成立， 设，，，， 则，，则， 因为，所以的面积 由（i）知，则，同理得的面积． 不妨设，，则与的面积之和如下， 为 ， 令，， 则 ． 因为，所以，则在上单调递增， 所以， 从而与的面积之和的最小值为. 35．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 36．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． (1)求的标准方程； (2)若，求的方程； (3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离得到方程，求出双曲线方程； （2）设出直线，联立直线和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出两三角形面积，得到方程，求出答案； （3）作出辅助线，根据内心的性质和双曲线定义可得，，结合韦达定理得到，并求出面积的最大值. 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离， 所以． 又离心率，且，解得． 所以的标准方程为． （2）设直线，点在第一象限，故， 联立消去得． 由韦达定理，得． 因为与的右支交于两点，所以，即． 因为，且，所以． 所以，解得，满足要求， 由于，故，故，解得，故， 所以的方程为． （3）由已知得． 过的内心作的垂线，垂足分别为，如图所示． 根据切线长定理，得， 由，得． 又，所以． 而，则． 所以．同理． 所以． 又， 所以． 因为， 所以，解得． 即，同理．所以． 因为， 所以． 所以． 又， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为，所以当时，取最大值． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.10 直线与圆锥曲线的位置关系（精讲） 第一部分：知识复习 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与双曲线的位置关系 代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 3、直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 4、直线与圆锥曲线的相交的弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 第二部分：典型例题 典例一：直线与圆锥曲线的位置关系 1．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 2．（25-26高三下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 典例二：圆锥曲线的中点弦问题 5．（26-27高三上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 6．（26-27高三上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 7．（26-27高三上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 典例三：圆锥曲线中的弦长问题 9．（26-27高三上·四川·期中）已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于两点，则弦长等于______ 10．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若，且，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 11．（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 12．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 典例四：圆锥曲线中的焦点弦问题 13．（2026·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（26-27高三上·浙江·阶段检测）（多选）过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限且，已知点，若直线，与分别另外交于，两点，则（     ） A．当时， B．当时， C．当直线与直线平行时，直线的斜率为2 D．当直线的斜率为时，直线的斜率为 15．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 16．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 典例五：圆锥曲线中的向量问题 17．（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 18．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测），抛物线的焦点分别为，坐标原点．过的直线交于点，过的直线交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026·广东广州·模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知椭圆，若其焦距为，且点在椭圆上， (1)求的方程； (2)已知直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点．若，求直线方程． 典例六：圆锥曲线中的定点问题 21．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 22．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 23．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（25-26高三上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 典例七：圆锥曲线中的定值问题 25．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，点为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. (1)证明：为定值； (2)若，求的面积. 26．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 27．（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 28．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 典例八：圆锥曲线中的定直线问题 29．（2027·湖南衡阳·一模）已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 30．（25-26高三上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 31．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知抛物线经过点，直线与交于、两点，则（    ） A． B．抛物线上的点到点和的距离之和的最小值是 C．当时，的面积 D．过点、分别作抛物线的切线交于点，则点在定直线上 32．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，使得，直线与直线相交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)若三角形与四边形的面积比为4∶5，求直线的方程； (3)证明：点在直线上． 典例九：圆锥曲线中的最值、范围 33．（2027高三·全国·专题练习）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 34．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 35．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 36．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． (1)求的标准方程； (2)若，求的方程； (3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $