专题8.10 双曲线（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题8.10 双曲线（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 双曲线的定义及其应用】 1 【题型2 双曲线的标准方程】 3 【题型3 曲线方程与双曲线】 5 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 7 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 8 【题型6 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、渐近线】 11 【题型7 求双曲线的离心率或其取值范围】 12 【题型8 与双曲线有关的最值问题】 15 【题型9 双曲线的实际应用】 17 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 双曲线的定义及其应用】 1．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【解答过程】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 故选：C. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ） A．1 B．13 C．1或13 D．15 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义求解． 【解答过程】由双曲线，可得， 所以，所以， 因为点P在双曲线C上，，又因为， 所以，解得或， ①当在下支时，， ②当在上支时，， 综上所述：， 所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解题思路】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【解答过程】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（   ） A．6 B．10 C．2 D．6或10 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程求出、，再根据双曲线的定义求出，即可得解. 【解答过程】因为双曲线的方程为，所以，. 已知，由双曲线的定义可得，即， 所以或. 由于双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故或. 故选：D. 【题型2 双曲线的标准方程】 5．（2026·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【解答过程】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D. 6．（2026·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果. 【解答过程】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 7．（2026·贵州毕节·二模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线和抛物线的定义求解. 【解答过程】因为，所以所以抛物线的焦点坐标为， 所以双曲线的一个焦点为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 故选：A. 8．（2026·天津武清·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的性质，得出焦点坐标和渐近线方程，进而得出向量坐标，结合且，构造方程组求出，联立渐近线方程得出，进而求出，从而求出双曲线的方程． 【解答过程】 双曲线的左焦点，渐近线为， 向量， ①， ②， 联立①②得，， 解得或（，舍去）， ，即， 代入①得， 在渐近线上， ，解得， ，解得，， 双曲线的方程为． 故选：A. 【题型3 曲线方程与双曲线】 9．（25-26高二上·江西萍乡·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的标准方程列式，即可得解. 【解答过程】因为方程表示双曲线，所以，解得或. 故选：B. 10．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】依题意，方程表示双曲线， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 11．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】利用方程表示双曲线求出的取值范围，根据充分条件和必要条件得到结论. 【解答过程】表示双曲线， ， ， “”是“方程表示双曲线”的充分必要条件. 故选：C. 12．（25-26高二上·广西·阶段检测）若方程表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．， 【答案】C 【解题思路】由双曲线的标准方程的定义求得答案. 【解答过程】依题有，所以，解得或 故选：C. 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 13．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【解答过程】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 14．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 15．（25-26高二上·山东·阶段检测）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用直接法求解. 【解答过程】解：由题意可得， 化简得． 故选：B. 16．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【解答过程】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 17．（2026·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积. 【解答过程】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C. 18．（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【解答过程】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 19．（2026·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【解答过程】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 20．（2026·河南开封·二模）已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意判断圆心位置，求得半径，判断点即双曲线的左右两焦点，利用双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，求得，即可求的面积. 【解答过程】设双曲线的半焦距为，由题意，圆的圆心在坐标原点，半径， 点即双曲线的左右两焦点，故有①， 且因为圆的直径，可得，则有②， 将①式两边取平方，， 解得，故的面积为. 故选：B. 【题型6 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、渐近线】 21．（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得到右顶点为，及其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算． 【解答过程】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 故选：C. 22．（2026·四川攀枝花·一模）若双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出双曲线的一条渐近线方程，再结合题意得到，进而求出，最后求解焦距即可. 【解答过程】由题意得双曲线的一条渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线平行于直线，可得， 由题意得，则，即， 可得双曲线C的焦距为，故D正确. 故选：D. 23．（2026·吉林·二模）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】利用给定条件求出，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可. 【解答过程】因为轴，且，双曲线的右焦点为， 所以，设双曲线方程为，且， 将代入双曲线方程，得到，联立解得(负根舍去)， 则双曲线的实轴长为，故B正确. 故选：B. 24．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据焦点坐标求出，根据双曲线定义及双曲线上一点求出，再根据求出，最后根据双曲线渐近线方程为即可求解. 【解答过程】双曲线一个焦点的坐标为，可知双曲线交点在轴上， 所以，另一个焦点坐标为， 因为点在该双曲线上，根据双曲线定义可知：， ，， 所以，解得，又因为， 即，解得， 所以双曲线渐近线方程为. 故选：A. 【题型7 求双曲线的离心率或其取值范围】 25．（2026·山东威海·二模）已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，然后结合双曲线的定义，利用勾股定理得，即可求解离心率. 【解答过程】由双曲线的对称性，不妨为右焦点，在第一象限， 设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知，， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为， 所以，所以， 在中， ，即， 所以，所以双曲线的离心率为. 故选：C.    26．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【解答过程】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 故选：D. 27．（2026·福建宁德·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】过作的渐近线的垂线，垂足为.先求出焦点到渐近线的距离，再由勾股定理求出，即可在中利用勾股定理得到的关系，即可求出的离心率. 【解答过程】 如图所示，过作的渐近线的垂线，垂足为. 已知双曲线的左､右焦点为， 双曲线的一条渐近线方程为，即, 则到渐近线的距离为，同理可得. 在中，，同理可得. 在中，由可得，即， 因为，所以的离心率. 故选：A. 28．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用题设条件结合双曲线定义探求出的关系即可作答. 【解答过程】设，由于，则，， 根据双曲线定义，，, 即，， 因为，所以， 即，化简得到 又由， 即，即， 化简得到，则. 故选：C. 【题型8 与双曲线有关的最值问题】 29．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【解答过程】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 30．（2026高二·全国·专题练习）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解答过程】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以 ， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 31．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【解答过程】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 32．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【解题思路】结合已知条件，利用双曲线的定义推出，结合曲线与圆的位置关系推出，进而求出最大值． 【解答过程】双曲线方程为，则， ， ，， 又 、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． 【题型9 双曲线的实际应用】 33．（25-26高二下·广西柳州·开学考试）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解. 【解答过程】因为，所以，得， 不妨设双曲线的标准方程为，设，则． 所以，解得或（舍去）． 所以． 故选：D． 34．（2026·辽宁辽阳·二模）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义求解． 【解答过程】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 35．（25-26高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D.    36．（25-26高二上·云南丽江·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【解答过程】设，，，由题意知，，， 所以 ，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合双曲线的标准方程的形式，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程表示双曲线，则满足， 即，解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 【答案】B 【解题思路】由双曲线方程及焦距确定，再由双曲线定义可求. 【解答过程】由题设，解得，又且， 所以，所以， 又P是双曲线上的一点，所以， 又因为，所以，解得或， 当P在双曲线左支时，， 当P在双曲线右支时，， 所以，即不可能有，则. 故选：B. 3．（2026·陕西榆林·三模）已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解. 【解答过程】由右焦点为得，所以， 又因为的一条渐近线过点，所以，所以， 所以的实轴长. 故选：D. 4．（2026·河南·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则C的右焦点到C的两条渐近线距离之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据题意先求出双曲线方程，然后求出右焦点坐标，利用点到直线的距离公式分别计算右焦点到两条渐近线的距离，然后求和即可. 【解答过程】由题意，. 双曲线的渐近线方程为，，，. ，，双曲线的右焦点坐标为. 右焦点到渐近线的距离. 右焦点到渐近线的距离. 右焦点到双曲线的两条渐近线距离之和为. 故选：B. 5．（2026·天津东丽·一模）已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据锐角三角函数定义，结合渐近线的倾斜角、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可. 【解答过程】设直线与横轴的交点为， 根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为， 在直角中，设设， 因为， 即，于是， 因为的面积为， 所以， ， 所以由， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【解答过程】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B. 7．（2026·四川广安·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据圆心和直线方程求出弦心距，再根据直角三角形和向量条件求出半弦长，最后在直角三角形建立关于的关系式，用离心率公式可得离心率. 【解答过程】如图所示，设中点为，连接， 因为为圆心，为中点，可得， 所以三角形为直角三角形. 根据条件得圆心为， 设其中一条渐近线方程为，则圆心到渐近线的距离为，即， 又因为，所以， 由可知三点共线，且为上靠近点的三等分点， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 故选：A. 8．（2026·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积． 【解答过程】在双曲线中：，所以， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 又， ， 的面积为． 故选：C． 二、填空题 9．（2026·全国·模拟预测）双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为____________. 【答案】2 【解题思路】先根据双曲线方程得到右焦点的坐标及一条渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】由双曲线的方程可知其右焦点为， 其中一条渐近线方程为，即， 故右焦点到这条渐近线的距离为. 故答案为：2. 10．（2026·山西·三模）已知曲线表示双曲线，则的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【解答过程】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为：. 11．（2026·广东江门·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为____________. 【答案】/ 【解题思路】由渐近线方程求出，再根据离心率定义求解. 【解答过程】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又其渐近线方程为，则， 则， 则的离心率为. 故答案为：. 12．（2026·北京大兴·三模）设为双曲线的左、右焦点，且直线为双曲线的一条渐近线，点为上一点，如果，那么双曲线的方程为_____________． 【答案】 【解题思路】根据双曲线的定义和渐近线方程即可求出. 【解答过程】因为，所以，得， 由直线为双曲线的一条渐近线，可知，得， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·一模）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论. 【解答过程】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以点到直线的距离， 因为与圆交于两点（为坐标原点），所以， 因为的面积为，所以， 所以，又， 所以或， 若，则点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以， 此时双曲线的离心率， 若，则点到直线的距离， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去， 所以双曲线的离心率， 故选：C.    2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值. 【解答过程】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 3．（2026·河北·模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的光学性质可得焦点三角形的性质，从而可得基本量的关系，故可求离心率. 【解答过程】 由题意知，表示的曲线为双曲线的右支， 点为双曲线的左焦点，光线射向双曲线上的点， 由双曲线的光学性质可知，反射光线所在直线过右焦点， 由已知，，所以， 点到直线：的距离，即， 所以， 所以，，且， 所以，,又，得， 所以，得， 故选：B. 4．（2026·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】由离心率结合四边形ABCD的面积为，可得，将直线与渐近线方程联立可得M，N两点坐标，由可得直线l与x轴交点Q的坐标，最后由结合为双曲线C上任意一点得答案. 【解答过程】因，则. 将代入双曲线方程，则. 则，则由对称性可得，则，. 由题可得四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD面积为. 从而.则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线l方程联立， 可得或， 则，. 令，可得直线l与x轴交点为. 则. 因为双曲线C上任意一点，则. 则. 故选：D. 二、解答题 5．（2026·海南·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由渐近线方程和三角形周长，结合双曲线方程的定义得到方程组，求出，得到双曲线方程； （2）直线的斜率不存在或斜率为0时，不合要求，设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线斜率 【解答过程】（1）一条渐近线方程为，故， 中，令得， 故，所以， 由双曲线定义可得，同理， 故，结合，可得， 所以的方程为； （2）由（1）知，，当直线的斜率不存在或斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设方程为，， 联立与得， ，且，故， 设，则， ，故， 所以，所以， 由得，将其代入得 ，解得满足要求， 故，，直线的斜率为. 6．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则. (1)求的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）根据弦长求出即可； （2）根据题意联立得，设，则，再由 进行求解． 【解答过程】（1）由题可知，则，即， 解得，， 所以双曲线； （2）由直线与双曲线联立方程组消可得： ，又直线与双曲线交于两点， 所以，即， 设，则，    因为以为直径的圆过点，所以， 即 ， 化简得：， 解得或，都满足， 所以直线的方程为或. 7．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据双曲线离心率公式求出； （2）分类讨论等腰三角形的情况，确定点的坐标； （3）设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理，计算向量数量积，代入韦达定理结果得到参数关系，求的取值范围． 【解答过程】（1）由题意得，则， . （2）当时，双曲线， 其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上， 这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，， 设，其中，， 解得，即， 综上所述：. （3）由题知，， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，，而直线与双曲线另外一个交点， 根据双曲线对称性知， 联立， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 则，， 则， 因为，在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以，代入到， 得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上知，， 所以． 8．（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程． (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②在轴上存在定点，使得为定值2． 【解题思路】(1)通过虚轴长度确定后再将点代入方程求解. (2)①设出直线后与双曲线联立通过韦达定理表示出后带入条件求解. ②通过联立椭圆与直线以及圆与直线判断为两者共同的根，因此联立后的方程应相同，以此求解出斜率以及方程，最后通过定值这一条件求出点. 【解答过程】（1）由条件，，所以， 又点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）①设点，，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则 ，解得或， 由题意可得所以且， 所以 ， 即，． ②设的外接圆方程为，代入坐标， 则 将代入， 可得， 即， 同理 ， 所以，为关于的方程 的两根， 又因为，为关于的方程的两根， 所以方程 与方程为同解方程， 所以解得 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 设，，， 因此， 要使其为定值，只需即可. ， 故在轴上存在定点，使得为定值2． 一、单选题 1．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【解答过程】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 故选：B. 2．（2026·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【解答过程】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 故选：B. 3．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【解答过程】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【解答过程】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【解答过程】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 二、多选题 6．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解题思路】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【解答过程】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 7．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解题思路】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【解答过程】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 故答案为：. 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解题思路】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【解答过程】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.10 双曲线（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 双曲线的定义及其应用】 1 【题型2 双曲线的标准方程】 2 【题型3 曲线方程与双曲线】 2 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 3 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 4 【题型6 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、渐近线】 4 【题型7 求双曲线的离心率或其取值范围】 5 【题型8 与双曲线有关的最值问题】 5 【题型9 双曲线的实际应用】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 双曲线的定义及其应用】 1．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ） A．1 B．13 C．1或13 D．15 3．（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 4．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（   ） A．6 B．10 C．2 D．6或10 【题型2 双曲线的标准方程】 5．（2026·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·贵州毕节·二模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津武清·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型3 曲线方程与双曲线】 9．（25-26高二上·江西萍乡·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 10．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（25-26高二上·广西·阶段检测）若方程表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．， 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 13．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·山东·阶段检测）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 17．（2026·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 18．（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 19．（2026·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 20．（2026·河南开封·二模）已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型6 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、渐近线】 21．（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 22．（2026·四川攀枝花·一模）若双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D． 23．（2026·吉林·二模）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 24．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 求双曲线的离心率或其取值范围】 25．（2026·山东威海·二模）已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 26．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 27．（2026·福建宁德·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【题型8 与双曲线有关的最值问题】 29．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 30．（2026高二·全国·专题练习）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 31．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 32．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【题型9 双曲线的实际应用】 33．（25-26高二下·广西柳州·开学考试）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 34．（2026·辽宁辽阳·二模）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 36．（25-26高二上·云南丽江·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 3．（2026·陕西榆林·三模）已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（2026·河南·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则C的右焦点到C的两条渐近线距离之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 5．（2026·天津东丽·一模）已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川广安·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·全国·模拟预测）双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为____________. 10．（2026·山西·三模）已知曲线表示双曲线，则的取值范围是____________． 11．（2026·广东江门·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为____________. 12．（2026·北京大兴·三模）设为双曲线的左、右焦点，且直线为双曲线的一条渐近线，点为上一点，如果，那么双曲线的方程为_____________． 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·一模）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 二、解答题 5．（2026·海南·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则. (1)求的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 7．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 8．（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程． (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 3．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 二、多选题 6．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 三、填空题 7．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $