8.9 抛物线及其性质 专项训练-备战2027年高考数学一轮复习（全国通用）

8.9 抛物线及其性质（精讲） 第一部分：知识复习 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R [常用结论] 1．与焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)， B(x2，y2)．则有 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p； (4)焦半径：|AF|＝，|BF|＝， 特别地＋＝； (5)以弦AB为直径的圆与准线相切； (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|OF|·|y1－y2|. 2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p,0)的充要条件． 第二部分：典型例题 典例一：抛物线的定义及辨析 1．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标. 【详解】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 2．（26-27高三上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，准线为直线，横坐标为4的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义结合图形列方程求解即得. 【详解】不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为4，所以， 因，则，， 因为， 由，可得，化简得 解得或（舍去）. 4．（26-27高三上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 【答案】14 【分析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案． 【详解】由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以， ，， 所以， 即该光线经过的路程为. 典例二：抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值 5．（25-26高三上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线换成标准式，再分析的几何意义，利用抛物线的定义转化从而转化目标式计算出最小值. 【详解】由题可得抛物线：，故该抛物线的焦点F的坐标为， 准线方程为，设点P的坐标为，则， 点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可得， 则，故， 当P，F，A三点共线，且在之间时等号成立， 则的最小值为. 6．（2027·湖南衡阳·一模）已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 【答案】 【分析】过点作垂直准线，交准线于点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得，当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号，且、、三点共线时两个等号成立，求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得的值. 【详解】由题可得显然在抛物线内部，圆的圆心为，半径为， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点作垂直准线，交准线于点， 所以， 当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号， 又，当且仅当、、三点共线时取等号， 此时直线的方程为，联立，可得，即点， 所以，，所以. 7．（26-27高三上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）延长交准线于点，由抛物线定义知，再利用三角形不等式可得答案； （2）设点关于准线的对称点为点，利用对称性及三角不等式可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点， 如图所示．根据抛物线的定义知，． 所以， 故的最小值为9． （2）因为，所以，准线方程为． 设，则，即， 代入中，得， 不妨取，即． 设点关于准线的对称点为点，可得， 故， 故的最小值为． 8．（2026·云南·模拟预测）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点，准线， 到的距离，等于到的距离. 所以P到直线和的距离之和的最小值等于到直线的距离， 所以最小值为. 典例三：抛物线的标准方程 9．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 【答案】或． 【分析】设所求抛物线的标准方程，,结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线的标准方程为， 设，由题意知． 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入方程得，，解得或． 所以所求抛物线的标准方程为或． 10．（25-26高三上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 11．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线C的焦点为F，A，为抛物线C上两个不同的动点.当时，.求抛物线C的方程. 【答案】 【详解】由抛物线的定义知：， 因为，，则，即，所以抛物线的方程为. 12．（25-26高三上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，根据点的坐标建立方程求出的值即得抛物线的方程. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. 典例四：抛物线的轨迹方程 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点P在抛物线上，，连接RP并延长至Q，使得，记点Q的轨迹为曲线C.求C的方程； 【答案】 【分析】首先设，，再根据中点坐标公式，找到两点坐标的关系，利用代入法，即可求轨迹方程. 【详解】设，，因为点P在抛物线上，所以①. 因为，所以P为RQ的中点，即②，将②代入①中可得C的方程为. 14．（25-26高三上·江苏连云港·期末）（多选）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 15．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据所求圆与直线相切、与已知圆外切及相对位置关系，列出方程化简即可. 【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即. 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与直线相切，得， 已知圆的圆心为，半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得. 平方后整理得， 故轨迹方程为，是抛物线． 故选：C． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 【答案】， 【分析】设，，由此能求出动点的轨迹方程． 【详解】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 典例五：抛物线的几何性质 17．（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 18．（25-26高三下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    19．（25-26高三上·宁夏固原·期末）（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 20．（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 典例六：与抛物线有关的最值问题 21．（2026·安徽宿州·模拟预测）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设两焦半径，由抛物线定义将中点到准线距离转化为焦半径和的一半，再求焦点到中点距离的平方，利用基本不等式消元求比值的最大值. 【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，点到抛物线的准线的距离为， 因为， ， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 22．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 23．（25-26高三下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 24．（2026·广东茂名·二模）（多选）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（    ）      A．的方程为 B．的方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由焦点易得抛物线的方程为，设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，通过抛物线的定义结合图象可得，即可求得答案. 【详解】由题可得，即的方程为， 设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接， 将代入可得， 所以， 于是， 当与重合时，取得最小值.      故选：BD. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.9 抛物线及其性质（精讲） 第一部分：知识复习 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R [常用结论] 1．与焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)， B(x2，y2)．则有 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p； (4)焦半径：|AF|＝，|BF|＝， 特别地＋＝； (5)以弦AB为直径的圆与准线相切； (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|OF|·|y1－y2|. 2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p,0)的充要条件． 第二部分：典型例题 典例一：抛物线的定义及辨析 1．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 2．（26-27高三上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，准线为直线，横坐标为4的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 典例二：抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值 5．（25-26高三上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2027·湖南衡阳·一模）已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 7．（26-27高三上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 8．（2026·云南·模拟预测）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 典例三：抛物线的标准方程 9．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 10．（25-26高三上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 11．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线C的焦点为F，A，为抛物线C上两个不同的动点.当时，.求抛物线C的方程. 12．（25-26高三上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 典例四：抛物线的轨迹方程 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点P在抛物线上，，连接RP并延长至Q，使得，记点Q的轨迹为曲线C.求C的方程； 14．（25-26高三上·江苏连云港·期末）（多选）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 典例五：抛物线的几何性质 17．（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 18．（25-26高三下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·宁夏固原·期末）（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 20．（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 典例六：与抛物线有关的最值问题 21．（2026·安徽宿州·模拟预测）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 22．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（25-26高三下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 24．（2026·广东茂名·二模）（多选）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（    ）      A．的方程为 B．的方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $