主题3 第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线位置关系，以代数法与几何法为核心，系统整合定义应用、韦达定理、点差法等解题技巧，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|交点个数判断（图形法）、中点弦（点差法）、重心坐标（韦达定理）|从圆锥曲线定义出发，结合方程联立与几何性质，形成“定义-方程-位置关系”推导链| |综合提升|9-14题|内切圆半径（面积公式）、切线斜率（导数）、焦点弦（参数法）|以高频考点为载体，整合代数运算与几何直观，强化“性质应用-综合建模-逻辑推理”能力|

课时冲关56　直线与圆锥曲线的位置关系 [基础训练组] 1．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有(　　) A．0条　 B．1条 C．2条　 D．3条 解析：B　[经验证点M(3,2)在抛物线开口内部，结合函数图象， 可知过点M(3,2)与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M平行于x轴的直线，即y＝2.] 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过点F的直线x－y＋＝0与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：B　[直线x－y＋＝0过点F(－，0)，所以c＝， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＋＝1，＋＝1两式相减并化简得－＝·， 即－＝·1，＝，a2＝2b2＝b2＋c2， 所以b＝c＝，a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.] 3．设椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的弦AB与x轴，y轴分别交于C，D两点，|AC|∶|CD|∶|DB|＝1∶2∶2，若直线AB的斜率为k，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0,0)，D(0，y0)， 直线AB：y＝kx＋b， 因为|AC|∶|CD|∶|DB|＝1∶2∶2， 所以2＝，＝， 所以2(x0－x1，－y1)＝(－x0，y0)，(－x0，y0)＝(x2，y2－y0)， 即 所以A，B(－x0,2y0)． 因为A，B在椭圆上， 所以＋＝1，＋＝1， 两式相减得＝，即＝. 又因为kAB＝＝－， 且kAB＞0，a＞b＞0，所以0＜＜1， 即0＜＜，所以0＜kAB＜.] 4．已知点F是双曲线x2－＝1的左焦点，直线4x－y－12＝0与该双曲线交于两点P，Q，则△FPQ的重心G到y轴的距离为(　　) A．1　　　 B．4 C．3　　　 D．2 解析：C　[由题意得：不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立双曲线方程与直线方程 消去y得x2－12x＋19＝0，故x1＋x2＝12， 因为F(－3,0)，所以点G到y轴的距离为＝＝3.] 5．函数f(x)＝x＋＋3(x＞－1)的最小值为m，则直线5x＋3y－15＝0与曲线＋＝1的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[∵当x＞－1时，x＋1＋≥2＝4(当且仅当x＝1时取等号)， ∴f(x)＝x＋1＋＋2≥6，即m＝6，∴曲线方程为＋＝1； 当x≥0，y≥0时，曲线为＋＝1， 由得或 即交点为(0,5)，(3,0)； 当x≤0，y≥0时，曲线为－＝1； 由得即交点为(0,5)； 当x≤0，y≤0时，曲线为＋＝－1，曲线不存在； 当x≥0，y≤0时，曲线为－＝1； 由得即交点为(3,0)； 综上所述，直线5x＋3y－15＝0与曲线＋＝1的交点为(0,5)，(3,0)，共2个．] 6．(多选)(2025·全国一卷)设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B两点，过A作直线l：x＝－的垂线．垂足为D，过F作垂直于AB的直线交l于E，则(　　) A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18 解析：ACD　[l恰为抛物线的准线，由抛物线定义可知A选项正确．设∠AFx＝θ， 连接AE易知△ADE≌△AFE，∴∠DAE＝∠FAE＝∠FAD＝，则|AE|＝ ＝， |AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝，选项B错误． |AB|＝≥2p＝6，选项C正确． |AE|·|BE|＝ ＝≥18，选项D正确．故本题正确选项为ACD.] 7．(多选)已知双曲线C：x2－＝1，则下列说法正确的(　　) A．双曲线C的离心率等于半焦距的长 B．双曲线y2－＝1与双曲线C有相同的渐近线 C．直线x＝被双曲线C截得的弦长为 D．直线y＝kx＋b(k，b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2 解析：AD　[由双曲线C：x2－＝1的焦点在x轴上，且a＝1，b＝2，则c＝＝， 其渐近线方程为y＝±2x， 对于A中，由双曲线C的离心率为e＝＝，故A正确； 对于B中，由双曲线y2－＝1的渐近线方程为y＝±x，与双曲线C的渐近线不相同，所以B错误； 对于C中，由x＝代入双曲线C中，可得y＝±，即交点的坐标为和，所以截得的弦长为，所以C错误； 对于D中，当k＝±2，b＝0时，此时直线y＝±2x与渐近线平行，且过原点，可得直线y＝±2x与双曲线没有公共点，即交点的个数为0个；当k＝±2，b≠0，此时直线y＝±2x＋b与渐近线平行，且不过原点，可得直线y＝kx＋b与双曲线只有一个公共点，即交点的个数为1个；当k≠±2时，此时直线y＝kx＋b与渐近线不平行，可得直线y＝kx＋b与双曲线有2个公共点，即交点的个数为2个， 综上可得，直线y＝kx＋b与双曲线C的公共点个数可能为0,1,2，所以D正确．] 8．已知F1，F2是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若∠F1MF2是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是__________． 解析：F1(－2,0)，F2(2,0)，设M(x，y)，(x＞0，y＞0)，满足＋＝1，① 当MF1⊥MF2时，可得(x－2)(x＋2)＋y2＝0，② ①②联立x＝，y＝1， 所以当∠F1MF2是锐角时，0＜x＜， 再由＋＝1，得到y2＝2－，开方得第一象限曲线解析式：y＝， 求导可得：y′＝－， 当x＝时，y′＝－， 即此点处的切线斜率为－； 结合图象可知：圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是. 答案： 9．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆与P、Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是________． 解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ内切圆的半径的最大值即可． 设直线l方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 于是＝|F1F2|·|y1－y2| ＝＝12. ∵＝≤， ∴≤3， 所以内切圆半径，因此其面积最大值是. 答案： 10．(2025·全国一卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|＝. (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|＝3 (ⅰ)设P(m，n)，求R的坐标(用m，n表示)； (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值． 解：(1)依题有＝且＝， 解得a＝3，b＝1，故C的方程为＋y2＝1. (2)(ⅰ)易知A(0，－1)，设＝t(t＞0)，则t＝＝， ＝＋＝(0，－1)＋t(m，n＋1)＝(tm，t(n＋1)－1) ＝， 故点R的坐标为 . (ⅱ)由kOR＝3kOP可知 ＝， 整理可得m2＋(n＋4)2＝18，所以点P在圆心为N(0，－4)，半径r＝3的圆上运动． 设Q(x0，y0)，则＋y＝1，其中－1＜y0＜1， 故|PQ|≤|PN|＋|NQ|＝3＋＝ 3＋ ＝3＋ ＝3＋≤3＋3， 取等条件为y0＝，且P在线段QN延长线上，故|PQ|的最大值为3＋3. [能力提升组] 11．过抛物线C的焦点F作倾斜角为π的直线交C于A、B两点，以抛物线的准线x＝－1上一点M为圆心作圆M经过A、B两点，则圆M的面积为(　　) A．48π B．48π C．6π D．6π 解析：B　[如图所示： 因为抛物线C的准线x＝－1，所以抛物线C的方程为y2＝4x，焦点为F(1,0)， 直线l的方程为y＝－x＋1，联立消去y得x2－6x＋1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1·x2＝1，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2＝－4. 过M作线段AB的中垂线，垂足为D， 因为D，所以D(3，－2)， 则直线MD的方程为y＋2＝x－3， 即y＝x－5， 由得焦点x＝－1，y＝－6， 即M(－1，－6)， 由x2－6x＋1＝0，得A(3－2，2－2)， 所以r2＝|MA|2＝(3－2＋1)2＋(2－2＋6)2＝48，所以圆M的面积为48π.] 12．(多选)已知直线l：y＝kx(k≠0)交椭圆＋＝1(a＞b＞0)于A，B两点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与F2关于直线l的对称点为Q，则(　　) A．若k＝1，则椭圆的离心率为 B．若kMAkMB＝－，则椭圆的离心率为 C．l∥F1Q D．若直线BQ平行于x轴，则k＝± 解析：ACD　[如图，直线l与QF2交于点G， 对于A，若k＝1，则Q(0，c)，所以b＝c， 所以e＝＝＝＝＝，故A正确； 对于B，设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)， 且＋＝1，即y＝， 所以kMAkMB＝·＝ ＝＝－＝－， 所以＝＝1－＝1－e2＝⇒e＝，故B错误； 对于C，由题意可知OG是中位线，故l∥F1Q，故C正确； 对于D，设点B(x0，y0)，则直线l：y＝x， 因为直线BQ平行于x轴，所以点Q(－x0，y0)， FQ的中点G， 所以由点G在直线l上且kF2Gkl＝－1，得 解得x0＝c，y＝，即y0＝±c， 因此k＝＝＝±，故D正确．] 13．过抛物线E：y2＝4x的焦点F的直线交E于A，B两点，C，D是E的准线l上两点，以CD为直径的圆与AB切于点F，且以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为64，则直线AB的斜率为________． 解析：设抛物线的准线l与x轴交于一点E，过A作AC′⊥l于一点C′， 过B作BD′⊥l于一点D′，连接C′F，D′F， 由抛物线的定义知，|AF|＝|AC′|，|BF|＝|BD′|， ∴∠AC′F＝∠AFC′，∠BD′F＝∠BFD′， 又AC′∥EF∥BD′，∴∠AC′F＝∠C′FE，∠BD′F＝∠EFD′， 因此∠AFC′＝∠C′FE，∠BFD′＝∠EFD′， 又∠AFC′＋∠C′FE＋∠BFD′＋∠EFD′＝180°， 则∠C′FD′＝∠C′FE＋∠D′FE＝(∠AFC′＋∠C′FE＋∠BFD′＋∠EFD′)＝90°， 设C′D′的中点为Q，则|QF|＝|QC|′，因此∠QFC′＝∠QC′F， ∴∠AFQ＝∠QFC′＋∠AFC′ ＝∠QC′F＋∠AC′F＝∠AC′Q＝90°， 即QF⊥AB， 因此以C′D′为直径的圆与AB切于点F，且QF为圆的半径， 而过F直线与AB垂直时，在准线l只有唯一的交点，这个交点即为与AB切于点F的圆的圆心， 因此在准线l只有一个圆与AB切于点F， 故要使以E的准线l上两点C，D为直径的圆与AB切于点F， 则C′与C重合，D′与D重合， 因此四边形ABDC为直角梯形， 由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x－1)， 则联立可得[k(x－1)]2＝4x， 整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝1， 因此y1＋y2＝k(x1－1)＋k(x2－1) ＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝， 又y1，y2的符号相反， 因此y1y2＝－＝－4， 则|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋ ＝(x1＋x2)＋p＝＋2＝， 又|CD|＝|y1－y2|＝ ＝＝＝， 又梯形ABDC的面积为64， 则·|CD|＝64， 即××＝64，整理得，3k2＝1， 解得k＝±，因此，直线AB的斜率为±. 答案：± 14．(2025·天津卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P为x＝a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分∠AFB. 解：(1)由题意得A(a,0)，F(－c,0)，P(a，(a＋c))，根据已知条件列方程组 ，解之得a＝2，c＝1， 所以b2＝a2－c2＝4－1＝3， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)设B(x0，y0)，可知直线PB的方程为x＋y＝1， 又∵切线过P(2,1)， ∴＋＝1，∴y0＝－x0＋3， ∵点B(x0，y0)满足＋＝1， ∴＋＝1， ∴x－3x0＋2＝0， 解得x0＝1或x0＝2(舍)， ∴y0＝， ∴B， ∵F(－1,0)，P(2,1)，A(2,0)， 可知：|BP|＝＝， |BF|＝＝， ∴|AP|＝1，|PF|＝＝， ∵cos∠BFP＝ ＝， cos∠AFP＝＝， ∴cos∠BFP＝cos∠AFP， ∴∠BFP＝∠AFP， ∴PF平分∠AFB. 学科网（北京）股份有限公司 $